北理论力学习题指导

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1、13解：运动方程：，其中。将运动方程对时间求导并将代入得 16证明：质点做曲线运动，xyo所以质点的加速度为：,设质点的速度为，由图可知:，所以: 将，代入上式可得 证毕yzox17证明：因为，所以：证毕110y解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式：，并且 将上面两式对时间求导得：，由此解得： （a）(a)式可写成：，将该式对时间求导得： (b)将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：AOAOB

2、R111解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即： （a）因为 （b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： （c）由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：将上式两边对时间求导可得：将上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 AOBR取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：, 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得113解：动点：套筒A；动系：OC杆；定系：机座；运动分

3、析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有：，因为AB杆平动，所以，由此可得：，OC杆的角速度为，所以 当时，OC杆上C点速度的大小为： x115解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有， 由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得： (a)将（a）式在向在x轴投影,可得：由此解得：117解：动点：圆盘上的C点；动系：O1A杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于O1A杆）； 牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有

4、 （a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：，根据加速度合成定理有 （b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM弯杆平移，所以有 取：动点：滑块M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理 可求得：，根据加速度合成定理 将上式沿方向投影可得：由于，根据上式可得：， 1-20 MOAB解：取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：根据速度

5、合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如图所示，其中：，根据加速度合成定理：将上式在轴上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Oxy）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得： y因此 其中：，由此可得：xO求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：1-23 质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动，不计摩擦。求图

6、示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。MOMO 解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。MOMO根据速度合成定理有 由此可求出： 。再根据加速度合成定理有：由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：因为 ，所以根据上式可求出: 。根据矢量形式的质点运动微分方程有：将该式分别在水平轴上投影： 由此求出：1-24 图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试

7、求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。M解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有将上式在切向量方向投影有因为，所以上式可写成整理上式可得将上式积分：其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成初始时，系统静止，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：RRoFORRoO1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相

8、对运动微分方程有：将上式在上投影有 因为，所以上式可写成整理该式可得： 将该式积分有： 初始时,由此确定积分常数，因此得到相对速度为1-27 重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。MM解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：其中：，将上式分别在轴上投影有 （a）以为，,因此 （b）由（a）式可得 （c）将和式（b）代入式（c），

9、并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1 解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有： 即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）x2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x轴投影：根据动量定理有：系统的运动微分方程为：24 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量

10、为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。y (a) (b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：x25 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：，水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数：，并代入上式可得：2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质

11、点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。oM 图a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中：系统对z轴的动量矩为。初始时，此时系统对z轴的动量矩为当

12、系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：根据动量矩定理有：P整理上式可得： 由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：，214 取整体为研究对象，系统的动能为：其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据

13、复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为：，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的

14、动能为设为势能零点，则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有，即 (1)系统水平方向的动量为： (2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程 （a）ABAB 图C 图 D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有 （b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得令，联立求解三个投影方程

15、可求出218 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有： （a）将上式对时间求导并简化可得： (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得： 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：圆环脱离地面时的值为而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动

16、量矩守恒，有：z其中：，则上式可表示成：由此解得：其中：，根据动能定理积分式，有：其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：将代入上式，可求得：则： 由可求得：220 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：外力对O轴的矩为：因为：，所以上式可表示成：积分上式可得：由初始条件确定积分常数，最后得：33 取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得：，研究AD杆，应用速度投影定理有：，再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有：，34 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度CAB的速度瞬心位于C，应

17、用速度瞬心法有：，设OB杆的角速度为，则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度：齿轮I的角速度为： 36 AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影，可得因此，因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影，可得，（瞬时针）37 齿轮II作平面运动，取A为基点有 xy将上式在x 投影有：由此求得：再将基点法公式在y轴上投影有：，由此求得再研究齿轮II上的圆心，取A为基点将上式在y轴上投影有，由此解得：再将基点法公式在x轴上投影有：由此解得：，又因为由此可得：39 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上

18、D点的速度为，卷筒的角速度为：角加速度为：卷筒O点的速度为：O点作直线运动，其加速度为： OCB研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。将其分别在x,y轴上投影同理，取O为基点，求C点的加速度。将其分别在x,y轴上投影P310 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：AB杆的角速度：圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为：圆盘上C点的速度为：AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点根据基点法公式有将上式在x轴上投影可得：因此：由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：将其对时间求导有：，由于，所以圆盘的角加速度。 BC圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：P313 滑块C的速度及其加速度就

19、是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，AB杆的角速度为：杆上C点的速度为：取AB杆为动系，套筒C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有：其中：，根据几何关系可求得：AB杆作平面运动，其A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知由该式可求得由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：再取AB杆为动系，套筒C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动

20、点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有： OAB图 A速度图如图A所示。由于动系平移，所以，根据速度合成定理可求出：由于圆盘O1 在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为： 由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：OAB图 B为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有 图 C （a）其加速度图如图C所示，O将公式（a）在和轴上投影可得：由此求出：，圆盘的角加速度为：下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式

21、有： （b）OB图 D将（b）式分别在轴上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC杆为动系（瞬时平移），套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有：由上式可解得：因为BC杆瞬时平移，所以有：Pyx315（d） 取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为根据速度合成定理有：根据几何关系可求出：将速度合成定理公式在x,y轴上投影:由此解得:DC杆的速度3-16(b) BC杆作平面运动,根据基点法有:由于BC杆瞬时平移,上式可表示成:将上式在铅垂轴上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速

22、圆周运动）。 (a)y其中:为科氏加速度,因为,所以动点的牵连加速度为: 由于动系瞬时平移,所以,牵连加速度为, 则(a)式可以表示成将上式在y轴上投影:由此求得: yx316(d) 取BC杆为动系，套筒A为动点，动点A的牵连加速度为动点的绝对加速度为其中为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有上式可写成 (a)其中：（见315d）为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有yx其中，上式可表示为将上式在y轴投影有：该式可表示成： （b）联立求解(a),(b)可得POR317 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为圆心，R

23、为半径的圆周上，并且A、O、P在同一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为 杆上B点的速度为：ORxyAB杆的角加速度为：取A为基点，根据基点法有将上式分别在x,y轴上投影有xy318 取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系根据几何关系可求得：再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影可得xy求加速度：研究C点有将上式在y轴投影有由此求得再研究D点由于BD杆相对动系平移，因此将上式分别在x,y轴上投影有321 由于圆盘纯滚动，所以有根据质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有求解上式可得：，若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：当：时，

24、322 研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有：刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。PA点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。有运动关系式求解以上三式可求得：325 设板和圆盘中心O的加速度分别为AR，圆盘的角加速度为，圆盘上与板的接触点为A，则A点的加速度为将上式在水平方向投影有 （a）取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 (b)应用相对质心动量矩定理有 (c)再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 (d ) 作用在板上的滑动摩擦力为： (e

25、)由(a) (b) (c) (d) (e)联立可解得：329 解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和： P其中：因此系统的动能可以表示成：系统从位置运动到任意角位置， AB杆的重力所作的功为： 根据动能定理的积分形式 初始时系统静止，所以，因此有将上式对时间求导可得：将上式中消去可得：根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度 ：因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB杆上A点的加速度：C333 设碰撞后滑块的速度

26、、AB杆的角速度如图所示根据冲量矩定理有： (a)其中：为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有 (b)再根据对固定点的冲量矩定理：系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：将其代入冲量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得： (滑块的真实方向与图示相反)334 研究整体，系统对A轴的动量矩为：其中：AC杆对A轴的动量矩为 设为BC杆的质心，BC 杆对A轴的动量矩为 BCI根据冲量矩定理 可得： （a） 再研究BC杆，其对与C点重合的

27、固定点的动量矩为根据冲量矩定理有： （b）联立求解（a）,(b) 可得335 碰撞前，弹簧有静变形第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动，不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：碰撞结束时两物体向下运动的速度为第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，大小仍然为第三阶段：与一起上升到最高位置，此时弹簧被拉长。根据动能定理有：上式可表示成：若使脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有，将代入上式求得：。若，则注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的，若与之间没有粘着力，答案应为，如何求解，请思考。336 取AB杆为研究对象，初始时，杆

28、上的A点与水平杆上的O点重合，当时系统静止，AB杆上A点的速度为，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得BA其中：由此解得：当时，滑块A以加速度向右运动，取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：将上式积分并简化可得：其中C是积分常数由初始条件确定出。上式可表示成若AB杆可转动整圈，则应有，因此。若的最小值大于零，则AB杆就可以完成整圈转动。下面求的极值。将上式求导令其为零有求得极值点为：当， 函数取最大值当， 函数取最小值，若使最小值大于零，则有由此求得：46 图示瞬时，AB杆的加速度瞬心位于P点，P设其角加速度为，则质心加速度为： 根据动静法有： 47 （

29、1）取AB杆和滑块C为研究对象AB杆平移，质心加速度如图所示 根据动静法有： （2）滑块C无水平方向的作用力，其加速度铅垂向下，AB杆平移，其加速度垂直于AD，如图所示。两者加速度的关系为根据动静法有 由此求得：（3） 先研究滑块C根据约束可知：根据动静法有： 因为：，所以有关系式即： 再研究整体，应用动静法有 上式可表示成：由上式解得：， ，48 （1）研究AB杆，将惯性力向杆的质心简化，根据动静法有： ， ， （2）若，必有，因此当，49 设OA杆和AB杆的角加速度分别为。将各杆的惯性力向各自质心简化。研究整体，根据动静法有：，AB杆，根据动静法有： 上述平衡方程可简化为求解该方程组可得：

30、410 取圆盘A的角加速度为，AB杆的角加速度为。ABC设AB杆的质心为C，其加速度为将惯性力分别向各刚体的质心简化。作用于AB杆质心C的惯性力为：，AB研究整体，C （a）P研究AB杆， (b)将(a)(b)得： 上式化简为：还可写成： 即： 将上式积分可得：再根据初始条件：确定，由此可得根据动能定理有： （C）其中： 再利用（c）式可表示成 (d)当, ,PAC再将(d)式求导,然后销去, 最后可得当,可求得, 又因为 ，当AB杆铅垂时，。再取圆盘为研究对象，应用动静法有A， 再研究整体，利用动静法有P412 此瞬时AB杆作瞬时平移，所以因为AB杆的角速度为零，且A点的加速度为零，取A为基

31、点，有又因为B点作圆周运动，所以将该式在铅垂轴上投影：由此解得：AB杆质心C的加速度垂直于AB杆，其大小为：应用动静法：，P414 图示瞬时，AB杆瞬时平移，其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为。各点加速度如图所示，其大小为，有关的惯性力为：P应用动静法和虚位移原理，有因为：，上式可表示成因为，所以 ，由此解得P研究AB杆及滑块B，由此解得：5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物和质量为8kg的重物，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物的加速度及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力。假设重物的加速度的方向竖直向下，则重

32、物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为： (1)该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有：M1gM2gFI2x2x1 （2）根据运动学关系可知： （3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意有：FI1方向竖直向下。取重物为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：M2gTa2解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取

33、为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，则系统的势能为：拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：整理得摆的运动微分方程为：5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为，式中是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为：h取为零势位，系统的势能为：由题可知，因此有：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得摆的运动微分方程为：，解得质点的运动规律为：，其中为积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，

34、并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩。解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得质点的运动微分方程为：2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为：力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此

35、力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：，代入上式可得：5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴转动，轴又绕铅垂轴以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于的直线上，。设和是物体过点的惯量主轴，转动惯量为和，物体对另一过点的惯量主轴的转动惯量为，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：zyxzyGO3垂直于O1O2的平面以该物体为研究对象，有一个自由度，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则物体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以

36、角速度绕轴的定轴转动，物体的绝对角速度是和的矢量之和。为了方便起见，以为轴，为轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度可表示成：由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物体的运动微分方程为：5-17重的楔块可沿水平面滑动，重的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水平力，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，楔

37、块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：xs系统的动能为：取过轴的水平为零势面，系统的势能为： 则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为，半径为的均质圆柱沿楔块的A

38、B边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度，圆柱轴心O的速度，以及轴心O相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：x圆柱在斜面上作纯滚动有：系统的动能为： 取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加速度：，方向水平向左。圆柱的角加速度：，顺时针方向。5-21系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物的质量分别为，滑轮的质量忽略不计。若初始时系统静止，试求欲使下降，质量和之间的关系。解：x1x2以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自