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1、第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 (14) 一 . 以 2 l 为周期的函数的 傅里叶展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 二 . 定义在任意有限区间上 函数的傅里叶展开式 1 一 . 以 2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 lxz 将 F(z) 作傅里叶展开 f (x) 的傅里叶展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 设周期为 2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件 , 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为 : 1 0 si nc os 2)( n nn l xnb l xnaaxf na xl
2、 xnxflb lln dsin)(1 其中 定理 . l 1 xl xnxfll dco s)( ),2,1,0( n ),2,1( n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 证明 : 令 l xz , 则 , llx , z 令 )(zF ,)( zlf 则 )2()2( zlfzF )2( lzlf )( zlf )(zF 所以 )(zF 且它满足收敛 定理 条件 , 将它展成傅里叶级数 : 1 0 s i nc o s 2)( n nn znbzna azF ( 在 F(z) 的连续点处 ) )(xf 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 zz
3、nzFan dcos)(1 其中 zznzFbn ds in)(1 令 l xz la n 1 xl xnxflb lln dsin)(1 l xnb l xnaaxf nn n sinc os 2)( 1 0 ),2,1,0( n ),3,2,1( n ),2,1,0( n ),3,2,1( n ( 在 f (x) 的 连续点处 ) xl xnxfll dco s)( 证毕 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 说明 : 1 )( n nbxf ),2,1(ds in)( nx l xnxfb n 其中 (在 f (x) 的连续点处 ) l xnsin l 2 0 l 如果 f (x)
4、 为 偶函数 , 则有 (在 f (x) 的连续点处 ) 2)( 0axf ),2,1,0(dcos)( nx l xnxfa n 其中 1n na l xncos 注 : 无论哪种情况 , ) .()( 21 xfxf 在 f (x) 的间断点 x 处 , 傅里叶级数 收敛于 l 2 0 l 如果 f (x) 为 奇函数 , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 例 1. 把 展开成 )20()( xxxf (1) 正弦级数 ; (2) 余弦级数 . 解 : (1) 将 f (x) 作 奇 周期延拓 , 则有 2o y x ),2,1,0(0 nan 2022 xbn xxn d2s
5、 in 0 22 2si n 2 2cos 2 xn n xnx n nn c o s4 ),2,1()1( 4 1 n n n 1 4)( n xf 2sin )1( 1 xn n n )20( x 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 2o y x (2) 将 作 偶 周期延拓 , )(xf ),2,1(0 nbn 2022 xa n xxn d2c o s 0 22 2cos 2 2si n 2 xn n xnx n 1)1(4 22 nn xxf )( 200 d22 xxa 2 kn 2,0 ,)12( 8 22k ),2,1( k 则有
6、 1 22 2 )12(c o s )12( 181 k xk k )20( x 12kn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 说明 : 此式对 0 x 也成立 , 8)12( 1 2 1 2 k k 由此还可导出 1 2 1 n n 8 2 1 2 1 4 1 n n 6 1 2 1 2 n n 1 2)2( 1 k k 1 22 2 )12(c os )12( 181)( k xk k xxf )20( x 1 212( 1 k k 据此有 2o y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9 二 . 定义在任意有限区间上的函数的傅里叶展开法 方法 1 , , )( baxxf 令 ,
7、2 abzx 即 2 abxz zabzfxfzF ,) 2()()( 2,2 abab 在 2,2 abab 上展成傅里叶级数 )(zF 周期延拓 将 2 abxz )(xf 在 , ba 代入展开式 上的傅里叶级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10 方法 2 , , )( baxxf 令 ,azx zazfxfzF ,)()()( ab,0 在 ab,0 上展成 正弦 或 余弦 级数 )(zF 奇 或 偶 式周期延拓 将 代入展开式 axz )(xf 在 , ba 即 axz 上的 正弦 或 余弦 级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11 )(zF z55 例 3. 将函数
8、)155(10)( xxxf 展成傅里叶级数 . 解 : 令 ,10 xz 设 )55( )10()()( zzzfxfzF 将 F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数 , 理条件 . 由于 F(z) 是奇函数 , 故 ),2,1,0(0 nan 5052 zb n zzn d5si n nn 10)1( ),2,1( n 则它满足收敛定 5s i n )1(10)( 1 zn nzF n n )55( z 5si n )1(1010 1 xn nx n n )155( x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 为正弦 级数 . 内容小结 周期为 2l 的函数的傅里叶级数展开公式 )(x
9、f 2 0a l xnbl xna nn n sinco s 1 (x 间断点 ) 其中 na xl xnxfl ll dc os)(1 nb xl xnxfl ll dsin)(1 ),1,0( n ),2,1( n 当 f (x)为奇 函数时 , (偶 ) (余弦 ) 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13 思考与练习 1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形 ? 答 : 易看出奇偶性及间断点 , 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答 : 用系数公式计算 如分母中出现因子 n k 作业 : 11.8 1 ; 2 . 本章已讲完 ,下次课为习题课 ,请复习 . 从而便于计算系数和写出 收敛域 . , 时nn ba kk ba 或则 必须单独计算 . 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 14 此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 15
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