平面桁架的有限元法ppt课件

平面桁架的有限元法一、建立有限元模型 平面桁架是现成的有限元模型，只有节点力二、单元分析 位移假设，几何方程，物理方程，单元刚度矩阵三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑 每个节点建立平衡方程 集成技术（叠加法、对号入座）四、求解、结果分析，后处理一、建立有限元模型平面桁架是现成的有限元模型，只有节点力桁架原型=有限元模型yxP二、单元分析 平面二力杆单元注意：一个单元的节点数目（2）；一个节点的自由度数目（2）；有整体坐标系和局部坐标系之分xoyxyuiiujjijbvv二、单元分析（先在局部坐标系中进行）问题：当节点位移一定，相应的节点力为多大？节点力与节点位移之间的比例常数为刚度系数目标：建立单元刚度矩阵。方法：结构力学的位移法加虚功原理，皆用节点位移表示。xoyxyuiiujjijbvv1、位移假设：设各点的位移，即位移场为xaavxaau4321421,aaa其中为待定系数，由节点坐标和节点位移确定。将位移写成矩阵形式：4321100001aaaaxxvuaHfsxoyxyuiiujjijbvvvu在节点上满足：baavbaauavauijii432131写成矩阵形式：aAbexaavxaau4321bxxji,0 xoyxyuiiujjijbvvvu432110000101000001aaaabbvuvujjii解线性代数方程组，得aAbe1ebAaaHfs代入得141444212ebsAHf144212efNf432110000101000001aaaabbvuvujjii4321100001aaaaxxvu1)(bsAHxNefNf节点位移与单元内位移的关系其中为形函数。用Machematica推导形函数：e在编程中只关心节点位移的系数矩阵xoyxyuiiujjijbvvvuxxHs1000012、应变（从位移求应变）只有轴向应变3、应力（从应变求应力，本构方程）0eLvuBxuyvxu0 xuEEivuivuxaavxaau43214、内力（从应力求内力）xuAEANiuyvxuAEAENSiie000二力杆只有轴向力0yv用Machematica推导应力矩阵：(EA的两个字母连写作参数名)eD用内力表示的物理方程yvxuEAEAN000EAEADe000eLBxuyvxu0NSeeLeeBDSefNf4、单元刚度矩阵（用虚功原理）给节点一组虚位移，单元内即产生相应的虚应变，实际节点力（轴向力、横向力、弯矩）在虚位移上所做的功等于实际应力（横向剪应力可忽略不计）在虚应变上产生的应变能。用Machematica推导单刚矩阵Ke：beLeTLTeleTeTexBDBlSR0ddeeLBeLeeBDS00jieNNR144414eeeKRbLeTLexBDBK042222444d用Machematica推导，所得结果以矩阵形式显示三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑1、坐标变换 前面的推导是在局部坐标系中进行的，而总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑等要在整体坐标中进行，因此，存在坐标变换问题。xoyxycossinsincosiiiiiiwuwwuuiiiiwuwucossinsincosiit三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑1、坐标变换iitjijitt00eeTttT00TTTTtt11eeRTReekReekReekRTeeTkkTTTkTkxoyxyuiiujjijbvvvucossinsincost三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑2、在总结构和整体坐标中讨论问题，所需要的信息：（1）节点号；（2）单元长度；（2）单元倾角(单元起点到终点的有向线段与整体横轴之夹角）；（4）节点力所在的节点号和作用方向；（5）支撑所在的节点号和作用方向。3、总节点位移向量的排列规律 按节点号和节点自由度的顺序（从小到大）排列。三、总刚度矩阵、总载荷列阵、引入支撑建立节点号数组（用Mathematica)：jm=Table0,0,i,ne;“jm数组名，ne 总单元数;”jm=，i节点号，j节点号，;建立单元长度数组gc=Table0,i,ne;“gc数组名，ne 总单元数;”gc=L1,L2,Lne;建立单元方向角数组gj=Table0,i,ne;“gj数组名，ne 总单元数;”gj=af1,af2,afne;3、总节点位移向量的排列规律jm=1,2，2,3，i节点号，j节点号，;jjiievuvu单元节点位移排列规律：rr=2(k-1)+kkk=1,2(单元节点);kk=1,2,(节点自由度)k=1k=2kk=1kk=2总节点位移向量d的排列规律(从小到大排序）：ss=2(jme,k-1)+kk;e=单元号rreessTd)(对每个单元进行节点循环和自由度循环，从单元地址到结构地址搬家是单元到结构的映射(map)3、总节点位移向量的排列规律单元节点位移号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)总节点位移号：ss=2(jme,k-1)+kk；例如，已解得结构的总节点位移向量d求各单元的应力。用Mathematica：deg=Table0,i,4;“整体坐标系中的单元节点位移向量”；del=Table0,i,4;“局部坐标系中的单元节点位移向量”；del=se=Table0,0,i,ne;“单元内力数组 ne行”;Fore=1,e=ne,e+,Fork=1,k=2,k+,Forkk=1,kk=2,kk+,rr=2(k-1)+kk；ss=2(jme,k-1)+kk；degrr=dss;del=TransposeTgje.deg;resultant=De.BL.del;see,1=e;see,2=resultantj,1;eLeeBDSe,Ne4、总节点载荷向量的排列规律按节点号和节点自由度的顺序（从小到大）排列。设总节点力向量为Rz单元节点位移号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)；总节点位移号：ss=2(jme,k-1)+kk；rreessssRTRzRz)(4、总节点载荷向量的排列规律单元节点力号：rr=2(k-1)+kk；k=1,2(单元节点)；kk=1,2(节点自由度)；总节点力号：ss=2(jme,k-1)+kk；用Mathematica编程：nj=ne+1总节点数Pk=Table0,i,4;“单元节点力向量”；Rz=Table0,i,2nj;“总节点力向量2nj行”;Fore=1,e=ne,e+,DoPki=.,i,4;“生成单元节点力”；Fork=1,k=2,k+,Forkk=1,kk=2,kk+,rr=2(k-1)+kk；ss=2(jme,k-1)+kk；Rzss=Rzss+Pkrr;“叠加法”；;5、总刚度矩阵的排列规律（1）总刚度矩阵中的行和列均按节点号和节点自由度的顺序（从小到大）排列；（2）在总刚度矩阵中，与同一节点相连的单元的刚度要叠加。对一个单元而言：yjxjyixijjiiRRRRvuvukkkkkkkkkkkkkkkk44434241343332312423222114131211 i jijij5、总刚度矩阵的排列规律单刚行号：r=2(i-1)+ii；i=1,2(单元节点)；ii=1,2(节点自由度)；单刚列号：s=2(j-1)+jj；j=1,2(单元节点)；jj=1,2(节点自由度)；总刚行号：rr=2(jme,i-1)+ii；总刚列号：ss=2(jme,j-1)+jj；jm=Table0,0,i,ne;“jm数组名，ne总单元数;”jm=.，i节点号，j节点号，;（2）在总刚度矩阵中，与同一节点相连的单元的刚度要叠加。用Mathematica编程：Kz=Table0,i,2nj,j,2nj;“开总刚度矩阵,nj 总节点数”；Fore=1,e=ne,e+,“生成单刚,变坐标系”；Fori=1,i=2,i+,Forii=1,ii=2,ii+,r=2(i-1)+ii;rr=2(jme,i+1-1)+ii；Forj=1,j=2,j+,Forjj=1,jj=2,jj+,s=2(j-1)+jj;ss=2(jme,j+1-1)+jj；“叠加法”；;Transpose TkeTek单刚行号：r=2(i-1)+ii；i=1,2(单元节点)；ii=1,2(节点自由度)；单刚列号：s=2(j-1)+jj；j=1,2(单元节点)；jj=1,2(节点自由度)；总刚行号：rr=2(jme,i-1)+ii；总刚列号：ss=32(jme,j-1)+jj；;,srekssrrKzssrrKz6、引入支撑(1)位移为零的约束前处理时输入信息：支撑数目nz、在整体坐标系中的自由度号zc=,2(jme,k-1)+kk,;“k=1,2;kk=1,2;”如图 nz=6;zc=3,4,5,6,7,8;yxPFori=1,i=nz,i+,z=zci;Rzz=0;Forj=1,j=2nj,j+,Kzz,j=0;Fork=1,k=2nj,k+,Kzk,z=0；Kzz,z=1 6、引入支撑(1)位移为零的约束在Mathematica上实现如图:nz=6;zc=3,4,5,6,7,8;(2)给定位移的约束如图，在节点1给一向右的水平位移u1。已知位移数目nf=1;总自由度号和位移值 zf=1,u1;Fori=1,i=nf,i+,z=zfi,1;zz=zfi,2;Rzz=zz Kzz,z1015;Kzz,z=Kzz,z1015 yxP算例1：求各杆的轴力，EA不相同，1杆长L。yxP计算结果：各杆内力（解析解）算例2：计算结果：各节点位移：xyP求：P作用点的位移各杆应力各杆内力：节点号，u/mm，v/mm单元号，N/KN算例3：计算结果：各节点位移：各杆内力：节点号，u/mm，v/mm单元号，N/KNxyP求 P 作用点的位移算例4：计算结果：各节点位移（加位移/力）：各杆内力（加位移/力）：节点号，u/mm，v/mm单元号，N/KNxyP求 P 作用点的位移桁架高h=2000mm作业（图形选自付朝江的研究报告）：设桁架由截面相同的双角钢制成，试用试算法确定角钢的型号，以及相应桁架的最大节点位移。MPa160,GPa200E