大学物理-机械波ppt课件
首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1第五章第五章 机械波机械波 前前 言言5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5-3 5-3 波的能量波的能量 *声强声强5-4 5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉5-5 5-5 驻波驻波5-6 5-6 多普勒效应多普勒效应 *冲击波冲击波*5-7 5-7 色散色散 波包波包 群速度群速度首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2一、机械波产生的条一、机械波产生的条件件5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。称为弹性波。1 1、有作机械振动的物体，即、有作机械振动的物体，即波源波源2 2、有连续的、有连续的介质介质首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3横波横波振动方向与传播方向垂直，如电振动方向与传播方向垂直，如电磁波。磁波。特点：波峰、波谷，只能在特点：波峰、波谷，只能在固体固体中传播。中传播。横波在介质中传播时，要求介质中存在弹性横波在介质中传播时，要求介质中存在弹性的的剪切力剪切力，只能在，只能在固体固体中传播。中传播。1.1.横波横波二、纵波和横波二、纵波和横波首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出411 12 131516 t=0141234567891011 12 1315161412345678910 t=T/2 t=T/411 12 1315161412345678910首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出56111213151614123478910 t=T511 12 1315161412345678910 t=3T/411121315161412345678910 t=5T/4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6纵波在介质中传播时，要求介质中拉伸压缩弹性，能纵波在介质中传播时，要求介质中拉伸压缩弹性，能在固体、液体、气体中传播。在固体、液体、气体中传播。结论：结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。动状态和能量。纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。2.2.纵波纵波特点：疏部、密部，能在固体、液体、气体中传播。特点：疏部、密部，能在固体、液体、气体中传播。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出73 3、表面波、表面波(了解了解）因液面有表面张力，在液面是纵波、横波均可传递。因液面有表面张力，在液面是纵波、横波均可传递。有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。椭圆振动。液面波不是简谐波。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出8波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态传到某时刻波源最初的振动状态传到的波面。的波面。波射线波射线-代表波的传播方向的射线，恒与波面垂直。代表波的传播方向的射线，恒与波面垂直。1.1.各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。注意：注意：三、波线和波面三、波线和波面2.2.沿波传播方向（即波线方向）各质点相位依次落后。沿波传播方向（即波线方向）各质点相位依次落后。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出9波线波线波面波面波面波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出10四、简谐波四、简谐波一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是又最基本的波动是简谐波，即波源以及介质中各质点简谐波，即波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。的振动都是谐振动。这种情况只能发生在各向同性、这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。由于所提到的介质都是这种理想化的介质。由于任何复杂任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。究简谐波具有特别重要的意义。*五、物体的弹性形变五、物体的弹性形变 （略）（略）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出111 1、波长、波长 六、描述波动的几个物理六、描述波动的几个物理量量同一波线上振动位相差为同一波线上振动位相差为22的相邻的两质点间的距离。的相邻的两质点间的距离。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。是波在空间上的周期性的标是波在空间上的周期性的标志志首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出12波动波动周期周期T T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间。间。或者说，波传播一个波长所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间。波动波动频率频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数21T2 2、波动周期、频率、波动周期、频率在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。T T 是波在时间上的周期性的标志是波在时间上的周期性的标志波的周期和频率由波源决定。波的周期和频率由波源决定。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出133 3、波速、波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速波速又叫相速又叫相速，用，用u表示，表示，波速决定于介质的力学性质。波速决定于介质的力学性质。它表示单位时间内一定振动状态或位相传播的距离。它表示单位时间内一定振动状态或位相传播的距离。uuTu2波长、波速、周期三者间关系：波长、波速、周期三者间关系：（1 1）波速与介质质点振动速度不同）波速与介质质点振动速度不同（2 2）波速由介质的性质决定，而不是由波的频率决定。）波速由介质的性质决定，而不是由波的频率决定。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出14一、平面简谐波的波动方一、平面简谐波的波动方程程在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？体振动呢？5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程xyo首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出15设一平面简谐波在理想介质中沿设一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即轴即为某一波线。为某一波线。设原点振动方程：设原点振动方程：xypuOxp为波线上任意位置为波线上任意位置x处的一质点处的一质点1.1.波动方程的得出波动方程的得出o点振动状态传到点振动状态传到p点需用时间点需用时间 )cos(0 tAyouxt 即，即，t 时刻时刻p处质点的振动状态与处质点的振动状态与 时刻时刻o处质点的处质点的振动状态相同。振动状态相同。uxt 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出16由于由于P P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点的振动方程，亦即的振动方程，亦即平面简谐波的的平面简谐波的的波动方程波动方程。因此因此 p点在点在t时刻的振动方程为时刻的振动方程为 0)(cos),(uxtAtxy波动方程波动方程波动方程波动方程表示波线上任意一质点在任意时刻离开自己平表示波线上任意一质点在任意时刻离开自己平衡位置的位移。衡位置的位移。沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动，沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动，也就是沿波的传播方向，相位依次落后。也就是沿波的传播方向，相位依次落后。沿沿x轴负方向传播时轴负方向传播时的的波动方程波动方程：0)(cos),(uxtAtxy首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出172 2、波动表达式的多种形式：、波动表达式的多种形式：0)(cos uxtAy)22cos(0 xtAy 0)(2cos xTtAy 00)(cos)(2cos xutkAxutAy 2,22 TuT利用关系式利用关系式 可得：可得：2 k波数波数，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的数目。长度内所具有的完整波的数目。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出18二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义振动振动y=f(t)描述描述一个质点一个质点的位移随时间变化的规律。的位移随时间变化的规律。波动波动y=f(x,t)描述波线上描述波线上所有质点所有质点的位移随时间变化的的位移随时间变化的规律。规律。1 1、给定、给定x，即，即 x=x0 为常数为常数则考察的是波线上某固定点则考察的是波线上某固定点)(cos0uxtAy )2cos(0 xtA )cos(tAy=f（x，t）蜕变成蜕变成 y=f（t）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出19（1 1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成x0处质元的振动方程处质元的振动方程（2 2）x0处质元的振动初位相处质元的振动初位相02x “”表示表示x0处质元的位相落后于原点处质元的位相落后于原点O O。（3 3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差同一时刻，同一波线上两点的振动位相差 xOx2x1)cos()(tAty)2cos(0 xtA x 212首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出202 2、如果给定、如果给定t，即，即t=t0 则则y=y(x)（1 1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成t0时刻的波形方程时刻的波形方程 可见，波长反映了波动在空间上的周期性。可见，波长反映了波动在空间上的周期性。/2/2故波形图有鲜明的时间特征；故波形图有鲜明的时间特征；,12 kxx k2 ,2)12(12 kxx )12(k)(cos00 uxtAy首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出21（3 3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差同一质元在不同的两个时刻的振动位相差（2 2）时间延续时间延续t，整个波形向前推进，整个波形向前推进x=ut 据此，可由已知据此，可由已知 时刻的波形图画出下一时刻的波形图；时刻的波形图画出下一时刻的波形图；xyuOxtt tx tTtt 2)(12首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出22波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。述一个波形的传播。3 3、x，t 都变都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为时刻的波形方程为 y(x)=Acos(tx/u)OYX(t)(t)(t)2(t)(t)t+t时刻的波形方程为时刻的波形方程为 y(x)=Acos(t+t(x+x)/u)首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出23一平面简谐波沿一平面简谐波沿x x轴负向传播，波长轴负向传播，波长=1.0m，原点处质点原点处质点的振动频率为的振动频率为v=20Hz，振幅，振幅A=0.1m，且在，且在t=0时恰好通过时恰好通过平衡位置向平衡位置向y轴负向运动。轴负向运动。求求:(1):(1)波速是多大波速是多大?(2)?(2)此平面波的波动方程。此平面波的波动方程。(3)(3)波波线上相距线上相距0.60.6米的两点相位差是多大米的两点相位差是多大?(1)u 0(2)cos()xyAtu提示：提示：32x （）课堂练习课堂练习首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出24解解:(1):(1)与波动方程的标准形式比较，即可得与波动方程的标准形式比较，即可得例例5.1已知波动方程为已知波动方程为 ，其中，其中x，y的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s，求，求 (1)振幅、波长、周期、振幅、波长、周期、波速；波速；(2)距原点为距原点为8 m和和10 m两点处质点振动的位相差；两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔波线上某质点在时间间隔0.2 s内的位相差内的位相差.)25(10cos1.0 xty 将波动方程改写成如下形式将波动方程改写成如下形式)25(1025cos1.0 xty mA1.0 1 5.2 s smu/25 00 sTT8.02 muT20 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出25(2)(2)同一时刻波线上坐标为同一时刻波线上坐标为x1和和x2两点处质点振动的位相差两点处质点振动的位相差)(212xx 5 (3)(3)对于波线上任意一质点，在对于波线上任意一质点，在t内的位相差内的位相差tT 22 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出26例例5.2一平面波在介质中以速度一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，沿直线传播，已知在传播路径上某点已知在传播路径上某点A A的振动方程为的振动方程为 ，（1 1）若以）若以A A点为坐标原点，写出波动方程，并求点为坐标原点，写出波动方程，并求C C，D D两点的振动方程，（两点的振动方程，（2 2）若以）若以B B点为坐标原点，写出波点为坐标原点，写出波动方程，并求动方程，并求C C，D D两点的振动方程。两点的振动方程。tyA 4cos3 解解:(1):(1)xBDCA8m5m9mu已知参量已知参量smu/20 4 原点的振动方程为原点的振动方程为tyyA 4cos30 因此，波动方程为因此，波动方程为)20(4cos3xty C C点和点和D D点的振动方程只需把坐标值带入波动方程即可点的振动方程只需把坐标值带入波动方程即可)2013(4cos3 tyC)209(4cos3 tyD 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出27(2)(2)先求坐标原点的振动方程（即先求坐标原点的振动方程（即B B点在点在t t时刻的振动状态）时刻的振动状态）st4/120/5 因此有因此有)2013(4cos3 tyC)209(4cos3 tyD B B点的振动状态传播到点的振动状态传播到A A点需要的时间为点需要的时间为B B点在点在t t时刻的振动状态与时刻的振动状态与A A点在点在t+1/4t+1/4时刻的振动相同时刻的振动相同)25.0(4cos30 tyyB 波动方程为波动方程为)4120(4cos3 xty C C点和点和D D点的振动方程为点的振动方程为首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出28习题习题5.15.1 振动和波动有什么区别和联系振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系又有什么联系?振动曲线振动曲线和波形曲线有什么不同和波形曲线有什么不同?习题习题5.25.2 波动方程波动方程 中的中的 表示表示什么什么?如果改写为如果改写为 ，又是什么意又是什么意思思?如果如果t和和x均增加，但相应的均增加，但相应的 的值不变，的值不变，由此能从波动方程说明什么由此能从波动方程说明什么?)(cos0 uxtAyux)cos(0 uxtAyux 0)(uxt首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出29习题习题5.3 5.3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点样的特点?习题习题5.4 5.4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处处?t=0s时刻是否一定是波源开始振动的时刻时刻是否一定是波源开始振动的时刻?波动方程波动方程写成写成 时，波源一定在坐标原点处吗时，波源一定在坐标原点处吗?在在什么前提下波动方程才能写成这种形式什么前提下波动方程才能写成这种形式?)(cosuxtAy 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出30习题习题5.9 5.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10t-4x)，式中，式中x,y以米计，以米计，t以秒计求：以秒计求：(1)(1)波的波速、频率和波长；波的波速、频率和波长；(2)(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)(3)求求x=0.2m处质点在处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时时的位相，它是原点在哪一时刻的位相刻的位相?这一位相所代表的运动状态在这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达时刻到达哪一点哪一点?解解:(1):(1)比较比较)22cos(xtAy )410cos(05.0 xty 得到：得到：mA05.0 振幅振幅 ；频率频率 ；Hzv5 波长波长 ；m5.0 波速波速 ；smvu/5.2 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出31(2)(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 A maxsm/5.005.010 2max Aa 222/505.0)10(sm (3)(3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为处的振动比原点落后的时间为 sux 08.05.22.0 故故 ,时的位相就是原点在时的位相就是原点在t0=1-0.08=0.92s 时的位相，即时的位相，即 mx2.0 st1 2.9 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出325-3 5-3 波的能量波的能量一一.波的能量和能量密波的能量和能量密度度波是振动状态的传播，也是伴随着振动能量的传播。波是振动状态的传播，也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波)(cos0 uxtAy在在x处取一体积元处取一体积元 ，dV质量为质量为dVdm 质点的振动速度质点的振动速度 )(sin0 uxtAtyv体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为dmvdEk221 dVuxtA)(sin210222 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出33体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为dVuxtAdEp)(sin210222 体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：pkdEdEdE dVuxtA)(sin0222 1 1）在波动的传播过程中，同一体积元内任意时刻的）在波动的传播过程中，同一体积元内任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。最大，同时等于零。说明说明:2 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。?首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34能量密度能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。：单位体积介质中所具有的波的能量。)(sin0222 uxtAdVdEw平均能量密度平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。：一个周期内能量密度的平均值。dtuxtATwdtTwTT)(sin1102202 0 T2sin02 ddVuxtAdE)(sin0222 平均能量密度平均能量密度2221 Aw 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出35能流能流:单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。二、波的二、波的能流和能流密能流和能流密度度Swup 平均能流：平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。SuwSwup 能流密度（波的强度）：能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。uwSpI uuS uAI2221 单位：瓦特单位：瓦特米米-2-2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出36例例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。反比。分析平面波和球面波的振幅分析平面波和球面波的振幅(了解）了解）证明：证明：在一个周期在一个周期T内通过内通过S1和和S2面的能量应该相等面的能量应该相等,2211TSITSI SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA 所以所以,平面波振幅相等。平面波振幅相等。对平面波有对平面波有1S2Su首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出372211rArA;4211rS 所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为离的振幅为A则距波源则距波源r 处的振幅为处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：类似，球面简谐波的波函数：TSAuTSAu222212122121 对球面波：对球面波：)(cos0 urtrAy2r1r;4222rS 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出385-4 5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉一、惠更斯原理一、惠更斯原理介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后某时刻这些子波的包后某时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出39波传播方向波传播方向平面波平面波u t球面波球面波t时刻波面时刻波面 t+t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向t时刻波面时刻波面t+t时刻波面时刻波面波传播方向波传播方向t时刻波面时刻波面t+t时刻波面时刻波面首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出40首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出41二、波的叠加原理二、波的叠加原理几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性(频率、波频率、波长、振幅、振动方向等长、振幅、振动方向等););在相遇的在相遇的区域内区域内，任一点的振，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。上述规律称为上述规律称为波的叠加原理波的叠加原理，又称，又称波的独立传播原理波的独立传播原理。说明：说明：1 1 振动的叠加仅发生在单振动的叠加仅发生在单一质点上。一质点上。2 2 波的叠加发生在两波相波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上。遇范围内的许多质点上。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出43三、波的干三、波的干涉涉1、干涉现象、干涉现象若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，得到波的一种得到波的一种稳定的叠加图样，稳定的叠加图样，这种现象称为波的干涉这种现象称为波的干涉现象。现象。一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质点的合振动是很复杂的和不稳定的。质点的合振动是很复杂的和不稳定的。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出44（3 3）振动方向相同。）振动方向相同。（1 1）频率相同；频率相同；（2 2）相位差恒定；）相位差恒定；2 2 相干条件相干条件相干波相干波 满足相干条件的波源称为相干波源，满足相干条件的波源称为相干波源，能叠加产生干涉现象的波称为相干波。能叠加产生干涉现象的波称为相干波。1S2S1r2rP首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出45传播到传播到P P点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)cos(101010 tAy)cos(202020 tAy在在P P点的振动为同方点的振动为同方向同频率振动的合向同频率振动的合成。成。设有两个相干波源设有两个相干波源 S1 和和 S2 发出发出的简谐波在空间的简谐波在空间 p 点相遇。点相遇。合成振动为：合成振动为：)cos(021 tAyyy)2cos(11011rtAy )2cos(22022rtAy 3.3.定量分析定量分析1S2S1r2rP首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出46 cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 由于波的强度正比于振幅的平方，合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅的平方，合振动的强度为：cos22121IIIII)cos(0 tAy对空间不同的位置，都有对空间不同的位置，都有恒定的恒定的 ，因而合强度在空，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。间形成稳定的分布，即有干涉现象。)2sin()2cos()2sin()2sin(tan22021101220211010 rArArArA 其中：其中：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出47 1210202rr ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII (1)(1)相长干涉的条件：相长干涉的条件：cos22122212AAAAA cos22121IIIII,.3,2,1,0 2 kk 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出48(3)(3)当两相干波源为同相波源时，相干条件写为当两相干波源为同相波源时，相干条件写为:,.3,2,1,0,12 kkrr ,.3,2,1,0,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉其中其中,称为称为波程差波程差|21minAAAA 2121min2IIIIII (2)(2)相消干涉的条件：相消干涉的条件：1210202rr ）（,.3,2,1,0 )12(kk 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出49例题例题:位于位于A A、B B两点的两个波源，振幅相等，频率都是两点的两个波源，振幅相等，频率都是100100赫兹，相位差为赫兹，相位差为，其，其A A、B B相距相距3030米，波速为米，波速为400400米米/秒，秒，求求:A A、B B连线之间因相消干涉而静止的各点的位置。连线之间因相消干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，取轴，取A点的振动方程点的振动方程 :)cos(tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：BAXxm30 x30O)2cos(1 xtAy 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出50B点的振动方程点的振动方程 :)0cos(tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相消干涉因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相消干涉为静止的点满足：为静止的点满足：BAXxm30 x30O)30(20cos2 xtAy )30(22xx)12(k,2,1,0 k首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出51相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：mx29,27,25,.9,7,5,3,1 BAXxm30 x30O )30(22xx)12(k,2,1,0 k7,2,1,0 215 kkx首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出52例例5.55.5图示声波干涉仪图示声波干涉仪.声波从入口声波从入口E E处进入仪器，分处进入仪器，分B B，C C两路在管中传播，然后到喇叭口两路在管中传播，然后到喇叭口A A会合后传出会合后传出.弯管弯管C C可可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱强或减弱.设设C C管每伸长管每伸长8 cm8 cm，由，由A A发出的声音就减弱一次，发出的声音就减弱一次，求此声波的频率求此声波的频率(空气中声速为空气中声速为340 m/s340 m/s).).首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出53当当C C管伸长管伸长x8 cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件波的波程差应满足条件解：对某次干涉减弱时有：解：对某次干涉减弱时有：DBADCALL ),2,1,0(2)12(kk 21)1(22 kx以上两式相减得以上两式相减得 ，于是可求出声波的频率为，于是可求出声波的频率为x2 Hzxuu212508.023402 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出54习题习题5.185.18 S1和和S2为两相干波源，振幅均为为两相干波源，振幅均为A1，相距，相距/4，S1的位相超前的位相超前S2/2，求：，求：（1 1）S1外侧各点的振幅和强度；外侧各点的振幅和强度；（2 2）S2外侧各点的振幅和强度。外侧各点的振幅和强度。S1S2解：（解：（1 1）在在S1外侧距离为外侧距离为r的点，到的点，到S2的距离为的距离为 4 r某时刻该点的两振动位相差为某时刻该点的两振动位相差为 21 )4(222 rtrt 因此两振动反相因此两振动反相011 AAA波强波强02 AI首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出55（2 2）在在S2外侧距离为外侧距离为r的点，到的点，到S1的距离为的距离为 4 r某时刻该点的两振动位相差为某时刻该点的两振动位相差为 21 022)4(2 rtrt因此两振动同相因此两振动同相1112AAAA 波强波强2124AAI 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出565-5 5-5 驻波驻波一、驻波方程一、驻波方程)2cos(1 xtAy )2cos(2 xtAy txAyyy cos2cos221 xAxA2cos2)(驻波驻波:是两列振幅相同、频率相同，但传播方向相反的是两列振幅相同、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。简谐波的叠加。txAy cos)(驻波方程驻波方程首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出571 1、驻波不满足、驻波不满足 的行波条的行波条注意注意2 2、驻波波场中，各点都在作、驻波波场中，各点都在作简谐振动简谐振动，各点振动的，各点振动的频率与原来波的频率相同，但各点频率与原来波的频率相同，但各点振幅随位置的振幅随位置的变化而变化变化而变化。),(),(xtytuxtty 件，件，驻波不是行波，驻波不是行波，不是振动的传播。不是振动的传播。xAxA2cos2)(txAy cos)(首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出58txAy cos)(12cos x xAxA2cos2)(AxA2)(kx 2,2,1,02 kkx 02cos x0)(xA )21(2 kx,2,1,02)21(kkx 1 1、振幅分布特点、振幅分布特点波腹与波节波腹与波节 二、驻波的特点二、驻波的特点波腹波腹波节波节首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出59相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：4 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2,1,02 kkx 波腹波腹,2,1,02)21(kkx 波节波节2 x首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出602 2、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点在波节两侧质点的振动相位相反。在波节两侧质点的振动相位相反。同时达到相反方向最大位移，速度方向相反。同时达到相反方向最大位移，速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到相同方向最大位移，速度方向相同。同时达到相同方向最大位移，速度方向相同。txAy cos2cos2 43454(x)0(x)0即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相邻两段位相相反。邻两段位相相反。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出61实验表明：实验表明：11u 波在有些分界面发生反射时，波在有些分界面发生反射时，反射点为波节，反射反射点为波节，反射波与入射波在反射点反相（反射波产生了波与入射波在反射点反相（反射波产生了的相位突的相位突变）。变）。波在有些分界面发生反射时，反射点为波腹，反射波在有些分界面发生反射时，反射点为波腹，反射波与入射波在反射点同相；波与入射波在反射点同相；22u 三、半波损失三、半波损失波动在反射时发生波动在反射时发生位相突变的现象称为位相突变的现象称为半波损失半波损失。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出62波阻：波阻：u 即介质的密度与波速之乘即介质的密度与波速之乘积积两种介质中，相对波阻大的介质为两种介质中，相对波阻大的介质为波密介质波密介质 相对波阻小的介质为相对波阻小的介质为波疏介质波疏介质（1 1）波）波从波疏介质从波疏介质垂直入射时，反射波有半波损失，垂直入射时，反射波有半波损失，界面处形成波节。界面处形成波节。有半波有半波损失损失首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出63无半无半波损波损失失（2 2）波）波从波密介质从波密介质垂直入射时，反射波没有半波损失，垂直入射时，反射波没有半波损失，界面处形成波腹。界面处形成波腹。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出64习题习题5.55.5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?
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首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1第五章第五章 机械波机械波 前前 言言5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5-3 5-3 波的能量波的能量 *声强声强5-4 5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉5-5 5-5 驻波驻波5-6 5-6 多普勒效应多普勒效应 *冲击波冲击波*5-7 5-7 色散色散 波包波包 群速度群速度首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2一、机械波产生的条一、机械波产生的条件件5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。称为弹性波。1 1、有作机械振动的物体，即、有作机械振动的物体，即波源波源2 2、有连续的、有连续的介质介质首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3横波横波振动方向与传播方向垂直，如电振动方向与传播方向垂直，如电磁波。磁波。特点：波峰、波谷，只能在特点：波峰、波谷，只能在固体固体中传播。中传播。横波在介质中传播时，要求介质中存在弹性横波在介质中传播时，要求介质中存在弹性的的剪切力剪切力，只能在，只能在固体固体中传播。中传播。1.1.横波横波二、纵波和横波二、纵波和横波首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出411 12 131516 t=0141234567891011 12 1315161412345678910 t=T/2 t=T/411 12 1315161412345678910首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出56111213151614123478910 t=T511 12 1315161412345678910 t=3T/411121315161412345678910 t=5T/4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6纵波在介质中传播时，要求介质中拉伸压缩弹性，能纵波在介质中传播时，要求介质中拉伸压缩弹性，能在固体、液体、气体中传播。在固体、液体、气体中传播。结论：结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。动状态和能量。纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。2.2.纵波纵波特点：疏部、密部，能在固体、液体、气体中传播。特点：疏部、密部，能在固体、液体、气体中传播。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出73 3、表面波、表面波(了解了解）因液面有表面张力，在液面是纵波、横波均可传递。因液面有表面张力，在液面是纵波、横波均可传递。有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。椭圆振动。液面波不是简谐波。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出8波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态传到某时刻波源最初的振动状态传到的波面。的波面。波射线波射线-代表波的传播方向的射线，恒与波面垂直。代表波的传播方向的射线，恒与波面垂直。1.1.各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。注意：注意：三、波线和波面三、波线和波面2.2.沿波传播方向（即波线方向）各质点相位依次落后。沿波传播方向（即波线方向）各质点相位依次落后。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出9波线波线波面波面波面波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出10四、简谐波四、简谐波一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是又最基本的波动是简谐波，即波源以及介质中各质点简谐波，即波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。的振动都是谐振动。这种情况只能发生在各向同性、这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。由于所提到的介质都是这种理想化的介质。由于任何复杂任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。究简谐波具有特别重要的意义。*五、物体的弹性形变五、物体的弹性形变 （略）（略）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出111 1、波长、波长 六、描述波动的几个物理六、描述波动的几个物理量量同一波线上振动位相差为同一波线上振动位相差为22的相邻的两质点间的距离。的相邻的两质点间的距离。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。是波在空间上的周期性的标是波在空间上的周期性的标志志首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出12波动波动周期周期T T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间。间。或者说，波传播一个波长所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间。波动波动频率频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数21T2 2、波动周期、频率、波动周期、频率在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。T T 是波在时间上的周期性的标志是波在时间上的周期性的标志波的周期和频率由波源决定。波的周期和频率由波源决定。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出133 3、波速、波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速波速又叫相速又叫相速，用，用u表示，表示，波速决定于介质的力学性质。波速决定于介质的力学性质。它表示单位时间内一定振动状态或位相传播的距离。它表示单位时间内一定振动状态或位相传播的距离。uuTu2波长、波速、周期三者间关系：波长、波速、周期三者间关系：（1 1）波速与介质质点振动速度不同）波速与介质质点振动速度不同（2 2）波速由介质的性质决定，而不是由波的频率决定。）波速由介质的性质决定，而不是由波的频率决定。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出14一、平面简谐波的波动方一、平面简谐波的波动方程程在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？体振动呢？5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程xyo首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出15设一平面简谐波在理想介质中沿设一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即轴即为某一波线。为某一波线。设原点振动方程：设原点振动方程：xypuOxp为波线上任意位置为波线上任意位置x处的一质点处的一质点1.1.波动方程的得出波动方程的得出o点振动状态传到点振动状态传到p点需用时间点需用时间 )cos(0 tAyouxt 即，即，t 时刻时刻p处质点的振动状态与处质点的振动状态与 时刻时刻o处质点的处质点的振动状态相同。振动状态相同。uxt 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出16由于由于P P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点的振动方程，亦即的振动方程，亦即平面简谐波的的平面简谐波的的波动方程波动方程。因此因此 p点在点在t时刻的振动方程为时刻的振动方程为 0)(cos),(uxtAtxy波动方程波动方程波动方程波动方程表示波线上任意一质点在任意时刻离开自己平表示波线上任意一质点在任意时刻离开自己平衡位置的位移。衡位置的位移。沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动，沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动，也就是沿波的传播方向，相位依次落后。也就是沿波的传播方向，相位依次落后。沿沿x轴负方向传播时轴负方向传播时的的波动方程波动方程：0)(cos),(uxtAtxy首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出172 2、波动表达式的多种形式：、波动表达式的多种形式：0)(cos uxtAy)22cos(0 xtAy 0)(2cos xTtAy 00)(cos)(2cos xutkAxutAy 2,22 TuT利用关系式利用关系式 可得：可得：2 k波数波数，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的数目。长度内所具有的完整波的数目。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出18二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义振动振动y=f(t)描述描述一个质点一个质点的位移随时间变化的规律。的位移随时间变化的规律。波动波动y=f(x,t)描述波线上描述波线上所有质点所有质点的位移随时间变化的的位移随时间变化的规律。规律。1 1、给定、给定x，即，即 x=x0 为常数为常数则考察的是波线上某固定点则考察的是波线上某固定点)(cos0uxtAy )2cos(0 xtA )cos(tAy=f（x，t）蜕变成蜕变成 y=f（t）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出19（1 1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成x0处质元的振动方程处质元的振动方程（2 2）x0处质元的振动初位相处质元的振动初位相02x “”表示表示x0处质元的位相落后于原点处质元的位相落后于原点O O。（3 3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差同一时刻，同一波线上两点的振动位相差 xOx2x1)cos()(tAty)2cos(0 xtA x 212首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出202 2、如果给定、如果给定t，即，即t=t0 则则y=y(x)（1 1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成t0时刻的波形方程时刻的波形方程 可见，波长反映了波动在空间上的周期性。可见，波长反映了波动在空间上的周期性。/2/2故波形图有鲜明的时间特征；故波形图有鲜明的时间特征；,12 kxx k2 ,2)12(12 kxx )12(k)(cos00 uxtAy首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出21（3 3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差同一质元在不同的两个时刻的振动位相差（2 2）时间延续时间延续t，整个波形向前推进，整个波形向前推进x=ut 据此，可由已知据此，可由已知 时刻的波形图画出下一时刻的波形图；时刻的波形图画出下一时刻的波形图；xyuOxtt tx tTtt 2)(12首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出22波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。述一个波形的传播。3 3、x，t 都变都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为时刻的波形方程为 y(x)=Acos(tx/u)OYX(t)(t)(t)2(t)(t)t+t时刻的波形方程为时刻的波形方程为 y(x)=Acos(t+t(x+x)/u)首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出23一平面简谐波沿一平面简谐波沿x x轴负向传播，波长轴负向传播，波长=1.0m，原点处质点原点处质点的振动频率为的振动频率为v=20Hz，振幅，振幅A=0.1m，且在，且在t=0时恰好通过时恰好通过平衡位置向平衡位置向y轴负向运动。轴负向运动。求求:(1):(1)波速是多大波速是多大?(2)?(2)此平面波的波动方程。此平面波的波动方程。(3)(3)波波线上相距线上相距0.60.6米的两点相位差是多大米的两点相位差是多大?(1)u 0(2)cos()xyAtu提示：提示：32x （）课堂练习课堂练习首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出24解解:(1):(1)与波动方程的标准形式比较，即可得与波动方程的标准形式比较，即可得例例5.1已知波动方程为已知波动方程为 ，其中，其中x，y的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s，求，求 (1)振幅、波长、周期、振幅、波长、周期、波速；波速；(2)距原点为距原点为8 m和和10 m两点处质点振动的位相差；两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔波线上某质点在时间间隔0.2 s内的位相差内的位相差.)25(10cos1.0 xty 将波动方程改写成如下形式将波动方程改写成如下形式)25(1025cos1.0 xty mA1.0 1 5.2 s smu/25 00 sTT8.02 muT20 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出25(2)(2)同一时刻波线上坐标为同一时刻波线上坐标为x1和和x2两点处质点振动的位相差两点处质点振动的位相差)(212xx 5 (3)(3)对于波线上任意一质点，在对于波线上任意一质点，在t内的位相差内的位相差tT 22 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出26例例5.2一平面波在介质中以速度一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，沿直线传播，已知在传播路径上某点已知在传播路径上某点A A的振动方程为的振动方程为 ，（1 1）若以）若以A A点为坐标原点，写出波动方程，并求点为坐标原点，写出波动方程，并求C C，D D两点的振动方程，（两点的振动方程，（2 2）若以）若以B B点为坐标原点，写出波点为坐标原点，写出波动方程，并求动方程，并求C C，D D两点的振动方程。两点的振动方程。tyA 4cos3 解解:(1):(1)xBDCA8m5m9mu已知参量已知参量smu/20 4 原点的振动方程为原点的振动方程为tyyA 4cos30 因此，波动方程为因此，波动方程为)20(4cos3xty C C点和点和D D点的振动方程只需把坐标值带入波动方程即可点的振动方程只需把坐标值带入波动方程即可)2013(4cos3 tyC)209(4cos3 tyD 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出27(2)(2)先求坐标原点的振动方程（即先求坐标原点的振动方程（即B B点在点在t t时刻的振动状态）时刻的振动状态）st4/120/5 因此有因此有)2013(4cos3 tyC)209(4cos3 tyD B B点的振动状态传播到点的振动状态传播到A A点需要的时间为点需要的时间为B B点在点在t t时刻的振动状态与时刻的振动状态与A A点在点在t+1/4t+1/4时刻的振动相同时刻的振动相同)25.0(4cos30 tyyB 波动方程为波动方程为)4120(4cos3 xty C C点和点和D D点的振动方程为点的振动方程为首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出28习题习题5.15.1 振动和波动有什么区别和联系振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系又有什么联系?振动曲线振动曲线和波形曲线有什么不同和波形曲线有什么不同?习题习题5.25.2 波动方程波动方程 中的中的 表示表示什么什么?如果改写为如果改写为 ，又是什么意又是什么意思思?如果如果t和和x均增加，但相应的均增加，但相应的 的值不变，的值不变，由此能从波动方程说明什么由此能从波动方程说明什么?)(cos0 uxtAyux)cos(0 uxtAyux 0)(uxt首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出29习题习题5.3 5.3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点样的特点?习题习题5.4 5.4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处处?t=0s时刻是否一定是波源开始振动的时刻时刻是否一定是波源开始振动的时刻?波动方程波动方程写成写成 时，波源一定在坐标原点处吗时，波源一定在坐标原点处吗?在在什么前提下波动方程才能写成这种形式什么前提下波动方程才能写成这种形式?)(cosuxtAy 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出30习题习题5.9 5.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10t-4x)，式中，式中x,y以米计，以米计，t以秒计求：以秒计求：(1)(1)波的波速、频率和波长；波的波速、频率和波长；(2)(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)(3)求求x=0.2m处质点在处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时时的位相，它是原点在哪一时刻的位相刻的位相?这一位相所代表的运动状态在这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达时刻到达哪一点哪一点?解解:(1):(1)比较比较)22cos(xtAy )410cos(05.0 xty 得到：得到：mA05.0 振幅振幅 ；频率频率 ；Hzv5 波长波长 ；m5.0 波速波速 ；smvu/5.2 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出31(2)(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 A maxsm/5.005.010 2max Aa 222/505.0)10(sm (3)(3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为处的振动比原点落后的时间为 sux 08.05.22.0 故故 ,时的位相就是原点在时的位相就是原点在t0=1-0.08=0.92s 时的位相，即时的位相，即 mx2.0 st1 2.9 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出325-3 5-3 波的能量波的能量一一.波的能量和能量密波的能量和能量密度度波是振动状态的传播，也是伴随着振动能量的传播。波是振动状态的传播，也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波)(cos0 uxtAy在在x处取一体积元处取一体积元 ，dV质量为质量为dVdm 质点的振动速度质点的振动速度 )(sin0 uxtAtyv体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为dmvdEk221 dVuxtA)(sin210222 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出33体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为dVuxtAdEp)(sin210222 体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：pkdEdEdE dVuxtA)(sin0222 1 1）在波动的传播过程中，同一体积元内任意时刻的）在波动的传播过程中，同一体积元内任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。最大，同时等于零。说明说明:2 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。?首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34能量密度能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。：单位体积介质中所具有的波的能量。)(sin0222 uxtAdVdEw平均能量密度平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。：一个周期内能量密度的平均值。dtuxtATwdtTwTT)(sin1102202 0 T2sin02 ddVuxtAdE)(sin0222 平均能量密度平均能量密度2221 Aw 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出35能流能流:单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。二、波的二、波的能流和能流密能流和能流密度度Swup 平均能流：平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。SuwSwup 能流密度（波的强度）：能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。uwSpI uuS uAI2221 单位：瓦特单位：瓦特米米-2-2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出36例例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。反比。分析平面波和球面波的振幅分析平面波和球面波的振幅(了解）了解）证明：证明：在一个周期在一个周期T内通过内通过S1和和S2面的能量应该相等面的能量应该相等,2211TSITSI SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA 所以所以,平面波振幅相等。平面波振幅相等。对平面波有对平面波有1S2Su首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出372211rArA;4211rS 所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为离的振幅为A则距波源则距波源r 处的振幅为处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：类似，球面简谐波的波函数：TSAuTSAu222212122121 对球面波：对球面波：)(cos0 urtrAy2r1r;4222rS 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出385-4 5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉一、惠更斯原理一、惠更斯原理介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后某时刻这些子波的包后某时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出39波传播方向波传播方向平面波平面波u t球面波球面波t时刻波面时刻波面 t+t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向t时刻波面时刻波面t+t时刻波面时刻波面波传播方向波传播方向t时刻波面时刻波面t+t时刻波面时刻波面首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出40首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出41二、波的叠加原理二、波的叠加原理几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性(频率、波频率、波长、振幅、振动方向等长、振幅、振动方向等););在相遇的在相遇的区域内区域内，任一点的振，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。上述规律称为上述规律称为波的叠加原理波的叠加原理，又称，又称波的独立传播原理波的独立传播原理。说明：说明：1 1 振动的叠加仅发生在单振动的叠加仅发生在单一质点上。一质点上。2 2 波的叠加发生在两波相波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上。遇范围内的许多质点上。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出43三、波的干三、波的干涉涉1、干涉现象、干涉现象若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，得到波的一种得到波的一种稳定的叠加图样，稳定的叠加图样，这种现象称为波的干涉这种现象称为波的干涉现象。现象。一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质点的合振动是很复杂的和不稳定的。质点的合振动是很复杂的和不稳定的。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出44（3 3）振动方向相同。）振动方向相同。（1 1）频率相同；频率相同；（2 2）相位差恒定；）相位差恒定；2 2 相干条件相干条件相干波相干波 满足相干条件的波源称为相干波源，满足相干条件的波源称为相干波源，能叠加产生干涉现象的波称为相干波。能叠加产生干涉现象的波称为相干波。1S2S1r2rP首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出45传播到传播到P P点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)cos(101010 tAy)cos(202020 tAy在在P P点的振动为同方点的振动为同方向同频率振动的合向同频率振动的合成。成。设有两个相干波源设有两个相干波源 S1 和和 S2 发出发出的简谐波在空间的简谐波在空间 p 点相遇。点相遇。合成振动为：合成振动为：)cos(021 tAyyy)2cos(11011rtAy )2cos(22022rtAy 3.3.定量分析定量分析1S2S1r2rP首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出46 cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 由于波的强度正比于振幅的平方，合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅的平方，合振动的强度为：cos22121IIIII)cos(0 tAy对空间不同的位置，都有对空间不同的位置，都有恒定的恒定的 ，因而合强度在空，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。间形成稳定的分布，即有干涉现象。)2sin()2cos()2sin()2sin(tan22021101220211010 rArArArA 其中：其中：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出47 1210202rr ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII (1)(1)相长干涉的条件：相长干涉的条件：cos22122212AAAAA cos22121IIIII,.3,2,1,0 2 kk 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出48(3)(3)当两相干波源为同相波源时，相干条件写为当两相干波源为同相波源时，相干条件写为:,.3,2,1,0,12 kkrr ,.3,2,1,0,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉其中其中,称为称为波程差波程差|21minAAAA 2121min2IIIIII (2)(2)相消干涉的条件：相消干涉的条件：1210202rr ）（,.3,2,1,0 )12(kk 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出49例题例题:位于位于A A、B B两点的两个波源，振幅相等，频率都是两点的两个波源，振幅相等，频率都是100100赫兹，相位差为赫兹，相位差为，其，其A A、B B相距相距3030米，波速为米，波速为400400米米/秒，秒，求求:A A、B B连线之间因相消干涉而静止的各点的位置。连线之间因相消干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，取轴，取A点的振动方程点的振动方程 :)cos(tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：BAXxm30 x30O)2cos(1 xtAy 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出50B点的振动方程点的振动方程 :)0cos(tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相消干涉因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相消干涉为静止的点满足：为静止的点满足：BAXxm30 x30O)30(20cos2 xtAy )30(22xx)12(k,2,1,0 k首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出51相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：mx29,27,25,.9,7,5,3,1 BAXxm30 x30O )30(22xx)12(k,2,1,0 k7,2,1,0 215 kkx首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出52例例5.55.5图示声波干涉仪图示声波干涉仪.声波从入口声波从入口E E处进入仪器，分处进入仪器，分B B，C C两路在管中传播，然后到喇叭口两路在管中传播，然后到喇叭口A A会合后传出会合后传出.弯管弯管C C可可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱强或减弱.设设C C管每伸长管每伸长8 cm8 cm，由，由A A发出的声音就减弱一次，发出的声音就减弱一次，求此声波的频率求此声波的频率(空气中声速为空气中声速为340 m/s340 m/s).).首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出53当当C C管伸长管伸长x8 cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件波的波程差应满足条件解：对某次干涉减弱时有：解：对某次干涉减弱时有：DBADCALL ),2,1,0(2)12(kk 21)1(22 kx以上两式相减得以上两式相减得 ，于是可求出声波的频率为，于是可求出声波的频率为x2 Hzxuu212508.023402 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出54习题习题5.185.18 S1和和S2为两相干波源，振幅均为为两相干波源，振幅均为A1，相距，相距/4，S1的位相超前的位相超前S2/2，求：，求：（1 1）S1外侧各点的振幅和强度；外侧各点的振幅和强度；（2 2）S2外侧各点的振幅和强度。外侧各点的振幅和强度。S1S2解：（解：（1 1）在在S1外侧距离为外侧距离为r的点，到的点，到S2的距离为的距离为 4 r某时刻该点的两振动位相差为某时刻该点的两振动位相差为 21 )4(222 rtrt 因此两振动反相因此两振动反相011 AAA波强波强02 AI首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出55（2 2）在在S2外侧距离为外侧距离为r的点，到的点，到S1的距离为的距离为 4 r某时刻该点的两振动位相差为某时刻该点的两振动位相差为 21 022)4(2 rtrt因此两振动同相因此两振动同相1112AAAA 波强波强2124AAI 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出565-5 5-5 驻波驻波一、驻波方程一、驻波方程)2cos(1 xtAy )2cos(2 xtAy txAyyy cos2cos221 xAxA2cos2)(驻波驻波:是两列振幅相同、频率相同，但传播方向相反的是两列振幅相同、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。简谐波的叠加。txAy cos)(驻波方程驻波方程首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出571 1、驻波不满足、驻波不满足 的行波条的行波条注意注意2 2、驻波波场中，各点都在作、驻波波场中，各点都在作简谐振动简谐振动，各点振动的，各点振动的频率与原来波的频率相同，但各点频率与原来波的频率相同，但各点振幅随位置的振幅随位置的变化而变化变化而变化。),(),(xtytuxtty 件，件，驻波不是行波，驻波不是行波，不是振动的传播。不是振动的传播。xAxA2cos2)(txAy cos)(首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出58txAy cos)(12cos x xAxA2cos2)(AxA2)(kx 2,2,1,02 kkx 02cos x0)(xA )21(2 kx,2,1,02)21(kkx 1 1、振幅分布特点、振幅分布特点波腹与波节波腹与波节 二、驻波的特点二、驻波的特点波腹波腹波节波节首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出59相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：4 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2,1,02 kkx 波腹波腹,2,1,02)21(kkx 波节波节2 x首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出602 2、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点在波节两侧质点的振动相位相反。在波节两侧质点的振动相位相反。同时达到相反方向最大位移，速度方向相反。同时达到相反方向最大位移，速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到相同方向最大位移，速度方向相同。同时达到相同方向最大位移，速度方向相同。txAy cos2cos2 43454(x)0(x)0即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相邻两段位相相反。邻两段位相相反。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出61实验表明：实验表明：11u 波在有些分界面发生反射时，波在有些分界面发生反射时，反射点为波节，反射反射点为波节，反射波与入射波在反射点反相（反射波产生了波与入射波在反射点反相（反射波产生了的相位突的相位突变）。变）。波在有些分界面发生反射时，反射点为波腹，反射波在有些分界面发生反射时，反射点为波腹，反射波与入射波在反射点同相；波与入射波在反射点同相；22u 三、半波损失三、半波损失波动在反射时发生波动在反射时发生位相突变的现象称为位相突变的现象称为半波损失半波损失。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出62波阻：波阻：u 即介质的密度与波速之乘即介质的密度与波速之乘积积两种介质中，相对波阻大的介质为两种介质中，相对波阻大的介质为波密介质波密介质 相对波阻小的介质为相对波阻小的介质为波疏介质波疏介质（1 1）波）波从波疏介质从波疏介质垂直入射时，反射波有半波损失，垂直入射时，反射波有半波损失，界面处形成波节。界面处形成波节。有半波有半波损失损失首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出63无半无半波损波损失失（2 2）波）波从波密介质从波密介质垂直入射时，反射波没有半波损失，垂直入射时，反射波没有半波损失，界面处形成波腹。界面处形成波腹。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出64习题习题5.55.5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?
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