【浙江工商大学】概率统计模拟试题1-4解答

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1、【浙江工商大学】概率统计模拟试题1-4解答 - 模拟试题一参考答案 一.单项选择题每题2分,共16分 1、设A, B为两个随机事件,假设P(AB)?0,那么以下命题中正确的选项是 (A) A与B互不相容 (C) P(A)?0或P(B)?0 (B) A与B独立 (D) AB未必是不可能事件 解 假设AB为零概率事件,其未必为不可能事件.此题应选D. 2、设每次试验失败的概率为p,那么在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为 1(A) 3(1?p) (B) (1?p)3 (C) 1?p3 (D) C3(1?p)p2 解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为p3,故所求概率为1?p3.假设

2、直接从正面去求较为费事.此题应选C. 3、假设函数y?f(x)是一随机变量?的概率密度,那么下面说法中一定成立的是 (A) f(x)非负 (B) f(x)的值域为0,1 (C) f(x)单调非降 (D) f(x)在(-,-)内连续 解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,f(x)是定义在(-,-)上的非负函数,且满足-?11f(x)dx?1,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从,上的均匀分布的随机变量的概32率密度 11-6,?x?,f(x)-32 ?其他?0,在x?11与x?处不连续,且在这两点的函数值大于1.因此此题应选A. 324、假设随机变量X的概率密度为f(x)?12?X?

3、3X?3X?3X?3(A) (B) (C) (D) 2222X?3解 X的数学期望EX-3,方差DX?2,令Y?,那么其服从标准正态分布.故此题应选A. 25、假设随机变量X, Y不相关,那么以下等式中不成立的是 (A) cov(X,Y)?0 (C) DXY?DX?DY 解 因为-0,故 (B) D(X?Y)?DX?DY (D) EXY?EX?EY e?(x?3)24 (-?x-?),那么Y? N(0,1) cov(X,Y)-DX?DY?0, D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?DX?DY, 但无论如何,都不成立DXY?DX?DY.故此题应选C. 6、设样本X1,X2,-?,Xn取自

4、标准正态分布总体X,又X, S分别为样本均值及样本标准差,那么 (A) XN(0,1) n (B) nXN(0,1) (D) (C) 22X?(n) ?ii?1Xt(n?1) S1 n?Xt(n?1),只有C选项成立.此题应选C. S7、样本X1,X2,?,Xn (n?3)取自总体X,那么以下估计量中, 不是总体期望?的无偏估计量 解 XN(0,),nXN(0,n),(A) 1n?Xi?1ni (B) X (D) X1?X2?X3 (C) 0.1(6X1?4Xn) 解 由无偏估计量的定义计算可知,?Xi?1ni不是无偏估计量,此题应选A. 8、在假设检验中,记H0为待检假设,那么犯第一类错误指

5、的是 (A) H0成立,经检验承受H0 (C) H0不成立,经检验承受H0 二.填空题每空2分,共14分 1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是_,恰好出现一个正面的概率是_. 解 (B) H0成立,经检验回绝H0 (D) H0不成立,经检验回绝H0 解 弃真错误为第一类错误,此题应选B. 13;. 881,那么X的概率密度为_. 32、设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且EX?3, DX?a?b(b?a)21?3, DX-,解得a?2, b?4, 解 设Xa,b,那么EX?2123?1?,2?x?4,所以X的概率密度为f(x)-2 ?其他.?03、设随机变量X服从参数为2的指数分布

6、, Y服从参数为4的指数分布,那么E(2X2?3Y)?_. 解 E(2X?3Y)?2EX?3EY?2DX?(EX)?3EY?2227. 44、设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,那么根据切比雪夫不等式,有P|X?Y|?6?_. 解 根据切比雪夫不等式, D(X?Y)DX?DY?2cov(X,Y)1-. 23612615、假设随机变量X服从分布t(n),那么2服从分布_并写出其参数. XP|X?Y|?6?ZY1t(n),其中YN(0,1),Z?2(n),且Y2?2(1),从而2?n2F(n,1). 解 设X?XYZn6、设X1,X2,?,Xn(n?1)为

7、来自总体X的一个样本,对总体方差DX进展估计时,常用的无偏估计量是_. 2 解 S2?1(?Xi?X)2. n?1i?1n三.(此题分) 设P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.2,求P(A|B). 解 由全概率公式可得 P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?0.2?0.27. P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)1-. P(B)P(B)3四.(此题8分) 两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求: (1

8、) 任取一个零件是合格品的概率, (2) 假设任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率. 解 设A1,A2分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?21?0.97-0.98?0.973. 331?0.02P(A2B)P(A2)P(B|A2)3-?0.247. (2) P(A2|B)?1?0.973P(B)P(B)五.(此题14分) 袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以X, Y记第一次,第二次获得球上标有的数字,求: (1) (X,

9、 Y)的结合分布； (3) X, Y是否独立； (2) X, Y的边缘分布； (4) E(XY). 解 1 Y X 1 2 3 1 0 11 6121112 666113 0 1261112P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?. 424111P(Y?1)?,P(Y?2)?,P(Y?3)?. 4241?P(X?1)P(Y?1),故X, Y不独立. 3因为P(X?1,Y?1)?0?16111111123?2?1-2?2-2?3-3?1-3?2-4E(XY)?1?2-1?3?. 61266612663 六.(此题12分) 设随机变量X的密度函数为 f(x)?Ax2e?|x| (-?x-?)

10、, 试求: (1) A的值； (2) P(?1?X?2)； (3) Y?X的密度函数. 解 (1) 因2-?f(x)dx?2A?2-0x2e?xdx?4A?1,从而A?1; 4 102x122?x(2) P?1?X?2-f(x)dx-xedx-xedx ?14?14055?1?e?2?e?1; 24(3) 当y?0时,FY(y)?0;当y?0时, FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y) ?FX(y)?FX(?y), 所以,两边关于y求导可得, fY(y)?1y?e?4y?12y?1y?e?4y-12y?1y?e?4y. 故Y的密度函数为 -fY(y)-1-4七.(此题6分

11、) 0,y?e?yy?0,y?0. 某商店负责供给某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购置与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销？假定该商品在某一段时间内每人最多买一件. 解 设Xi-,?0,第i人不购置该种商品(i?1,2,?,1000),X表示购置该种商品的人数,那么1,第i人购置该种商品?X?EXDX?n?EXDX)?P(X?600240?n?600) 240XB(1000,0.6).又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得 P(X?n)?P(-(查正态分布表得n?600)?0.997

12、. 240n?600240?2.75,解得n?642.6?643件. 八.(此题10分) 一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R. (1) 从罐内任取一球,获得黑球的个数X为总体,即X-?1，黑球， 求总体X的分布； ?0，白球，(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn,其中有m个白球,求比数R的最大似然估计值. 解 4 1 X 1 0 P R1 1?R1?Rx1?x?R-1?即P(X?x)-1?R-1?R?2L(R)?两边取对数, ?P(Xi?1ni?xi)?Rx (x?0,1); ?1?RxR?i(1?R)n, lnL(R)?R?xi?nln(1?R), 两

13、边再关于R求导,并令其为0,得 1?0, ?xi?n1?Rxi-n?1. 从而R?,又由样本值知,?xi?n?m,故估计值为Rn-xim九.(此题14分) 对两批同类电子元件的电阻进展测试,各抽6件,测得结果如下单位:?: A批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137； B批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 元件电阻服从正态分布,设-0.05,问: (1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? t0.025(10)?2.2281,F0.025(5,5)?7.15 22解 (1

14、) H0：?12-2. ， H1：?12-2检验统计量为 S12F?2F(5, 5) 在H0成立时, S2由-0.05,查得临界值F?/2?F0.025(5, 5)?7.15,F1-/2?由样本值算得F?1. 7.150.0000075?0.962,由于F1-/2?F?F?/2,故不能回绝H10,即认为两批电子0.0000078元件的电阻的方差相等. (2) H0：?1-2， H1：?1-2. 统计量 T?(X?Y11(n?1)s?(n2?1)s?)1n1n2n1?n2?22122t(10) 在H0成立时, 查表得临界值t?/2?t0.025(10)?2.228.再由样本值算得 T?0.1405?0.1390.0000075?0.0000078125 ?2.005, 第 9 页 共 9 页