习题7解1

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1、习题7解1 - 习题7 7.1 晶体具有哪些宏观特征？这些宏观特征与晶体的微观构造有何联络？ 答：单晶体外形为凸多面体，常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体，两个对应晶面或晶棱间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的，即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。 晶体外形上的规那么性反映着内局部子原子间排列的有序。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。 7.2 图为一个二维的晶体构造，每一个黑点代表一个化学成分一样的原子。请画出原胞和布喇菲格子。 解：原胞应有以下特点： 1对于二维构

2、造应有二个独立方向； 2在每个方向取完好的一个周期； 3作为重复单元其面积最小。 所以原胞的取法不是唯一的，这里画出两种取法。 原胞1 原胞2 从构造图看出，黑点间不是等间距的，一个完好周期中有两个黑点。这就是说，虽然黑点代表的原子的化学成分一样，但在晶体中的地位不同，故区分为两类粒子，只要取出一类粒子的位置作为结点的位置就可以了，所以布喇菲格子由下列图所示： 7.3设晶格常数立方体晶胞边长为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？间隔 多大？ 答：简立方分别为6个和12个，间隔 为a和2a；面心立方分别为12个和6个，间隔 为22a1 和a；体心立方分别为8个和6个，

3、间隔 为32a和a。 7.4具有笛卡尔坐标(n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布喇菲点阵？假如 (a) ni全为奇数或者ni全为偶数的点的集合； (b) 满足?nii为偶数的点的集合。 答：(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0)，以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。同理，以(1,1,1)为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。两套点阵套构成体心立方坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心。 (b) ?nii为偶数那么有两种情况，三个坐标全为偶数

4、，或一个偶数两个奇数。前者构成面心立方边长为2的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。所以 7.5 试证：体心立方格子的倒格子为面心立方格子。 证：体心立方正格子基矢 a1?因为a2?a3?a2?nii为偶数的坐标点的集合构成面心立方。 a2(-i?j?k)，a2?a2(i-j?k)，a3?a2(i?j-k). 4(2j?2k)?a22(j?k) 故原胞体积 -a1?a2?a3?倒格子基矢b1?类似可得b2?2?a2?a3-?2?a12a 32?a(j?k) 2?a1?a2?2?a2?a3?a1?(k

5、?i)，b3-(i?j) 与面心立方基矢a1?面心立方。 a2(j?k)，a2?a2(k?i)，a3?a2(i?j)比拟可知，上面倒格子是边长等于4?a的7.6将原子想象成刚球，刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否严密的量度。试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。 解：1简立方最近邻原子间隔 d?a，一个刚球占有的体积43?，晶胞体积为a，平均一个2d332 晶胞有1个原子，故q?43?/a?23233d33?6 43d2体心立方最近邻原子间隔 d?晶胞有2个原子，故q?2?43da，一个刚球占有的体积3?83?，晶胞体积为a，平均一个32?/a?2223 43d33面心立方

6、最近邻原子间隔 d?个晶胞有4个原子，故q?4?43da，一个刚球占有的体积2?6?，晶胞体积为a，平均一23?/a?2343 43d23?164金刚石最近邻原子间隔 d? a，一个晶胞有8个原子，故q?8-/a?33 7.7设原胞基矢a1、a2、a3互相正交，求倒格子基矢。什么情况下，晶面(h k l)与晶轴h k l 正交？ 解：因为正交，可设a1?a1i、a2?a2j、a3?a3k，且原胞体积-a1a2a3。所以 -2-2-2-2-2-2-b1?a2?a3?i，b2?a3?a1?j，b3?a1?a2?k ?a2?a3?a1-?晶轴h k l沿R?ha1?ka2?la3，而晶面(h k l

7、)的法线方向为K?hb1?kb2?lb3。假如晶面(h k l)与晶-RK轴h k l 正交，那么与平行，即有R?K?0。而 -?aaaaaaR?K?i2?kl(2?3)?j2?hl(3?1)?k2?hk(1?2) a3a2a1a3a2a1所以晶面(h k l)与晶轴h k l 正交的充要条件是a1?a2?a3 或由R/K知，Rx/Kx?Ry/Ky?Rz/Kz，得a1?a2?a3 7.8 找出四方体(a=bc)和长方体(abc)的全部对称操作。 解：1设两底面为正方形，侧面为长方形。那么两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中，两组对棱中心连线各构成一个2次轴。考虑到不动也

8、是对称操作，所以共有转动对称操作 3 + 21 + 21 + 1=8 由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。 C B F D 3 E G -O A 2对于长方体，只存在3个2次轴3对面中心连线，也存在对称中心，对称操作数为 231 + 1=8 7.9 试求金刚石构造中共价键之间的夹角。 解：金刚石构造没见教材图7.1-11，碳原子B1原子周围4个碳原子是A1、A2、A3、A4，各点aa,44-?不难看出：B1A1?坐标：B1?(aaaaaa,)，A3?(,0,)，A4?(,0)。4222222-?a?a?a?a?a?a-i?j?k，B1A2-i?j?k

9、444444,)，A1?(0,0,0)，A2?(0,a-a2故B1A1?B1A2-，而B1A1?B1A2?4?13a4，所以两者夹角为 -1?1-cosB1A1?B1A2/(B1A1?B1A2)?cos(?)?109.47?10928 3 7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波？ 答：格波描写晶体中各原子的集体振动，由于原子的平衡位置构成周期性排列，振动量是原子的位移，所以格波描写的振动点是空间分列点，不同波矢的波动对这些分列点的振动描绘可以完全一样。例如，对于一维简单格子，原子振动可写成xn?Ae假设q?q?i(qna-t)，色散关系为-2(?m)1/2|sin(qa2)|。2?a，那么

10、对应的频率?-，故位移xn?Aei(qna-t)?Aei(qna?2?n-t)?xn，即各原子的振动完全一样。 7.11周期性边界条件的物理图像是什么？据此对晶格振动可以得出哪些结论？ 答：可以用不同的物理图像解释周期性边界条件：1将一维原子链看成一闭合圆环，由于原子很多，故圆环半径很大。原子振动范围比起圆环周长来是很小的，故仍可看作直线振动。而由于圆环的闭合性，第1个粒子与第N+1个粒子实际为同一粒子，故令x1?xN?1。2另一种看法是将许许多多一样的晶体首尾“相连”，使晶格周期性在边界仍保持成立，并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况一样。 周期性边界条件直接导致格波的波矢只能取一些分列值，

11、波矢取值的数目与晶体原胞数一样。 4 周期性边界条件得出的结论只适用体内粒子，边界处实际粒子的势场缺少周期性，故结论不适用。 7.121按周期性边界条件，一维简单格子的格波波矢q应取什么值？ 2证明一维简单格子满足 ?ei(q?q)na?N?q,q，N为原胞数，q及q为波矢的可能取值。 n?1N1答：在周期性边界条件下，对于一维有限的简单格子，第一个原胞的原子应和第N1个原胞的原子振动情况一样，即x1?xN?1 而 x1?Aei(qa-t) ，xN?1?Aeiq(N?1)a-t。因此 eiqNa?1，所以 qNa=2ll为整数 即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。因为q介于(-?a,

12、a),所以l 介于(?N2,N2)，即 ?N2?l?N2。由此可知，l只能取N个不同的值，因此q也只能取N个不同的值。这里N是原胞的数目。 2证：当q?q时，?en?1Ni(q?q)na?N，上式显然成立。 当q?q时，上式左边构成等比数列求和，公比r?ei(q?q)a，利用等比数列求和公式 a0?ra0-?rN?1a0?1?rN1?ra0 而 rN?ei(q?q)Na?ei2?(l?l)?1 所以由上面两式可知，?en?1Ni(q?q)na?0 q?q 综合q?q和q?q两种情况，说明命题是成立的。 7.13 在讨论三维自由电子的能态密度时，假如晶体为长方体，边长分别为L1、L2、L3，试推导其能态密度的表达式。 解：对于长方体，三维自由电子的波函数和能量为 ?12i(kxx?kyy?kzz)?(r)?(L1L2L3)e，E-(kx?ky?kz)2m2222-k2m22 5 第 9 页 共 9 页