中考数学压轴题二次函数与圆

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1、中考数学压轴题二次函数与圆 - 第四讲：二次函数与圆综合 中考要求 板块 A级要求 1.能根据实际情境理解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 考试要求 B级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析p 确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； C级要求 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 二次函数 例题精讲 一、二次函数与圆综合 0)B(x2，0)两点， 【例1】 ：抛物线M:y?x2?(m?1)x?(m?2)与x轴相交于A

2、(x1，且x1?x2 假设x1x2?0，且m为正整数，求抛物线M的解析式； 假设x1?1，x2?1，求m的取值范围； ，2)，假设存在，求出试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0M:y?x2?(m?1)x?(m?2)的值；假设不存在，试说明理由； 7)，与假设直线l:y?kx?b过点F(0，中的抛物线M相交于P，Q两点，且使PF1?，求直线l的解FQ2析式 【解析】解法一：由题意得，x1x2?m?2?0 解得，m?2 m为正整数，m?1y?x2?1 解法二：由题意知，当x?0时，y?02?(m?1)?0?(m?2)?0 以下同解法一 解法三：-(m?1)2?4(m?2)?(

3、m?3)2， ?(m?1)?(m?3)?x?，?x1-1，x2?2?m 2?x2?2?m?0m?2又x1x2?0，以下同解法一 解法四：令y?0，即x2?(m?1)x?(m?2)?0， (x?1)(x?m?2)?0，以下同解法三 x1-1，x2?2?m解法一：x1?1，x2?1，?x1?1?0，x2?1?0 ，即x1x2?(x1?x2)?1?0 x1?x2-(m?1)，x1x2?m?2， (m?2)?(m?1)?1?0解得：m?1 m的取值范围是m?1 解法二：由题意知，当x?1时， y?1?(m?1)?(m?2)?0 解得：m?1 m的取值范围是m?1 解法三：由的解法三、四知，x1-1，x

4、2?2?m 2?m?1 x1?1，x2?1，m?1m的取值范围是m?1 yyQ2ODABOxC(0,2)QFP27PP1OQ1x 存在 2)，所以A，B两点在y轴的同侧， 解法一：因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C(0，x1x2?0 由切割线定理知，OC2?OAOB， 即22?x1x2x1x2?4， x1x2?4.m?2?4.?m?6 解法二：连接O?B，O?C圆心所在直线x-设直线x? bm?11?m， -?2a221?m与x轴交于点D，圆心为O?， 21?m那么O?D?OC?2，O?C?OD? 2AB， AB?x2?x1?(m?3)2?m?3，BD?2m?3BD? 2在RtO?DB中，

5、O?D2?DB2?O?B2 ?m?3-1?m?即2-解得 m?6 ?2-2?2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么y1?x12?1，y2?x2?1 2220)Q(x2，0) 那么PP过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P1(x1，1FOQQ1 POPF所以由平行线分线段成比例定理知，1? OQ1FQ0?x11?，即x2-2x1 因此，x2?02过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P2(0，y1)，Q2(0，y2)， PFFP那么PP2QQ2所以FP2PFQ2Q?2? FQ2FQ2?21?2(x12?1)?x2?1.7?y11-?21?2y1?y2 22y2?72?23?2x1?4x1?1

6、.?x12?4，?x1?2，或x1-2 3)直线l过P(2，3)F(0，7)， 当x1?2时，点P(2，?7?k?0?b，?b?7， 解得? -3?k?2?b.k-2.-3)直线l过P(?2，3)F(0，7)， 当x1-2时，点P(?2，?7?k?0?b，?b?7，- 解得? k?2.3?k?(?2)?b.-故所求直线l的解析式为：y?2x?7，或y-2x?7 【例2】 抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y-x?2并且线段CM的长为22 1求抛物线的解析式。 2设抛物线与x轴有两个交点AX1 ，0、BX2 ，0，且点A在B的左侧，求线段AB的长。 3假设以

7、AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。 【解析】1解法一：由，直线CM：y=x2与y轴交于点C0,2抛物线y?ax2?bx?c过点C0,2， ?b4ac?b2?,所以c=2，抛物线y?ax?bx?c的顶点M-?在直线CM上， 2a4a-4a?2?b2b所以-2，解得b?0或b-2 4a2a1-1假设b?0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b-2即M?,2- a-a2过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在Rt?CMQ中，CM2?CQ2?QM2 111所以，8?2?2?(2?)2，解得，a-。 aa211所求抛物线为：y-x2?2x?2或y?x2?2x?2以下同下。 22解法二：

8、由题意得C(0,2),设点M的坐标为M(x,y) y-x?2 点M在直线y-x?2上，由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，CM?22 x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8 ?x1-2?x2?2?y-x?2解方程组?2，得，? ?2y?4y?0x?(y?2)?8-1?2M(?2,0)或M(2,0) 当M(?2,4)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2?4，抛物线过(0,2)点， 11a-，y-x2?2x?2 22当M(2,0)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2 11抛物线过(0,2)点，a?，y?x2?2x?2 2211所求抛物线为：y-x2?2x?2 或y?x2?2x?2

9、 222抛物线与x轴有两个交点， 1y?x2?2x?2不合题意，舍去。 21抛物线应为：y-x2?2x?2 21抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，由?x2?2x?2?0，得 2AB?x1?x2?42 3AB是N的直径，r =22 ， N2，0，又M2，4，MN = 4 设直线y-x?2与x轴交于点D，那么D2，0，DN = 4，可得MN = DN， ?MDN?45?，作NGNG?DN?sin45-22= r CM于G，在Rt?NGD中，即圆心到直线CM的间隔 等于N的半径直线CM与N相切 【例3】 ：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax2?

10、bx?c经过O，A两点 试用含a的代数式表示b； 设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两局部假设将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； 设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的局部上是否存在这样的点P，使得4POA?OBA？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由 3yyPBxDmOPDAxODAExOEAynDB【解析】解法一：一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4，0) 抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 c?0，16a?4b?0，b-4a 解法二：

11、一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4，0) 抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 抛物线的对称轴为直线x?2 bb-4a x-?2，2a由抛物线的对称性可知，DO?DA 点O在D上，且?DOA-DAO 又由(1)知抛物线的解析式为y?ax2?4ax ?4a) 点D的坐标为(2，当a?0时， 如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA 所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上，且OD与D相切 点O为切点，DO?OD ?DOA-DOA?45? ?ADO为等腰直角三角形，OD?22 ?4a-2 点

12、D的纵坐标为?2，1a?，b-4a-2 21抛物线的解析式为y?x2?2x 2当a?0时， 同理可得：OD?22 1抛物线的解析式为y-x2?2x 2121x?2x或y-x2?2x 224 抛物线在x轴上方的局部上存在点P，使得POA?OBA 3设点P的坐标为(x,y)，且y?0 1当点P在抛物线y?x2?2x上时(如图2) 2点B是D的优弧上的一点 14OBA?ADO?45?，POA?OBA?60? 23EP过点P作PE?x轴于点E， tanPOE?OEy?tan60?，y?3x x?y?3x-x1?4?23?x2?0?，?由?解得：(舍去) ?12y?0-y?x?2x?y1?6?43?2?

13、2综上，D半径的长为22，抛物线的解析式为y?6?43 点P的坐标为4?23，-1当点P在抛物线y-x2?2x上时(如图3)，同理可得，y?3x 2?y?3x-x2?0-x1?4?23由?解得：(舍去) ，-12y?0y-x?2x-?y1-6?43?2?2?6?43 点P的坐标为4?23，6?43或4?23，?6?43 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：4?23，-点评：此题是一道二次函数与圆的综合题，解决此题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆D，并充分利用轴对称的性质此题考点：1直线与圆的位置关系(切线的性质)；2轴对称；3等腰直角三角形的性质，4三角函数；5二次函数解析式确实定 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A， AB是C的切线动点P从点A开场沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开场沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒) 当t?1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； 当t为何值时，直线PQ与C相切？并写出此时点P和点Q的坐标； 在的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP?NQ最小，求出点N的坐标并说明理由 第 10 页 共 10 页