三角恒等变换

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1、 tan1 2 2 1 cos2 考点 27三角恒等变换（1）【命题解读】能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换【基础知识回顾】知识梳理1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin()sincoscossin，简记作 S ；()cos()coscossinsin，简记作 C ；()tantantan()1tantan，简记作 T 2. 二倍角公式sin22sincos；2tan()tan2；cos2cos2sin22cos2112sin23. 辅助角公式yasinxbcosx a2b2sin

2、(x)，其中 为辅助角，且其中 cosaa2b，sinba2b2，tanba.4. 公式的逆用及有关变形tantantan()(1tantan)；sincos 2sin( 4 )；1sincos2sin2；1sin2(sincos)2；1sin2(sincos)2；1cos2sin22；1cos2cos22；1cos2tan2 (降幂公式)；1cos22sin2；1cos22cos2(升幂公式)4 3 1、知 cos 5，2 ，则 sin4等于( )D. 3 3 2 C.6 A. 210B.2107 2C. 107 210【答案】 C3 4 3【解析】 ，2 ，且cos 5，sin 5， 3

3、2 4 2 7 2 sin452 52 10 . 2、已知 tan42，则 tan ( )1A.1B.34C.4D.3【答案】 A 1tan 【解析】 tan41tan 12，解得 tan 3.13、(多选)已知 f(x)2(1cos 2x)sin2x(xR )，则下面结论正确的是( )Af(x)的最小正周期 T2 Bf(x)是偶函数1Cf(x)的最大值为4 Df(x)的最小正周期 T【答案】ABC1 1 1 1【解析】因为 f(x)4(1cos 2 x)(1cos 2 x)4(1cos22x)4sin 2x8(1cos 4 x)，f(x)f(x)，T2 1 14 2，f(x)的最大值为824

4、.故 D 错4、 (多选)下列式子的运算结果为 3的是( )Atan 25tan 35 3tan 25tan 35B2(sin 35cos 25cos 35cos 65)1tan 151tan 15tanD.1tan26【答案】ABC【解析】对于 A，tan 25tan 35 3tan 25tan 35tan(2535)(1tan 25tan 35) 3tan 25tan 35 3 3tan 25tan 35 3tan 25tan 35 3；对于 B，2(sin 35cos 25cos 35cos 65)2(sin 35cos 25cos1tan 15 tan 45tan 1535sin 25

5、)2sin 60 3；对于 C，1tan 151tan 45tan 15tan 60 3；6 6 𝜋 37 ) 1=) =， sin2x=cos(2x+ )=2sin2 1= ，故答案为： (x+ 2 2 2 1 tan12tan1 3对于 D， 1tan2622tan3 2 . 1tan26综上，式子的运算结果为 3的是 A、B、C.5、【2020 江苏南京三校联考】已知sin(𝑥 + ) = ，则sin2𝑥 _4 5【答案】25【解析】sin(𝑥 +𝜋 3 𝜋 𝜋 18 7 7

6、4 5 2 4 25 25 256、(一题两空)已知 0 32，且 sin 5，则 tan5 sin2 4 _，cos2sin 2cos 2_.33【答案】：7 23 3 4 sin 3【解析】因为 02，且 sin 5，所以 cos 1sin 5，所以 tan cos 4 5 tan 1则 tan4 tan41tan 7.9 6，sin2sin 2 sin22sin cos tan22tan 164 33cos2cos 22cos2sin22tan29 23.216考向一利用两角和(差)公式运用 1例 1、已知 0 2 ，且 cos29， 2sin23，求 cos() 【解析】 0 2 ，

7、4 2 2 ， 4 2 ， cos2 1sin 2 53 ， 4 5sin2 1cos 2 9 ， cos 2 cos22 cos2cos2sin2sin2 95 4 5 2 7 5 3 9 3 27，cos() 495 2392cos22127291729.xoy ox aa a 变式 1、（2020 江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 ，b，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A10 5，B 的横坐标分别为 ， ，则10 5sin( a+b) =_2【答案】2【解析】由三角函数的定义得： cos a =10 5 3 10 2 5,cos

8、 b= ，所以 sin a = ,sin b=10 5 10 5，所以 sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=3 10 5 10 2 5 2 2 + = 故答案为 10 5 10 5 2 2变式 2【、2020 届江苏省启东市高三下学期期初考】已知 是第二象限角，且sin a = 则 tan b =_.55，tan (a+b)=-2，【答案】-34【解析】由 是第二象限角，且 sina =5 2 5 ，可得 cos a =- ，5 5tana =-12，由tan(a+b)=-2，可得tan a+tan b 1 -tan atan b=-2，代入tana =-12，可得t

9、an b =-34，故答案为：-34.变式 3、在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_. 2【答案】2【解析】 (1)由 tan Atan Btan Atan B1， 2 2 4 12 2 1 3tan 10【 解析】(1) tan Atan B可得1tan Atan B1，即 tan(AB)1，又因为 AB(0，)，3 2所以 AB 4 ，则 C4 ，cos C 2 .方法总结：考查两角和差的三角函数公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选

10、择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想考向二二倍角公式的运用例 2、(1) 已知 cos( -x )435，则 sin2x_(2) 已知 sin( x -3 1)cos( x - ) =- ，则 cos4x 的值为_ 4 4 47 17【答案】：(1) 25 (2) 32 【解析】：(1) 因为 sin2xcos22xcos24x2cos 4x1，3 2 18 7所以 sin2x25125 125(2) 由已知得 sin 1x - - cosx44， cos x44 1 sin2xcos22x2cos 4x12 cos4x12sin22x1sin

11、 101 122变式 1、(1) _.sin23512(2)化简cos 10cos 80_.1【答案】(1)4 (2)1sin 10 sin 10cos 10 1 3tan 10 cos 10 3sin 10 1 22sin 10cos 10sin 20 141 3 4sin(3010) 2cos 10 2 sin 104.sin235121cos 70 1 12 2 2cos 70(2)cos 10cos 80cos 10sin 1011. 1变式 2、已知 cos6cos34 (1)求 sin 2 的值；1(2)求 tan tan 的值sin 202 ，3，2. 【解析】(1)cos6co

12、s3cos6sin62sin 1即 sin232. 43，2，23，3 ， 1 234， 3 cos23 2， sin 2sin233sin 23cos3cos23sin31 1 223 3 1 2 2 2. (2)3，2，23 ，13又由(1)知 sin 22，cos 2 2 .1 sin cos tan tan cos sin 3sin2cos22cos 22sin cos sin 2 2 1 2 3.2方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用三角函数式的化简要注意以下 3 点：看角之间的差别与联 系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；看函数名称之间的差异 ，确定使用的公式 ，常见的有“切化

13、 弦”；看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等本题 考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想考向三 公式的综合运用 2 2 2 2cos 50（1sincos） sin2cos2例 3、化简：22cos(0) 【解析】： 由 (0，)，得 020 因此 22cos4cos 22cos2又(1sincos) sin2cos22sin2cos22cos 2sin2cos2 2cos2sin22cos 22cos2cos2cos2 cos故原式 cos2cos2 4 变式 1、 设 是锐角，且 cos( 6 )5，则 sin(212)的值为_ 17

14、2【答案】50【解析】 是锐角， 2 4 3 6 6 3 ，cos( 6 )5，sin( 6 )5.sin2( 6 ) 24 7 2sin( 6 )cos( 6 )25，cos2( 6 )12sin2( 6 )25，sin(212)sin 2（ 6 ） 4 sin2( 6 )cos 4 24 2 7 2 17 2 cos2( 6 )sin 4 25 2 25 2 50 .2cos 102 3cos(100)变式 2、计算【答案】2 21sin 10_.【解析】2cos 102 3cos(100) 2cos 102 3sin 10 1sin 10 1sin 10412cos 1032sin 10

15、4cos 5012sin 5cos 54cos 50cos 5sin 5 2 2 22 cos 5 2 sin 54cos 50 2 2. 2 2 变式 3、已知 sin410，2，. 求：(1)cos 的值； (2)sin24的值 2【解析】(1)由 sin410， 2得 sin cos4cos sin4 10 ，1化简得 sin cos 5，又 sin2cos2 1，且 2， 3由解得 cos 5. 3 4(2)2，cos 5，sin 5，7 4 3 24cos 212sin 25，sin 22sin cos 25525，sin 2 24 7 17 2 24sin 2cos4cos 2si

16、n4 2 2525 50 .方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数 公式之间的共同点.1、（2020 全国理 9）已知a(0,)，且3cos2a-8cosa =5 ，则 sina =（ ）A53B2 1C3 3D59【答案】A【解析】 3cos2a -8cosa =5 ，得 6cos2a-8cosa-8 =0 ，即 3cos2a-4cosa-4 =0 ，解得cosa =-23或cosa =2（舍去），又 a(0,p), sina = 1 -cos5

17、2 a = ，故选 A 3a 3 3 a 3 6 4 2、（2020 全国理 2）若 为第四象限角，则（ ）A cos 2a 0B cos 2a 0D sin 2a 0，选项 B 错误；当ap 2p=- 时，cos 2a =cos - 0 3 ，选项 A 错误；由 在第四象限可得：sina0，则sin 2a=2sinacosa 0 ，cos a 0 ，cos a =2sin a，cos =-a 0 ，b ， b ( 1)22 2 9 3 9 3 3 2 2 sin2a+cos2a=sin2a+(2sina)2=5sin2a=1， sina =55，故选 B ( ) ( )6、【2020 届江苏

18、省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知 ， ，2 213，sin(a+b)=79.（1）求 sin a 的值；（2）求tana+b2的值.【答案】（1）13（2）5 22【解析】（1）因为bp , p ,cos2 b=-13,所以 sinb= 1 -cos2b = 1 - -3=2 23又 p a0, ,故 a+b p 3p,2 2,所以 cos(a+b) =- 1 -sin27 (a+b) =- 1 - =-9 4 29,所以sina =sin(a+b)-b=sin(a+b)cosb-cos(a+b)sinb7 1 4 2 2 2 1 = - = （2）由（1）得,sin a =1 p ,

19、 a0, 3 ,所以 cosa = 1 -sin21 2 2 a = 1 - =3 3,所以 tana =sincosa 2= ,a 4因为cosb=cos2b2-sin2b2=coscos22b2b2-sin+sin22b2b2=1 -tan1 +tan22b2b2且cosb=-13,=-2 2 4 2b = ) a 2 4 9 3 5 b 5 5 即1 -tan1 +tan22b2 1b 32,解得 tan2b2=2,p b ppb因为,所以 tan 0 , , p,所以 , 2 b所以 tan= 2 ,2b 2tan a+tan + 25 2 b2 4所以 tan a+ =b 12 2

20、1 -tan atan 1 -2 27、【2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟】已知a, b为锐角，5.cos(a+b)=-5sina45，（1）求 cos b 的值；btan(a-2（2）求的值.245-【答案】（1）；（2）75【解析】（1）因为 为锐角，sina45，所以 cos a= 1 -sin 2 a = 1 - = =5 25 5.因为a, b为锐角，所以a+b(0,)，同理可得， sin(a+b) =2 55.所以 cosb=cos (a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina =-5 3 2 5 4 5 + =5 5 5 5 5.所

21、以cosb5的值为 .54（2）由sina4 3， cos a = ，得 tan a = 5 5sin a 4= =cos a 3 3.5因为 cosb=55， 为锐角，所以tanb=sincosb 1 -cos 2 b 1 1 = = -1b cos2 b cos 2 b 2-1 =2- - 所以tan 2 b =2 tan b 2 2 4 = =-1 -tan 2 b 1 -2 2 3.所以tan(a-2b)=tan a-tan 2 b 1 +tan atan 2 b=4 4 3 3 4 4 1 + -3 3 =-247.所以tan(a-2b)的值为-247.8、（2018 年高考江苏卷）

22、已知 a, b为锐角，cos 2a的值；（1）求tan(a-b)的值（2）求tana =435， cos(a+b)=- 5【解析】（1）因为tana =4 sin a ， tan a = ，3 cos a所以sina =43cosa因为 sin2a+cos2a =1 ，所以cos2a =925，因此，cos 2a =2cos2a-1 =-725（2）因为a, b为锐角，所以5又因为 cos(a+b)=- ，5a+b(0, p)所以 sin(a+b)= 1 -costan(a+b) =-2因此2(a+b) =2 55，因为tan a =4 2 tan ，所以 tan 2a =3 1 -tana 24=-2 a 7，因此，tan(a-b)=tan2a-(a+b) =tan 2a-tan(a+b) 2=-1 +tan 2atan(a+b) 11