《全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理（70页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第十二节 定积分的概念与微积分基本定理、 定积分的简单应用,【知识梳理】 1.定积分的概念、几何意义和性质 (1)定积分的定义及相关概念： 定义：一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连 续，用分点a=x0x1xi-1xixn=b，将区间 a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1，xi,上任取一点i(i=1,2，n)，作和式 当n时，上述和式无限接近某个常 数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积 分，记作,相关概念:在 中，a与b分别叫做积分下限与 积分上限，区间_叫做积分区间，函数f(x)叫做 被积函数，x叫做_，_叫做被积式.,a，b,积分变量,f(x)dx,(2)定积分的几
2、何意义:,x=a,x=b,x=a,x=b,(3)定积分的性质： =_(k为常数). =_. _=,2.微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并 且F(x)=f(x)，那么 =_，这个结 论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式.,F(b)-F(a),3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形面积的关系:,设阴影部分的面积为S. S= S=_. S=_. S=,(2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间 的关系. s=_.W=_.,【特别提醒】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当
3、位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零.,(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是路程. 2.函数f(x)在闭区间-a,a上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则 (2)若f(x)为奇函数，则,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-2P55习题1.6B组T1(3)改编) =_. 【解析】 答案:,2.(选修2-2P60习题1.7A组T6改编)汽车以72km/h的 速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速 度a=4m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停止走的距离 为m.,【解析】先求从刹车到停车所用的时间t, 当t=0时,v0=72km/h
4、=20m/s, 刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=20-4t. 令v(t)=0,可得t=5s, 所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:,=50(m). 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：50,感悟考题 试一试 3.(2016广州模拟)定积分 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 【解析】选C. 故选C.,4.(2016泉州模拟)由曲线y=x2-1,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为(),A. B. C. D. 【解析】选B.曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的 封闭图形的面积可表示为,5.(2015天津
5、高考)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【解析】两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)， 所以它们所围成的封闭图形的面积 S= 答案：,考向一定积分的计算 【典例1】(1)计算： =_. =_. 若f(x)= 则 为_.,(2)设f(x)= (e为自然对数的底数)， 则 的值为_.,【解题导引】(1)分别用求导公式找到相应的原函数;利用定积分的几何意义求解. (2)根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解.,【规范解答】(1) ,由 得 表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分， 所以 是圆面积的 所以 答案:242,(2)因为f(x)= 所以
6、答案:,【母题变式】 1.若将本例(1)中条件变为 “ ”，则实数a的值如何？,【解析】因为(asin x-cos x)=sin x+acos x. 所以 所以a=1.,2.若本例(1)中条件不变，试求 的值. 【解析】可知 表示以(1,0)为圆心，2为半径 的圆在x轴上方的部分的面积，故,【规律方法】计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.,(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 提醒:根据定积分
7、的几何意义可利用面积求定积分.,【变式训练】 1.若 则 =( ) 【解析】选B.因为f(x)= 所以 所以,2.若定积分 则m等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,【解析】选A.根据定积分的几何意义知，定积分 的值，就是函数 的图象与x 轴及直线x=-2，x=m所围成图形的面积， 是 圆心(-1,0)，半径为1的上半圆，其面积等于 而 即在区间-2，m上该函数图象应 为 的圆，于是得m=-1.,【加固训练】 1.(2016长春模拟)与定积分 相等的 是( ) A. B. C. D.以上结论都不对,【解析】选B.因为1-cos x= 所以,2.设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在
8、对称区 间-a，a上的定积分为 由定积分的几何 意义和性质，得 可表示为( ),【解析】选B.偶函数的图象关于y轴对称， 故 对应的几何区域关于y轴对称，因而其可 表示为 应选B.,3.计算： =_. 【解析】 答案:1,4.(2015石家庄模拟) =_. 【解析】 表示四分之一单位圆的面积， 为 所以结果是 答案:,考向二利用定积分计算平面图形的面积 【典例2】(2016牡丹江模拟)抛物 线y2=4x与直线y=2x-4围成的平面图 形的面积是. 【解题导引】画出平面图形,根据图形确定积分的上、下限及被积函数.,【规范解答】由 得 或 画出草图如图所示.,选用x为积分变量所求面积为 答案:9,
9、【一题多解】解答本题还有以下解法： 选用y为积分变量,这时所求的面积为 答案：9,【规律方法】 1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分，写出答案.,2.根据平面图形的面积求参数的求解策略 先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解. 3.与概率综合问题的处理思路 先按照概率问题分析需要求解哪些量,然后求解时再借助定积分的知识.,【变式训练】(2016福州模拟)曲线 与直线 y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )
10、A.2ln 2 B.2-ln 2 C.4-ln 2 D.4-2ln 2,【解析】选D.如图， 封闭图形的面积为 =4-2ln 2.,【加固训练】 1.(2016衡水模拟)在平面直角坐标系中,记抛物线 y=x-x2与x轴所围成的平面区域为M,该抛物线与直线 y=kx(k0)所围成的平面区域为A,向区域M内随机抛掷 一点P,若点P落在区域A内的概率为 则k的值为( ),【解析】选A.如图， 由 得x=1-k，,区域M的面积 区域A的面积 因为 所以 所以 所以,2.(2016广州模拟)曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围 成的曲边图形的面积为 则k=_.,【解析】由 得 或 则曲线y=x2与直线
11、y=kx(k0)所围成的曲边梯形的面 积为 即k3=8，所以k=2. 答案:2,3.(2016青岛模拟)若函数f(x)= (A0, 0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积 为_.,【解析】由图象可知 所以=1， f(x)= 图中其与x轴的交点横坐标为 所以 图中的阴影部分的面积为 答案：,考向三定积分在物理中的应用 【典例3】(1)物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后,物体A追上物体B所用的时间t(s)为() A.3 B.4 C.5 D.6,(2)(2015杭州模拟)设变力F
12、(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N),【解题导引】(1)利用定积分分别计算出物体A，B行驶 的路程，然后利用它们之间的关系求解. (2)运用变力F(x)对质点M所做的功为W= 求解.,【规范解答】(1)选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为 物体B在t秒内行驶的路程为 所以 整理得(t-5)(t2+1)=0，解得t=5.,(2)变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10 所做的功为 答案:342,【规律方法】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速
13、直线运动的路程：如果变速直线运动物体的 速度为v=v(t)，那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程 (2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时，力F(x)所做的功 是,【变式训练】(2016大庆模拟)一列火车在平直的铁 轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)=5-t+ (t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止.在 此期间火车继续行驶的距离是( ) A.55 ln 10 B.55 ln 11 C.12+55ln 7 D.12+55ln 6,【解析】选B.令 注意到t0，得t=10， 即经过的时间为10 s，行驶的距离 =55ln 11.,【加固训练】 1.一物体在力F(x)= (单位：N)的作用下 沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( ) A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J,【解析】选B.力F(x)所做的功为 =20+26=46(J).,2.(2016福州模拟)一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为k,k0),则物体由x=0运动到x=a,阻力所做的功为.,【解析】物体的速度 媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4. 当x=0时，t=0； 当x=a时， 又dx=vdt，故阻力所做的功为 W阻=,答案:,
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理
