计算机图形学曲线和曲面.ppt

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1、第4章曲线和曲面,4.1 曲线和曲面基础 4.2 二次插值样条曲线 4.3 三次插值样条曲线 4.4 Bezier曲线和曲面 4.5 B样条曲线,曲线或曲面分为两大类： 规则曲线或曲面：可以用一个确切的曲线或曲面方程式来表示。 比如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物面、正弦曲线、摆线、螺线等。 不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面，称为样条曲线或曲面。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。,4.1 曲线和

2、曲面基础,一、直角坐标表示 1、显式：y = f(x)，如y = sin(x)。 2、隐式：f(x, y) = 0，如 x2 + y2 = 1。 3、转换成参数坐标表示： 一般形式：,x = x(t) y = y(t), 显式表示y = f(x) 的曲线转换成参数坐标表示：,x = x y = f(x),4.1.1 规则曲线或曲面的表示法,隐式表示f(x, y) = 0的曲线转换成参数坐标表示：,常用的重要曲线基本上都能用参数坐标表示。例如，星形线的直角坐标表示（隐式）： x2/3 + y2/3 = R2/3 （R正常数）,写成参数坐标表示： x = Rcos3 y = Rsin3 （02）,

3、4.1.1 规则曲线或曲面的表示法,二、极坐标表示 对任意极坐标曲线=()，可利用极坐标与直角坐标变换关系式： x =cos y =sin,将此曲线转换成参数坐标表示为： x =()cos y =()sin,4.1.1 规则曲线或曲面的表示法,极坐标与直角坐标变换关系式为： x =cos y =sin,将=a代入上面两式，阿基米德螺线用参数坐标表示为： x =acos y =asin,例如，重要曲线阿基米德螺线的极坐标表示： =a （a正常数）,4.1.1 规则曲线或曲面的表示法,三、参数坐标表示 曲线的参数坐标一般表示为： x = x(t) y = y(t),例如，弹道曲线： x =V0tc

4、os y =V0tsingt2/2 （0t2V0Sin/g） 式中V0、g、均为常数，t 为参数变量。,4.1.1 规则曲线或曲面的表示法,4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语,常用的二次或三次参数样条曲线或曲面形式如下： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3,1型值点： 是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。,2控制点： 是指用来控制或调整曲线或曲面形状的特殊点，曲线或曲面本身不一定通过该控制点。,3插值与逼近 插值方法要求建立的曲线或曲面数学模型，严

5、格通过已知的每一个型值点。而逼近方法建立的曲线或曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。,4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语,4拟合 是指在曲线或曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线或曲面达到某些设计要求，如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。拟合是插值与逼近两种设计方法的统称。,5参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。,4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语,0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线

6、相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P(1)=Q(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P(1)=Q(0)且P(1)=Q(0),4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语,连接两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性条件。这种情况下，只需相邻两个曲线段在连接点处的参数导数成比例而不是相等。,0阶几何连续性：记为G0连续，与C0连续相同，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0),4.1.2 参数样条曲线或曲面的常

7、用术语,一阶几何连续性：记为G1连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数成比例但不一定相等。P(1)=Q(0) (0) 二阶几何连续性：记为G2连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数和二阶导数均成比例但不一定相等。P(1)=Q(0)且P(1)=Q(0) (0，0),4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语,4.2 二次插值样条曲线,在拟合生成样条曲线的众多方法中，首先来讨论用插值方法生成通过给定离散型值点的二次样条曲线，即抛物样条曲线。,二次插值样条曲线的数学表达式 二次插值样条曲线的加权合成 二次插值样条曲线的端点条件 二次插值样条曲线的性质,4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式,

8、已知不在同一直线上的三点P1、P2、P3，要求通过给定的这三点定义一条抛物线。,二次样条曲线的参数化表达式为： P(t) = A1 + A2t + A3t2 (0t1) (4-1),A1、A2、A3为表达式的系数，且是向量形式。若是二维平面曲线，则为二维向量；若是三维空间曲线，则为三维向量。,确定系数A1、A2、A3的三个独立条件：,该曲线过P1、P2、P3三个点，并且： 曲线段以P1点为始点。即当参变量t = 0时，曲线过P1点； 曲线段以P3点为终点。即当参变量t = 1时，曲线过P3点； 当参变量t = 0.5时，曲线过P2点，且切矢量等于P3P1。,4.2.1 二次插值样条曲线的数学表

9、达式,根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组： t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 (4-2) t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2,解得三个系数A1、A2、A3分别为：,4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式,A1 = P1 A2 = 4P2 P3 3P1 (4-3) A3 = 2P1+ 2P3 4P2,把求出的三个系数代入到式(4-1)中，可得： P(t)= A1 + A2t + A3t2 = P1 +(4P2 P3 3P1)t + (2P1+2P3 4P2)t2 (0t1) =

10、 (2t2 3t + 1)P1 + (4t2 + 4t)P2 + (2t2 t)P3 (4-4),把式(4-4)改写成矩阵形式为：,4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式,式(4-5)中的P(t)是一个点向量，在二维平面上它包含了两个坐标值x(t), y(t)，故式(4-5)的直观形式可以写成如下形式：,4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式,例题：已知平面三点P1(10,5)，P2(20,20)，P3(40,15)，求这3点确定的二次插值样条曲线。 解：曲线方程为：,4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,设有一个离散型值点列Pi(i = 1, 2, ,n)，可以按式(4-5) 每经过相

11、邻三点作一段抛物线，由于有n个型值点，所以像这样的抛物线段一共可以作出n2条。,第i条抛物线段经过Pi、Pi+1、Pi+2三点，其表达式为： Si(ti)=(2ti23ti+1)Pi+(4ti4ti2)Pi+1+(2ti2ti)Pi+2 (0ti1) (4-7),第i+1条抛物线段经过Pi+1、Pi+2、Pi+3三点，其表达式为： Si+1(ti+1)=(2ti+123ti+1+1)Pi+1+(4ti+14ti+12)Pi+2+(2ti+12ti+1)Pi+3 (0ti+11) (4-8),4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可能重合的。S

12、i和Si+1两条抛物线在Pi+1和Pi+2两点之间为搭接区间，在该区间内，Si和Si+1不太可能自然地重合成一条曲线。,对于拟合曲线来说，整个型值点列必须只能用一条光滑曲线连接起来。因此，在Si和Si+1两条曲线的搭接区间内，必须有一个方法能够让它们按照一定的法则结合成一条曲线，这样结合的方法就是加权合成。,4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,在加权合成过程中，首先要选择两个合适的权函数。这里选择的两个权函数分别设为f(T)和g(T)，加权合成后的曲线用Pi+1(t)表示，则： Pi+1(t) = f(T)Si(ti) + g(T)Si+1(ti+1) (4-9),4.2.2 二次插值样条

13、曲线的加权合成,在抛物样条曲线中，权函数f(T)和g(T)都是简单的一次函数，且它们之间存在互补性。它们分别为： f(T) = 1T g(T) = T (0T1),这样，式(4-9)可改写为： Pi+1(t) = (1T)Si(ti) +TSi+1(ti+1) (4-10),式(4-10)中包含了三个参变量T、ti、ti+1，必须要统一这三个参变量：,4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,这里选择 t 作为统一后的参变量，把原有的三个参变量T、ti、ti+1都化成唯一含有t的形式，并给t 规定一个合适的取值范围。假设t的取值范围为：0t0.5，则三个参变量可统一形式为：,4.2.2 二次插值

14、样条曲线的加权合成,T = 2t ti = 0.5 + t 0t0.5 ti+1 = t,则式(4-10)可根据新的参变量t 改写成如下形式： Pi+1(t) = (12t)Si(t + 0.5) + 2tSi+1(t) (4-11),其中： Si(t+0.5) = (2t2t)Pi+(14t2)Pi+1+(2t2+t)Pi+2 Si+1(t) = (2t23t+1)Pi+1+(4t4t2)Pi+2+(2t2t)Pi+3,4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,把以上两式代入式(4-11)，展开、整理后可得： Pi+1(t) = (4t3 + 4t2 t)Pi + (12t310t2 +1)P

15、i+1 + (12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (i = 1，2， n3) (0t0.5) (4-12),假如一个离散点列Pi具有n个型值点，即i=1，2，n。那么根据式(4-12)，加权合成后可以生成n3段抛物样条曲线。即式(4-12)中的i的取值范围为：i =1n3。,4.2.2 二次插值样条曲线的加权合成,4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件,根据式(4-12)，在全部型值点列 Pi (i=1，2，n) 中，只能得到n3段曲线。但n个型值点之间应该有n1个区段。主要是因为点列的首、尾两段曲线P1P2和Pn1Pn段，由于缺乏连续相邻的四点这样的条件而

16、无法产生。,为了要产生首尾两段曲线，可以在原点列的两端各增加一个辅助点P0和Pn+1。,增加点P0和点Pn+1的三种方法： 已知两端的切矢P1和Pn 在由P1、P2、P3三点所确定的抛物线中，过P2点曲线的切矢 P 2 = P3P1 即：P1 = P3P 2 根据上面的原理可得： P1 = P2P0 P0 = P2P1 Pn = Pn+1Pn1 Pn+1 = Pn1+ Pn,这种端点情况，一般适用于所求的曲线要和已经存在的曲线或直线相连接。,4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件, 自由端条件 让补点P0 和Pn+1与原两端点P1 和Pn分别重合，即： P0 = P1 Pn+1 = Pn,这种

17、补点方法称为自由端条件，该方法一般适用于对曲线的两端没有特殊要求。,4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件, 形成封闭曲线 在n个型值点之间形成封闭曲线，要生成n个曲线段，而不是原来的n1段。所以在补点中要增加3个点，首先让首尾两点重合，然后各向前后延长一点，即： Pn+1 = P1 P0 = Pn Pn+2 = P2,4.2.3 二次插值样条曲线的端点条件,4.2.4 二次插值样条曲线的性质,二次插值样条曲线的连续性问题： 1、相邻两曲线段Pi+1(t)和Pi+2(t)在型值点P处相连。并且Pi+1(t)在P点处的参变量t =0.5，而Pi+2(t)在P点处的参变量t =0。 2、满足C1连

18、续，即Pi+1(0.5) = Pi+2(0) = Pi+3-Pi+1,4.2.4 二次插值样条曲线的性质,Pi+1(t) = (-4t3 + 4t2 t)Pi + (12t3 10t2 + 1)Pi+1 + (-12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (0t0.5),Pi+1(t) = (-12t2 + 8t 1)Pi + (36t2 20t)Pi+1 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+2 + (12t2 4t)Pi+3 当t = 0.5时：Pi+1(0.5) = Pi+3 Pi+1,Pi+2(t) = (-12t2 + 8t 1)Pi+1 + (36t

19、2 20t)Pi+2 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+3 + (12t2 4t)Pi+4 当t = 0时：Pi+2(0) = Pi+3 Pi+1,因此得出Pi+1(0.5) = Pi+2(0) ，说明可以达到C1连续。,4.3 三次插值样条曲线,三次插值样条曲线在灵活性和计算速度之间进行了合理的折中。与更高次样条相比，三次插值样条只需较少的计算和存储，且较稳定。与二次插值样条相比，三次插值样条在模拟任意形状时显得更灵活。,三次插值样条曲线由分段的三次多项式来描述。设其参变量为t，则分段三次插值样条曲线表达式的一般形式为： P(t) = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 (

20、0ttm) (4-13),其中，P(ti) = x(ti) y(ti) z(ti)可以看作三次插值样条曲线上某一点的位置向量，ti是该点的参变量，x(ti)、y(ti)、z(ti)可以看作是该点的坐标值。,式(4-13)中的B1、B2、B3、B4为四个待定系数。必须确定这四个系数，这需要设定四个独立条件。,n+1个型值点产生n 段曲线，每段曲线都需要确定四个系数。确定系数的不同方法导致不同的三次插值样条曲线： 三次自然样条曲线 Hermite样条曲线 Cardinal样条曲线,4.3 三次插值样条曲线,4.3.1 三次自然样条曲线,三次自然样条曲线是最早用于图形应用的三次插值样条曲线。 三次自

21、然样条曲线具有C2连续性。 n+1个型值点（P0、P1、P2Pn）插值产生n段曲线，每段曲线有4个系数，共有4n个多项式系数需要确定。,4.3.1 三次自然样条曲线,4n个多项式系数的确定： 对于每个内型值点(P1、P2Pn-1，共n-1个)有4个边界条件：在该型值点两侧的两个相邻曲线段在该点处具有相同的一阶和二阶导数，并且两个曲线段都要通过该点。4(n-1)个方程 曲线起点为第一个型值点P0，曲线终点为最后一个型值点Pn。2个方程 在P0 和 Pn两点处设二阶导数为0。2个方程,三次自然样条曲线能够做到曲线通过所有型值点。 缺点： 必须解方程组。 整条曲线受所有型值点控制，如果型值点中有任何

22、一个改动，则整条曲线都受影响。因此，不允许“局部控制”。 在实际应用中很少采用三次自然样条曲线。,4.3.1 三次自然样条曲线,4.3.2 Hermite样条曲线,Hermite样条曲线是以法国数学家Charles Hermite命名的，它是一个分段三次多项式，并且在每个型值点处有给定的切线。 与三次自然样条曲线不同，Hermite样条曲线可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。 整条曲线通过所有的型值点，对于每个曲线段来说，它通过两个相邻的型值点。,4.3.2 Hermite样条曲线,Hermite样条曲线段的确定： 已知：设曲线段的起点和终点分别为P0和P1，并且曲线段在两端点处的切

23、矢量分别为P0和P1。参变量t是在两个端点取值0和1之间变化。,对于每个三次曲线段，有了四个独立条件：两个端点的位置向量以及曲线段在两端点处的切矢量。根据这四个条件可以得到方程组，求出分段表达式(4-13)中的四个系数：,P0 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 (当t=0) P1 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 + B2 + B3 + B4 (当t=1) P0 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 (当t=0) (4-14) P1 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 + 2B3 + 3B4 (当t=1),4.3.2

24、 Hermite样条曲线,式(4-14)写成矩阵形式：,求解上述方程组中的B1、B2、B3、B4，可得Hermite样条曲线的矩阵表达式：,4.3.2 Hermite样条曲线,将式(4-16)展开，得到第k段Hermite样条曲线的表达式： P(t) = Pk(2t3-3t2+1) + Pk+1(-2t3+3t2) + Pk(t3-2t2+t) + Pk+1(t3-t2) (4-17),Hermite样条曲线能局部修改，对某些数字化应用有用。但对计算机图形学中的大部分问题而言，除了型值点坐标外，更好的做法是不需要输入曲线斜率值或其它几何信息就能生成样条曲线。因此，出现了Cardinal样条，它

25、不需要输入控制点上的曲线导数值，而是采用控制点的坐标位置来计算导数。,4.3.2 Hermite样条曲线,4.3.3 Cardinal样条曲线,Cardinal样条曲线也是分段三次插值曲线，并且每个曲线段端点处均指定切线，但不一定要给出端点处的切线值。 一个Cardinal样条曲线段由四个连续控制点给出。中间两个控制点是曲线段的端点，另外两个控制点用来计算端点斜率。,设P(t)是两个控制点Pk和Pk+1间的参数三次函数式，则从Pk-1到Pk+2间的4个控制点用于建立Cardinal样条曲线段的边界条件：,P0 = Pk P1 = Pk+1 P0 = 1/2(1- ts)(Pk+1- Pk-1)

26、 (4-18) P1 = 1/2(1- ts)(Pk+2- Pk),控制点Pk和Pk+1处的斜率分别与弦Pk-1Pk+1和PkPk+2成正比。 参数ts：称为张力参数，它控制Cardinal样条曲线与输入控制点之间的松紧程度。,4.3.3 Cardinal样条曲线,张力参数 ts 在Cardinal曲线形状中的作用：,4.3.3 Cardinal样条曲线,其中，s = (1-ts)/2。,将矩阵形式(4-19)展开，得Cardinal样条曲线多项式形式： P(t) = Pk-1(-st3 + 2st2 - st) + Pk(2-s)t3 + (s-3)t2 + 1 + Pk+1(s-2)t3

27、+ (3-2s)t2 + st + Pk+2(st3 - st2) (4-20),可以将边界条件式(4-18)转换成矩阵形式：,4.3.3 Cardinal样条曲线,4.4 Bezier曲线和曲面,Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（也称Bezier多边形或特征多边形）唯一定义出来的。,在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点是在曲线上，其余顶点用来定义曲线的导数、阶次和形状。第一条边和最后一条边分别与曲线在起点和终点处相切。曲线形状趋于多边折线的形状。改变多边折线的顶点位置和曲线形状的变化有直观的联系。,4.4.1 Bezier曲线的数学表达式定义,n+1个顶点定义一个n次多项式，其

28、参数向量表达式为：,式(4-21)中，Pi为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数，即Bezier多边形的各顶点位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为：,若规定：00和0！均为1，则当 t=0时： P(0) = P0B0, n(0) + P1B1, n(0) + P2B2, n(0) + PnBn, n(0),(4-21),(4-22),当t=0时，除第一项外其余各项均为0，即：,当t =1时： P(1) = P0B0, n(1) + P1B1, n(1) + P2B2, n(1) + PnBn, n(1),当t =1时，除最后一项外其余各项均为0，即：,得出结论：Bezier曲线

29、通过多边折线的起点和终点。,4.4.1 Bezier曲线的数学表达式定义,(4-23),(4-24),4.4.1 Bezier曲线的数学表达式定义,得出结论：Bezier曲线在点P0处与边P0P1相切，在点Pn处与边Pn-1Pn相切。,4.4.1 Bezier曲线的数学表达式定义,在起点t =0，式(4-25)中只有i=0, 1两项有效，即：,(4-26),4.4.2 Bezier曲线的性质,1、伯恩斯坦基函数的性质： 非负性： 权性： 对称性： 递推性： 导函数：,4.4.2 Bezier曲线的性质,2、Bezier曲线的性质： 端点的位置矢量： 由式(4-23)和式(4-24)得：P(0)

30、=P0，P(1)=Pn 端点处的切矢量： 由式(4-26)和式(4-27)得：P(0)=n(P1-P0) P(1)=n(Pn-Pn-1) 对称性： 若保持全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状不变，但方向相反。（表明同一特征多边形定义的Bezier曲线是唯一的）,4.4.2 Bezier曲线的性质,2、Bezier曲线的性质（续）： 凸包性： Bezier曲线完全被包容在由特征多边形形成的凸包内。 几何不变性： Bezier曲线的形状仅取决于特征多边形的顶点，而与坐标系的选取无关。,4.4.3 一次Bezier曲线,当n=1时，顶点 P0、P1可定义一条一次(n=1

31、)Bezier曲线。此时式(4-21)可改写成：,显然，一次Bezier曲线是一条点P0到点P1的直线段。,4.4.4 二次Bezier曲线,当n=2时，顶点P0、P1、P2可定义一条二次(n=2)Bezier曲线。此时式(4-21)可改写成： P(t) = (1t)2P0 + 2t(1t)P1 + t2P2 (0t1) (4-28),写成矩阵形式为：,P(t) = t2 t 1,该式说明，二次Bezier曲线经过P0P1P2中的一条中线P1Pm的中点P。并且可以看出二次Bezier曲线是一条抛物线。,4.4.4 二次Bezier曲线,由式(4-28) ，二次Bezier曲线（n=2）在起点P

32、0处有切向量 P0=P(0)=2(P1P0)；在终点P2处有切向量P2=P(1) = 2(P2P1)。同时，当t =1/2时：,4.4.5 三次Bezier曲线,当n=3时，顶点P0、P1、P2、P3四点可定义一条三次(n=3) Bezier曲线。此时式(4-21)可改写为： P(t) = (1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 = (13t+3t2-t3)P0 + (3t6t2+3t3)P1 + (3t23t3)P2 + t3P3 (0t1) (4-29),写成矩阵表达式为：,P(t) = t3 t2 t 1,4.4.5 三次Bezier曲线,控制点相同但顺序不同的

33、三次Bezier曲线,4.4.5 三次Bezier曲线,移动控制点P2的Bezier曲线的不同效果,4.4.6 Bezier曲线的控制顶点反求,已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier曲线的定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，可得到相应的控制顶点。,例如：已知三次Bezier曲线上的4个点分别为Q0(120, 0)，Q1(45, 0)，Q2(0, 45)，Q3(0, 120), 它们对应的参数分别为0， 1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲线的控制顶点。 由已知条件可得方程组： Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P

34、1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1),4.4.6 Bezier曲线的控制顶点反求,分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组求解，可得： P0(120, 0) P1(35, -27.5) P2(-27.5, 35) P3(0, 120),4.4.7 Bezier曲线的几何作图法,以控制点数为4，边数为3的控制多边形P0P1P2P3为例： 分别在边P0P1、P1P2 、P2P3上找到一点P0,1、P1,1 、P2,1，该点将所在的边

35、分成 t:(1-t) 两部分，比如设 t =2/3。 然后，将3个分割点构成新的控制多边形P0,1P1,1P2,1，其控制点数为3，边数为2；再以同样的方法及同样的比例，对边P0,1P1,1和边P1,1P2,1进行分割，得到分割点P0,2和P1,2。 最后，对边P0,2P1,2进行相同比例的分割，得到点P0,3。P0,3即为由原控制多边形P0P1P2P3所确定的三次Bezier曲线上的参数为t 的点P(t)。 若让参数 t 在0, 1变动，并且让t 取一个较小的增量，如t =0.1。循环多次即可作出三次Bezier曲线。,4.4.7 Bezier曲线的几何作图法,Bezier曲线的几何作图法示

36、意图 以及分割点的递推关系,4.4.7 Bezier曲线的几何作图法,Bezier曲线的几何作图法总结： 对于任意控制多边形，在以PiPi+1为端点的第 i 条边上，找一点Pi,1(t)，把该边分成 t:(1-t) 比例，则分割点Pi,1(t)=(1-t)Pi + tPi+1 (i=0,1,n-1)，这n个点组成一个新的n-1边形，对该多边形重复上述操作，得到一个新的n-2边形的顶点Pi,2(t) (i=0,1,n-2)，依次类推，连续作n次后，得到一个单点Pi,n(t)，该点就是Bezier曲线上参数为t 的点P(t)，让 t 在0, 1变动，就得到Bezier曲线。,4.4.8 Bezie

37、r曲线的拼接,设有两条Bezier曲线P(u)和Q(w)，P(u)由P0P1P2Pm定义，Q(w)由Q0Q1Q2Qn定义：,考虑两条Bezier曲线的一阶连续性（C1和G1）拼接设计： 由端点切矢量条件： P(1)=m(Pm-Pm-1) Q(0)=n(Q1-Q0),4.4.8 Bezier曲线的拼接,若曲线P(u)与Q(w)首尾拼接达到G1连续，必有Pm与Q0重合，并且Q(0)=P(1) ( 0)，即： Q0=Pm Q1=Q0+(m/n)*(Pm-Pm-1) 上式的几何意义：P(u)与Q(w)两条Bezier曲线拼接达到G1连续时，控制点Pm-1、Pm(=Q0)和Q1在一条直线上。 当=1时，

38、P(u)与Q(w)两条Bezier曲线拼接可达到C1连续。,4.4.8 Bezier曲线的拼接,两条Bezier曲线的拼接示意图,4.4.9 Bezier曲面,设Pij (i=0,1,m; j=0,1,n)为(m+1)(n+1)个空间点列，则mn次Bezier曲面定义为：,其中， 和 是Bernstein基函数。 依次用线段连接点阵 Pij 中相邻两点所形成的空间网格，称为特征网格。,4.4.9 Bezier曲面,Bezier曲面的矩阵表示为：,1、双线性Bezier曲面 当m=n=1时，定义一张双线性Bezier曲面：,4.4.9 Bezier曲面,2、双二次Bezier曲面 当m=n=2时

39、，定义一张双二次Bezier曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线：,3、双三次Bezier曲面 当m=n=3时，定义一张双三次Bezier曲面，它由16个顶点定义，参数曲线u、v都是三次Bezier曲线，该曲面只通过4个角点P00、P30、P03、P33：,4.5 B样条曲线,由Gordon，Riesenfeld和Forrest等人拓展了Bezier曲线，用n次B样条基函数替换伯恩斯坦基函数，构造了B样条曲线。 B样条曲线除了保持了Bezier曲线所具有的优点之外，还增加了可以对曲线进行局部修改，对特征多边形更加逼近，多项式阶次较低等优点。 因此，B样条曲线在外形设计中得到广泛的重视和应用

40、。,4.5.1 B样条曲线的数学表达式,通常，给定m+n+1个顶点Pi (i =0, 1, 2, , m+n)，可定义m+1段n次的参数曲线为：,其中：Pk,n(t)为第k段n次B样条曲线段(k=0,1,m)，Fi,n(t)为n次B样条基函数，也称B样条分段混合函数，其形式为：,(4-31),连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。依次用线段连接Pi+k(i=0, 1, , n)所组成的多边折线称为B样条曲线在第k段的B特征多边形。 B样条曲线是分段组成的。所以特征多边形的顶点对曲线的控制灵活直观，具有局部修改性。 n次B样条曲线可达到n1阶连续。在实际工程应用中，二阶连续的曲线已能

41、使工程问题的解决相当满意，所以，三次B样条曲线和二次B样条曲线应用得较为广泛。,4.5.1 B样条曲线的数学表达式,对于二次B样条曲线，n=2，i=0, 1, 2。所以式(4-31)定义的二次B样条基函数可写成如下形式：,4.5.2 二次B样条曲线,4.5.2 二次B样条曲线,所以，第k段二次B样条曲线的表达式为：,4.5.2 二次B样条曲线,(4-32),其中：Pk、Pk+1、Pk+2为二次B样条曲线在第k段的B特征多边形的顶点。,式(4-32)写成矩阵形式为：,4.5.2 二次B样条曲线,二次B样条曲线在端点处的性质：,(4-33),4.5.2 二次B样条曲线,4.5.2 二次B样条曲线,

42、4.5.3 三次B样条曲线,对于三次B样条曲线，n=3，i=0, 1, 2, 3。所以式(4-31)定义的B样条分段混合函数可写成如下形式：,4.5.3 三次B样条曲线,4.5.3 三次B样条曲线,所以，第k段三次B样条曲线的表达式为：,(4-34),4.5.3 三次B样条曲线,其中：Pk、Pk+1、Pk+2、Pk+3为三次B样条曲线在第k段的B特征多边形的顶点。,4.5.3 三次B样条曲线,三次B样条曲线在端点处的性质：,4.5.3 三次B样条曲线,从以上列出的端点结果可以看到：第k段三次B样条曲线段的起点Pk,3(0) 位于PkPk+1Pk+2底边PkPk+2的中线上，且距Pk+1点的1/

43、3处。该点处的切矢Pk,3(0)平行于PkPk+1Pk+2的底边PkPk+2，且长度为其1/2。 同理，第k段三次B样条曲 线段的终点 Pk,3(1) 的情况 与起点类似 。,4.5.3 三次B样条曲线,若在B特征多边形上再增加一个顶点Pk+4，则Pk+1Pk+2Pk+3Pk+4又可定义一个新的三次B样条曲线段。新曲线段起点的数据和前一曲线段终点的数据都只与Pk+1、Pk+2、Pk+3三点有关，所以这两段曲线在连接处的位置矢量，一阶切矢和二阶切矢都分别相等，即： Pk,3(1) = Pk+1,3(0) Pk,3(1) = Pk+1,3(0) Pk,3(1) = Pk+1,3(0) 因此，三次B样条曲线具有二阶参数连续性。,4.5.3 三次B样条曲线,使三次B样条曲线以特征多边形的P0为起点，且与P0P1相切；以Pn为终点，且与Pn-1Pn相切，则构造该曲线的方法为: 新增点P-1，延长P1P0到点P-1，并使P-1P0=P0P1 新增点Pn+1，延长Pn-1Pn到点Pn+1，并使PnPn+1=Pn-1Pn 新的特征多边形P-1P0P1PnPn+1构造的三次B样条曲线满足以上要求。,4.5.3 三次B样条曲线,