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1、3.2,3.2.1 菱形的性质,菱 形,我们已经学习了平行四边形的相关知识,下面我们来复习回顾一下几个概念.,1. 平行四边形的定义是什么？,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,2. 平行四边形有哪些性质呢?,边:两组对边分别平行,两组对边分别相等.,角:两组对角分别相等.,对角线:两条对角线互相平分.,平行四边形是中心对称图形.,那么下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？,它们的邻边也相等.,C,D,B,A,如图：四边形ABCD是菱形,平行四边形,菱形,一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,C,D,B,A,那么菱形具有哪些性质呢？我们如何进行探究呢？,从定义可知菱形是平行四边形，那么
2、它具有哪些一般的性质呢？,图3-44,菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心O；,菱形的对边相等， 对角相等， 对角线互相平分.,菱形是特殊的平行四边形，还具有哪些特殊性质呢？,图3-44,从定义可知: 菱形的四条边都相等.,还有其它特殊性质吗？,图3-44,如图3-44，四边形ABCD是菱形，对角线的交点O.,图3-44,你能猜测菱形ABCD是轴对称图形吗？,这个猜测对吗？,由于DA=DC，,因此点D在线段AC的垂直平分线上.,又由于点O是线段AC的中点，,因此直线DO(也就是直线DB) 是线段AC的垂直平分线.,把菱形ABCD沿直线DB折叠，则 点A与点C重合.,图3-44,于是菱形A
3、BCD在直线DB 两旁的部分互相重合，,从而ADB=CDB， ABD=CBD.,所以菱形ABCD是轴对称图形， 直线DB是它的一条对称轴.,同理，直线AC也是菱形ABCD的一条对称轴.,从而BAC=DAC，BCA=DCA.,从而线段AD与CD重合，线段AB与CB重合.,图3-44,菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴.,图3-44,因此,菱形的性质还有:,菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.,如图3-44，菱形ABCD被它的两条对角线分成四个直角三角形，它们全等吗？,你能利用“菱形的两条对角线所在的直线都是它的对称轴”判断它们全等吗？,图3-44,四个直角三角形全
4、等.,如果菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度已知，那么菱形ABCD的面积S等于多少？,你能说出上述面积公式成立的道理吗？,图3-44,图3-44,因为菱形ABCD的对角线ACBD,所以AOD=COD=COB=AOB=90,因为AC，BD是菱形ABCD的对角线,所以AO=CO，DO=BO,所以S菱形ABCD =SAOB+ SAOC + SDOB + SAOD =,菱形的性质,既是中心对称图形,又是轴对称图形.,角:对角相等;,对角线:互相平分,互相垂直, 每条对角线平分一组对角;,边:四条边都相等;对边平行;,菱形的面积公式=底高 =对角线乘积的一半,举 例,例1 填一填：,1. 已知菱形
5、的周长是12cm，那么它的边长_.,2. 如图：菱形ABCD中BAD60， 则ABD=_.,3. 菱形的两条对角线长分别为 6cm和8cm，则菱形的边长是_.,3cm,60,5cm,例2 如图3-45，菱形ABCD的两条对角线AC， BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD 的面积和周长.,举 例,图3-45,解 菱形ABCD的面积为,在直角三角形中,AB2 = OA2+OB2=22+1.52=6.25，,从而 AB = 2.5(cm).,因此，菱形ABCD的周长为,42.5=10(cm).,图3-45,1. 菱形ABCD的两条对角线的交点为O. 已知 AB=5cm，OB=3cm. 求菱
6、形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积.,答：两条对角线的长分别为6cm， 8cm，面积为24cm2.,2. 如图3-46，四边形ABCD是菱形，边长为2cm， BAD=60，求菱形ABCD的两条对角线的长 度以及它的面积.,图3-46,答：两条对角线的长 分别为2cm和 ， 面积为,例1（2012浙江省嘉兴市 ）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE. (1)求证:BD=EC; (2)若E=50,求BAO的大小.,证明：（1）四边形ABCD是菱形，,ABCD，ABCD，,又BE=AB，,四边形BECD是平行四边形，,BD=EC.,解：（2）四边形B
7、ECD是平行四边形,BDCE,ABOE50.,在菱形ABCD中，,ACBD,BAO90-ABO40.,例2 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2.,（1）若CE=1，求BC的长；,（2）求证：AM=DF+ME.,（1）四边形ABCD是菱形 ,CB=CD，ABCD ，,1=ACD .,1=2 ,2=ACD.,MC=MD.,MECD ，,CD=2CE=2.,BC=CD=2.,证明:(2) 延长DF交AB的延长线于点G，,四边形ABCD是菱形BCA=DCA ，,BC=2CF，CD=2CE，,CE=CF,CM=CM， CEMCFM.（SAS）,ME=MF.,ABCD，2=G，GBF=BCD.,CF=BF,CDFBGF. （AAS）,1=2, G=2 ,1=G.,AM=GM=MF+GF=DF+ME.,DF=GF .,1. 菱形的定义是什么呢？,2. 菱形有哪些性质呢？,3. 我们是如何探究菱形的性质呢?,结 束,单位：北京市东直门中学 姓名：杨革华,
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