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1、,主讲：罗军,1.7.3反证法,学习目标： 1、初步掌握反证法的概念； 2、理解反证法证题的基本方法和步骤； 3、能用反证法解决一些简单证明题。,主讲：罗军,1.7.3反证法,一、复习回顾：,1、四种命题的关系,2、四种命题之间的真假关系 （1）原命题为真， （2）逆命题不一定为真， （3）否命题也不一定为真，（4）逆否命题一定为真。,主讲：罗军,1.7.3反证法,二、新知识： 1、反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题 成立，这样的证明方法叫做反证法。 2、反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;（反设） （2）从这个假设出发,经过
2、推理证明,得出矛盾;（归谬） （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.（结论） 3、反证法的使用范围： （1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。,主讲：罗军,1.7.3反证法,例1、有367名学生，证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日。 分析：这个问题若用直接证法来解决是有困难的，我们可以运用反证法 证明：（1）第一步反设 假设：任何两个学生都不在同一天过生日 （2）第二步归谬 从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出 现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾 （
3、3）第三步结论 由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同 一天过生日”的结论,主讲：罗军,例2、在三角形ABC中，若C是直角，那么B一定是锐角。 证明：假设B是直角， 因为C是直角，所以C+ B=180度，此时A=0度，这与 三角形ABC为直角三角形矛盾， 所以B为锐角,注意：在上题中，因为B是锐角的反面有两种，即B是直角或钝角， 在假设的时候必须对两种情况都加以否定，才能证明B一定为钝角。 所以，在用反证法证明命题的时候，如果命题结论的反面不止一个时， 必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的真假。,主讲：罗军,例3、用反证法证明：,主讲：罗军,例4、用反证法
4、证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分,已知：如图，在O中，弦 AB、CD相交于 P点，且 AB、CD不是直径 求证：弦AB、CD不被P点平分,证明：假设弦AB、CD被P点平分 由于P点不是圆心O，连结OP， 由垂径定理的推论得,这样过P点有两条直线与OP都垂直， 与垂线的性质矛盾,结论是“弦AB、CD不被P点平分”成立,由上面的例题可以看出：利用反证法证明时，关键是从假设的反面出发， 经过推理论证，得出可能与命题的条件，或者与已学过的定义、公理、 定理相矛盾的结论，这是由假设引起的，因此假设是不正确的，从而肯 定了命题结论的正确性。,主讲：罗军,课堂小结标： 1、反证法的概念； 2、反证法证题的基本方法和步骤； 3、用反证法解决一些简单证明题。,
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