虚功原理和结构的位移计算

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1、第9章 虚功原理和静定结构位移计算,9-1 位移计算概述,1、 变形与位移,变形：在荷载等因素作用下，结构杆件形状发生改变称为变形。 位移：结构变形时，结构上某点位置的移动或某个截面产生移动或转动称为结构的位移。,位移的分类,线位移（水平、竖向）： 指结构上某点沿直线方向移动的距离；,相对位移： 结构中某点相对结构中另外一些点变形后与变形前位置改变量。,绝对位移： 指结构中某点相对于地球的位置的 改变;,角位移： 指结构上某截面 转动的角度；,2、位移计算的目的 （1）验算结构的刚度 （2）为超静定结构计算打基础 （3）为工程施工控制变形提供理论依据 3、产生位移的原因 （1）荷载作用 （2）

2、温度变化和材料胀缩 （3）支座沉降和制造误差,4、计算位移的基本假设： （1）结构的材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系； （2）结构变形微小，不致影响力的作用（建立平衡方程时可忽略结构的变形，而仍然应用结构变形前的几何尺寸，同时由于变形微小，应变与位移成线性关系）。 （3）结构各部分之间理想联结，不需考虑摩擦阻力；,对线性变形体系的计算，可以应用叠加原理。,9-2 虚功和虚功原理,9.2.1 功、虚功、虚功原理,W=P W_功 P_广义力 _与P相应的位移 称广义位移,一、功 一个不变的力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。,广义力与相应的广义位移,二、虚功 当作功的

3、力与其相应的位移彼此独立无关时就把这种功称做虚功。,即：经历的位移不是P所产生的。 那么，虚功中的两个因素可看成是分别属于同一结构的两种状态（即力状态和位移状态）,力状态,位移状态,注意： 1、属同一体系； 2、均为可能状态。即 位移应满足变形协 调条件；力状态应 满足平衡条件； 3、位移状态与力状态 完全无关,9.2.2刚体体系虚功原理的两种应用,基本概念 1、刚体体系：当体系在位移过程中，不考虑材料的应变，各杆只发生刚体运动时，体系属刚体体系。,指作用在结构上的外力（包括荷载、支承反力）所作的虚功,用We表示。,力状态,位移状态,2、外力虚功,一、刚体体系的虚功原理,力状态,位移状态,刚体

4、体系在任意平衡力系作用下处于平衡（力状态），而该刚体体系又由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态）则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功总和恒等于零。,二、刚体体系虚功原理的两种应用,第一种应用：求静定结构的未知约束力 在给定的力状态与虚设的可能位移状态之间应用刚体体系的虚功原理求未知力这种形式的应用称虚位移原理。即虚设位移状态，求未知力 第二种应用：求静定结构的位移 在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用刚体体系的虚功原理求位移这种形式的应用称虚力原理。即虚设力状态，求位移,（一）虚位移原理的应用（即虚设位移，求力）,虚功方程,注：所得结果为正，表明力与虚设位移方向相同,

5、称单位位移法,应用虚功原理求静定结构的Q力(单位位移法),1、撤除与X相应的约束，以约束反力代之；,2、使之产生虚位移，建立虚功方程；,为了计算方便，沿X方向的位移可虚设计单位位移，则虚功方程为：,例9-1：试求图示静定多跨梁截面G处弯矩MG,解：求截面G的弯矩MG,9.2.3 变形体体系的虚功原理,1、变形体体系 当体系在变形过程中，不但各杆发生刚体运动，内部材料同时也产生应变。,2、内力虚功 指力状态的内力因位移状态的相对变形而作的虚功用Wi表示。,内力虚功的表达式,微段变形上所作的内力虚功,对于梁AB,对于杆件体系,略去高阶微量得：,3、变形体体系虚功原理 体系在任意平衡力系作用下给体系

6、以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。 即：,体系的外力虚功,体系的内力虚功,虚功方程,因为：,所以：,9-3 单位荷载法和结构位 移计算的一般公式,在一给定的变形状态下，要求其某点的位移，在拟求位移的方向虚设一个相应的单位荷载P=1，在这个虚设的力状态与给定的位移状态之间应用变形体体系的虚功原理求位移。,如果结构除各微段变形外， 在支座处还有给定位移Ck,变形体体系虚功原理的应用：,单位荷载法,结构位移计算的一般步骤,（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求 出结构内力 、 、 和支座反力,（3）根据公式（9-7）求位移,（1

7、）沿拟求位移的方向虚设单位荷载P=1,9-4荷载作用下的位移计算,9.4.1荷载作用下位移计算公式及计算位移的步骤,9.4.2 各类结构的位移计算公式,9.4.3荷载作用下位移计算举例,例9-3 试求图9-10a所示悬梁臂梁A端的竖向位移 ，并比较弯曲变形与剪力变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。,任意截面x内力为： 实际荷载 虚设单位荷载,求图示桁架C点的竖向位移,解： （1）在C点加P=1；,（2）求 如图（b）;,（3）求 如图（C）；,（4）求,在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.,9.5 图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Metho

8、d and its Applications),刚架与梁的位移计算公式为：,一、图乘法,(对于等 截面杆),(对于直杆),图乘法求位移公式为:,图乘法的 适用条件是 什么?,A,面积矩,例. 试求图示梁B端转角.,解:,MP,Mi,1、应用条件：杆段应是等截面直杆段，两个图形中至少应有一个直线图形，标距yc应取自直线图中。 2、正负规定：面积A与标距yc在杆的同一边时，乘积A yc应 取正； A与标距yc在杆的不同边时取负号。,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,例. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,三、图形分解,求

9、,MP,三、图形分解,求,MP,当两个图形均 为直线图形时,取哪 个图形的面积均可.,三、图形分解,求,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,三、图形分解,求,MP,三、图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,三、图形分解,求,MP,三、图形分解,求C截面竖向位移,MP,例 1. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,三、应用举例,三、应用举例,例 2. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,例

10、1. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。,三、应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,9-7 支座移动时的位移计算,静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤,设支座K有给定位移CK，且K=1,2,n。 （1）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷 载，并求出单位荷载作用下的支座反力,（2）由虚功方程解出拟求位移,9-8 线性变形体系的互

11、等定理,互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件： （1）材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； （2）结构变形很小，不影响力的作用。,由虚功原理,1. 功的互等定理:,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。,功的互等定理,2. 位移互等定理:,单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力2方向的位移，恒等于单位广义力2引起，单位广义力1作用处沿广义力1方向的位移。-位移互等定理,单位广义力是量纲唯一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,如图示长 l ，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,3. 反力互等定理:,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,4. 反力位移互等定理:,单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理,作业,9.1 9.9 9.22 9.23 9.24 9.25 9.30,