测量误差和数据处理.ppt

《测量误差和数据处理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《测量误差和数据处理.ppt（89页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第2章 测量误差和数据处理,主要内容,测量误差的基本概念、来源及分类 随机误差的分析、系统误差的分析 误差的合成 间接测量误差的传递与分配 测量数据的处理,难点与重点,重点 随机误差的数据处理 误差合成及传递的计算 难点 随机误差特性、极限误差的正确理解 正确判断误差类别,一、基本概念,在一定条件下，被测量客观存在的确定值称为真值 实际中，人们通常用下面方法来近似确定真值。 约定真值 由计量基准、标准复现而赋予该特定量的值 采用权威组织推荐的值 某量多次测量结果的算术平均值 实际值，也叫相对真值,采用相应的高一级等级准确度的计量器具所复现的被测量的量值。 理论值作为真值，如平面三角形内角和为1

2、80,第1节 测量误差,测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测量精度不够及环境等因素影响，标称值不一定等于产品的真值或实际值。实际值与标称值之差，就是产品制作误差。 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值。 测量仪器的测量值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。,单次测量、多次测量等精度测量和非等精度测量,等精度测量 在保持测量条件不变的情况下，对同一被测量进行的多次测量过程称为等精度测量。 测量条件包括：测量中使用的仪器、测量方法、测量环境、操作者的操作步骤和细心程度等 非等精度测量 测量过程中，测量条件的某项或多项因素发生变化的多次测量,二、误差表

3、示方法,绝对误差 相对误差 实际相对误差 示值相对误差 满度（引用）相对误差,绝对误差,式中，x为测得值，A0为真值，A为实际值,测得值x与被测量真值A0之差称为绝对误差,特点 有单位的量 有符号的量 体现测量值与被测量的真值的偏离程度及方向,注意：对于信号源、稳压电源等供给量仪器的绝对误差为：,修正值：与绝对误差大小相等、符号相反的值。用c表示，即,被测量的实际值为,相对误差,实际相对误差 示值相对误差 满度相对误差,仪表的准确度按 分为7级，等级为 去掉,测量结果的准确度,测量仪表的准确度,例1 用一 电压表测200V电压，绝对误差为+1V，用另一电压表测20V电压，绝对误差为+0.5V，

4、求相对误差？,分析 上例中前者的绝对误差大于后者，但误差对测量结果的影响，后者却大于前者。 因此衡量对测量结果的影响，要用相对误差。,例2 某台测温仪表的标尺范围0500，精度等级为1.0级，已知校验时其最大绝对误差值为6，问该仪表是否合格？,解： m S1.0， 不合格 该仪表实际精度等级为1.5级。,根据工艺要求，合理选用仪表的精度等级；根据仪表使用情况，校验仪表精度,例3 某台01000的温度显示仪表，工艺上要求指示误差不超过7，问如何确定仪表的精度等级？,解： 选择0.5级的仪表可满足要求。 小结：根据测量数据校验仪表精度等级S是否合格时，m S；根据工艺要求选择仪表精度等级时，m S

5、,例4 某待测电压约为100V，现有0.5级0300V和1.0级0100V两个电压表，问用哪一个电压表测量较好？,分析,此例说明，如果量程选择恰当，用1.0级仪表比用0.5级仪表测量误差还小。因此，在选用仪表时，应根据被测量的大小，兼顾仪表的等级和量程或测量上限，合理地选择仪表。为充分利用仪表的准确度，被测量的值应在仪表量程上限70%-90%为好。,例4 某蒸汽供热系统的蒸汽压力控制指标为1.5MPa，要求指示误差不大于 0.05MPa，现用一只量程范围为0 2.5MPa，精度等级为2.5级压力表是否满足使用要求 ？为什么？如果不满足，应选用什么级别的仪表？ 解： 2.5级的压力表不能满足要求

6、 因此，量程范围为0 2.5MPa时，应该选用精度等级为1.5的压力表,某人使用某种仪器根据某种方法 在某种环境中进行测量,人身误差,仪器误差,方法误差,环境影响误差,第2节 测量误差的来源及分类,所有测量环节均可能带来误差,误差分类,系统误差 随机误差 粗大误差,系统误差,系统误差：多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或条件改变时，按某种规律变化的误差。系统误差通常在测试之前就已经存在。例如，电压表示值的偏差等。 分类 恒值系差 变值系差：累进系差、周期性系差、复杂规律的系差 特点：有规律性，它不能依靠增加测量次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握其变化规律，并按照

7、相应规律采取补偿或修正的方法加以消减。,只有随机误差,累进系统误差,恒定系统误差,周期性系统误差,随机误差（偶然误差）,随机误差：对某一恒定量值多次等精度测量时，误差的大小和符号是以不可预定的，称为随机误差。是具有不确定性的一类误差。 特征：单次测量没有规律，足够多次等精度测量总体呈现统计规律，多数服从高斯（GASS）分布，也称正态分布 统计特点：有界性； 单峰性；对称性；抵偿性,粗大误差,粗大误差：测量误差明显地超出正常值，由于测量人员的疏失或测量条件突变所致，又疏失误差或过失误差 含有过失误差的测量数据是不能采用的，必须利用一定的准则从测得的数据中剔除。如数据处理中常采用的莱特法则（ 3原

8、则）或格拉布斯准则。,引起误差的主要因素,三种误差的处理,粗大误差 确认误差，测量结果剔除或者重测 系统误差 找出误差，修正测量结果 随机误差 不可避免，处理测量结果 粗大误差和系统误差应尽量避免，随机误差不可避免,第3节 随机误差分析,就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为对称性、有界性、单峰性、抵偿性。,问题,测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？ 例如，测量室温，6次测量结果分别为19.2，19.3，19.0，19.0，22.3，19.5，那么室温究竟是多少呢？,x=A，置信概率为p 测量值x

9、落在A-， A+区间内的概率为p。 A和如何确定呢？,一、测量值的数学期望和标准差,1数学期望 对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测量值x1，x2，x3，xn。则n个测得值的算术平均值为：,当测量次数 时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。,当测量次数 时，测量值的数学期望与被测量的真值的关系,?,分析：,根据随机误差的抵偿特性，当 时 =0，即,所以，当测量次数 时，测量值的数学期望等于被测量的真值。,2剩余误差（残差）,当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差，称为剩余误差或残差。,数学表达式：,对上式两边求和得：,由此可得：剩余误差得代数和为0。,实际测量中，多次测量值的算术

10、平均值作为测量结果，称为被测量的最佳估值或最可信赖值。,4标准差（标准偏差，均方根误差） 方差开平方得：,反映了测量结果的精密度，小表示精密度高，测得值集中，大，表示精密度低，测得值分散。,3. 方差,二、随机误差的正态分布定律,高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。,随机误差,标准差,曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。,例如：,绝对值越小， 愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。,单峰性,对称性和抵偿性,大小相等符号相反的误差出现的概率相等。,从正态分布曲线可看出：,愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈大，正态分布曲线愈平缓。说明反映了测量值的精密度。,三

11、、随机误差的表达形式,1、剩余误差（vi）,2、标准差（）,3、极限误差（）,即随机误差绝对值大于3的概率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。因此定义：,有界性,标准差反映了被测量n次等精度测量结果的分散性，即一个测量列的精密度。 几何意义：正态分布曲线上拐点的横坐标,莱特准则,四、标准偏差的计算,采用残差代替随机误差 有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）,贝塞尔公式,标准差：,适用条件：n1,2. 算术平均值标准误差的最佳估计值 （近似平均值标准误差）,1. 算术平均值的标准误差,五、算术平均值的标准差,六、有限次测量下测量结果计算步骤,2）计算算术平均值 、 、 ；,3）计算

12、和,置信概率0.9973,置信概率0.9545,置信概率0.6827,4）给出最终测量结果表达式：,1）列出测量数据表,第4节 系统误差分析,累进系统误差,恒值系统误差,周期性系统误差,一、分类 恒值系统误差 变值系统误差,一列等精度测量值x1，x2，xn，若测量值中含有系统误差i，消除系统误差后其值为，则,其算术平均值为,测量值的残差为,即,、对于恒值系统误差,用残差计算测量列的标准差为,性质1恒值系统误差的存在，只影响测量结果的准确度，不影响测量结果的精密度,、对于变值系统误差,则，,性质变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且影响测量结果的精密度,一般,二、系统误差处理的一般原

13、则,在测量之前，应该尽可能预见到系统误差的来源，设法消除或使其减小到可以接受的程度 测量设备、试验装置的不完善，或安装、调整使用不当引起的误差，如测量仪表未经校准投入使用 由于外界环境因素的影响而引起的误差，如温度漂移、测量区域电磁场的干扰等 由于测量方法不正确，或测量方法所赖以存在的理论本身不完善引起的误差，如使用惯性大的仪表测量脉动参数,二、系统误差处理的一般原则,在实际测量时，尽可能地采用有效的测量，消除或减弱系统误差对测量结果的影响 零示法 替代法如电桥测量电阻 反向补偿法如恒温箱热惯性引起的系统 交换法 半周期法消除周期性变化的系统,1零示法,2替代法（置换法）：在测量条件不变的情况

14、下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。,这两种方法主要用来消除恒值系统误差。,二、系统误差处理的一般原则,在测量之后，通过对测量值的数据处理，检查是否存在尚未注意到的变值系统误差 累进性系统误差的判定 周期性系统误差的判定,变值系差的判定,累进性系差的判别马利科夫判据 方法：把n个等精度测量值所对应的残差按测量顺序排列，并分成两部分求和，再求其差值D。 n为偶数时， n为奇数时， 判断：若D值明显不等于0，则说明测量数据含有累进性系差。,变值系差的判定,周期性系差的判别阿贝-赫梅特判据 方法：把n个等精度测量数据按测量顺序排列，对应的残差两两相乘

15、，再求和的绝对值，并与测量值标准偏差的最佳估计值比较，若 判断：若上式成立，则可认为测量数据含有周期性系差。,二、系统误差处理的一般原则,用修正的方法消除系统误差 通过自动测试和智能化处理消误差除人员,一、间接测量的误差传递,研究函数误差一般有以下三个内容： 已知函数关系及各个测量值的误差，求函数：即间接测量的误差。 已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。 确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。,第5节 间接测量的误差传递与分配,1函数误差传递的基本公式,假设间接测量的数学表达式为：,将上式按泰勒级数展开,直接测量值,间接测量值,略去高阶项,间接测量的相对误差：,间接测量的绝对误差

16、：,2间接测量的标准差,部分误差,已知各个直接测量的标准差 ， ， ， 则间接测量量y的标准差为：,3间接测量的误差传递公式,已知各个直接测量的标准差最值估计值为 ， ， ，则间接测量量y的标准差最佳估计 值为：,取y的极限误差 ，则y的绝对误差为,y的相对误差为,间接测量量误差传递公式,二、常用函数的误差传递,和、差函数的误差传递 积函数的误差传递 商函数的误差传递 幂函数的误差传递,（1）和、差函数的误差传递 设 ， 则绝对误差,若误差符号不确定：,相对误差：,设 ， 则绝对误差,若误差符号不确定：,相对误差：,（2）积函数误差传递,设 ，则绝对误差,相对误差：,若误差符号不确定：,（3）

17、商函数误差传递,设 ，则绝对误差,相对误差：,若误差符号不确定：,（4）幂函数的误差传递,例5 已知：R1=1k，R2=2 k， ， ， 求 。,解：,结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。,例6 温度表量程为100，精度等级1级，t1=65，t2=60，计算温差的相对误差。,解1： ,结论：对测量值相近的差函数，相对误差可能很大,例 已知 ， ， ， ，求 。,解：,三、间接测量的误差分配,解决误差分配问题。通常采取的方法为 等作用原则，调整原则。 所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=Dn,即,按照等作用原则进行误差分配并不合理，在实际应用中，有些量达

18、到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。,则,例 散热器装置： ，设计工况L=50L/h，进出口温差 。要求散热量测量误差不大于10，如何分配误差并选择测量仪表？,分析：直接测量量为流量L，散热器进出口温度t1、t2。间接测量量为热量Q。要求测量误差10%。,按照等作用原则，可得流量及温差的标准误差为7.1%。 再根据实际情况选择调整。,按照题意，误差应写成极限误差的形式。即,第6节 误差的合成,由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。,1、随机误差合成 若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准

19、差分别为1、2、3、k，则随机误差合成的总标准差为：,若以极限误差li表示，则合成的极限误差为：,当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差为：,2、系统误差的合成,1）确定的系统误差的合成,绝对值合成法：,代数合成法：,方和根合成法：(m10),2）不确定的系统误差的合成,各系统不确定度eP线性相加,方和根合成法,由系统不确定度ep算出标准差p，再取方和根合成,3、随机误差与系统误差的合成,随机误差,确定的系统误差,不确定的系统误差,测量结果综合误差,加减法运算以小数点后位数最少的数为准 乘除法运算以有效数字位数最少的数为准 乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。,第7节 测量数据的处理

20、,一、有效数字的处理 1有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止。 2舍入原则：小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则。12.5写作12；13.5写作14 3 有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。,二、等精度测量结果的处理,处理步骤 1）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。,3）列出残差： ，并验证,2）求算术平均值：,4）计算标准偏差：,5）按照 原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到2）重新计算，直到没有坏值为止。,6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后重新测量。

21、,7）求算术平均值的标准偏差：,8）写出最终结果表达式：,例10,用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了16次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有0.05的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。,例题解答（1）,例题解答（3）,作业,8、9、12、29、36、,第8节 最小二乘法,最小二乘法原理 最小二乘法是指测量结果的最佳值x0，应使测量值xi与最佳值之差的平方和最小，即 等精度测量中，指各测量值与算术平均值之差平方和最小。,一、线性公式的最小二乘法拟合,若两个量x、y之间有线性关系： 对它们进行n（n2）等精度测量，得到n对数据(x1,y1)， (x2,y2)，

22、(xn,yn)。利用最小二乘法原理，使各测量点与纵坐标之差 的平方和最小，求解a和b。,误差方程 等式两边平方，得,将上面n个方程左边和右边分别相加，得 令 ，由最二乘法原理可知，要使V=min，则a和b必须满足：,二、幂级数多项式的最小二乘法拟合,设有一组数据 (x1,y1)， (x2,y2)， (xm,ym)，用n(m-1)次多项式拟合，即 利用最小二乘法原理，要使p(x)能较好地拟合各测量点，应选择合适的ai使下式最小，即,求Q对ai的偏导数，并令其等于0，可得 由上式可得： 引入符号,上述方程可写为 令,将方程组写为矩阵形式 方程的行列式为 由si定义及行列式的性质可知，当xi互不相同时，det(S)0，则方程组有唯一解a0， a1， an满足 ，且使Q取得最小值,