2016年高考数学总复习第八章立体几何练习理

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1、第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个2(2013年四川)一个几何体的三视图如图X811，则该几何体可以是()图X811A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台3如图X812，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为()图X812A6 cm B8 cm C(24 )cm D(22 )cm4(2015年广东汕头一模)一个锥体的

2、主视图和左视图如下图X813，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()图X813ABCD5如图X814是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正视图、俯视图如图X814；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图X814；存在圆柱，其正视图、俯视图如图X814.其中真命题的个数是()图X814A3个 B2个 C1个 D0个6已知某一几何体的正视图与侧视图如图X815，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为()图X815A BC D7(2013年新课标)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面

3、体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到的正视图可以为() A B C D8如图X816，直三棱柱的正视图面积为2a2，则侧视图的面积为_图X8169如图X817所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在图X818中画出X817(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积X81810如图X819所示的为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)如图X8110所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；(2)求四棱锥BCEP

4、D的体积；(3)求证：BE平面PDA.X819X8110第2讲空间几何体的表面积和体积1(2014年福建)以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D12(2013年上海)若两个球的表面积之比为14，则这两个球的体积之比为()A12 B14 C18 D1163(2013年广东)某四棱台的三视图如图X821，则该四棱台的体积是()图X821A4 B. C. D64(2014年新课标)如图X822，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到

5、，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D. 图X822 图X8235圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图X823)，则球的半径是_cm.6(2014年江苏)设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面面积相等，且，则_.7若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_8(2013年江苏)如图X824，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V

6、1V2_.图X8249如图X825，设计一个正四棱锥形的冷水塔，高是1 m，底面的边长是2 m.(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积；(2)制造这个水塔的侧面需要的钢板的面积是多少？图X82510如图X826，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比图X826第3讲点、直线、平面之间的位置关系1(2013年安徽)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，

7、那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC4(2014年广东)若空间

8、中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1，l4既不平行也不垂直Dl1，l4的位置关系不确定5如图X831所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60；CN与AF垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()A B C D 图X831 图X8326(2013年上海)在如图X832所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为_7(2014年广东惠州一模)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那

9、么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_8(2013年安徽)如图X833，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60.已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积图X8339如图X835所示的是一个正方体(如图X834)的表面展开图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比图X834图X835第4讲直线、平面平行的判定与性质1已知直线l，m，n及平面，下列命题中是假命题的是()A若lm，mn，则ln B若l，n

10、，则lnC若lm，mn，则ln D若l，n，则ln2已知m，n是两条直线，是两个平面，给出下列命题：若n，n，则；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；若n，m为异面直线，n，n，m，m，则.其中正确命题的个数是()A3个 B2个 C1个 D0个3如图X841，已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()AD1B1l BBD平面AD1B1Cl平面A1D1B1 DlB1C1 图X841 图X8424设m，n为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的是()A若m，n，且m，n，则B若m，mn，则nC若m，n，则mnD

11、若m，n为两条异面直线，且m，n，m，n，则5如图X842，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为_7如图X843(1)，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当容器倾斜如图X843(2)时，BEBF是定值其中正确说法的序号是_图X8

12、438(2014年广东惠州一模)如图X844，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)若BC3，求三棱锥DBC1C的体积图X8449(2014年安徽)如图X845，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积图X845第5讲直线、平面垂直的判定与性质1(2013年广东)设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若l，

13、l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l2如图X851，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()图X851ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成角为603(2015年广东深圳一模)已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图X852，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D. 图X852 图X8535已知a，b，c是三条不同的直线，命题“ab，且acb

14、c”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有()A1个 B2个 C3个 D4个6如图X853，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A. B. C. D.7已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_8(2014年辽宁)如图X854，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积图X8549(2014年北京)如图X855，在三

15、棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，点E，F分别为A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积图X855第6讲空间坐标系与空间向量1已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 BC. D22若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则()A2 B2C2或 D2或3(由人教版选修21P105例1改编)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的

16、长为()A. B2 C. D.4已知在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，设a，b，c，则()A.abc BabcC. abc D. abc5下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.32B. C.0D.06已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则()A. B C. D7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|MN|()A.a B.aC.a D.a8已知三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，则(1)与的夹角等于_；(2)在方向上的投影等于_9三棱锥OAB

17、C中，OBOC，AOBAOC60，则，的大小为_10(2014年新课标)如图X861，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值图X861第7讲空间中角与距离的计算1已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D1502如图X871，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于()A. B. C. D.图X8713如图X872，若正

18、四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角为60，则A1C1到底面ABCD的距离为()图X872A. B1 C. D.4在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D905如图X873，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A. B. C. D.图X8736已知在矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，则B与D之间的距离为_7已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(

19、0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_8(2013年新课标)如图X874，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.图X874(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值9(2013年江苏)如图X875，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值图X875第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1B2.D3.B4.C5A解析： 可以是放

20、倒的三棱柱，所以正确；容易判断正确；可以是放倒的圆柱，所以也正确图D856D7A解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图(如图D85)，以xOz平面为投影面，则易得到正视图故选A.8.a2解析：由正视图面积可求出直三棱柱的高为2a，底面的正三角形的高为a，故左视图的面积为2aaa2.9解：(1)如图D86.(2)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥4462.图D8610(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D87.图D87(2)解：PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD.BCCD，BC平面PDCE.S梯形PDCE(PDEC)DC323，四棱锥BCEPD的体积为

21、VBCEPDS梯形PDCEBC322.(3)证明：ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA，EC平面PDA.同理，BC平面PDA.EC平面EBC，BC平面EBC，且ECBCC，平面EBC平面PDA.又BE平面EBC，BE平面PDA.第2讲空间几何体的表面积和体积1A解析：由已知，得圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积等于S2112.2C解析：因为球的表面积S4R2，两个球的表面积之比为14，则两个球的半径之比为12.又因为球的体积VR3，则这两个球的体积之比为18.3B解析：由三视图可知，该四棱台的上、下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故V(1222)2.故选B.4C解析：由三视图还原几何

22、体为小圆柱和大圆柱组成的简单组合体其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22432234，而圆柱体毛坯体积为32654，故切削部分的体积为20，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为.54解析：设球的半径为r，则由3V球V水V柱，可得3r3r28r26r.解得r4.6.解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2，h1，h2，则2r1h12r2h2，.又，所以.则.7.解析：因为半圆面的面积为l22，所以l24，即l2，即圆锥的母线l2.底面圆的周长2rl2，所以圆锥的底面半径r1，所以圆锥的高h.所以圆锥的体积为r2h1.8124解析：V1SAD

23、Eh1SABCh2V2，所以V1V2124.9解：(1)VS底h221(m3)答：这个正四棱锥形冷水塔的容积是 m3.(2)如图D88，取底面边长的中点E，连接SE.图D88SE(m)，S侧424 (m2)答：制造这个水塔的侧面需要4 m2的钢板10(1)证明：由题意知，BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，DC1BC.ACAD，A1C1A1D，A1DC1ADC45.CDC190，即DC1DC.又DCBCC，DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)解：设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意，得V11.又三棱柱

24、ABCA1B1C1的体积V1121，(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得的两部分体积的比为11.第3讲点、直线、平面之间的位置关系1A2.C3.C4D解析：如图D89，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1.若AB为l4，则l1l4；若BC为l4，则l1l4；若A1B1为l4，则l1与l4异面因此l1，l4的位置关系不确定故选D. 图D89 图D905D6.解析：A1DB1C，直线A1B与A1D所成的角即为异面直线A1B与B1C所成的角又A1DB为正三角形，DA1B.故答案为.7.解析：如图D90，连接AE，DF，D1F，则DFAE，所以DF与D

25、1F所成的角即为异面直线AE，D1F所成的角，设正方体的边长为2，则DFD1F，在DD1F中，cosD1FD.8解：(1)证明：如图D91，连接AC交BD于点O，连接PO.PBPD，POBD.又底面ABCD是菱形，BDAC.而ACPOO，BD平面PAC.BDPC，即PCBD.(2)在ABD中，ABAD2，BAD60，则BD2，AC2AO2 .又POBD，则PO.AO2PO26AP2，POAC.又PEPA，则SPECSPAC.BD平面PAC，BO平面PEC.VPBECVBPECSPECBO1. 图D91 图D929解：(1)如图D92，连接NC，NQ，MC，MN与PQ是异面直线在正方体中，PQN

26、C，则MNC为MN与PQ所成的角因为MNNCMC，所以MNC60.所以MN与PQ所成角的大小为60.(2)设正方体棱长为a，则正方体的体积Va3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP平面PQM，所以VNPQMMPMQNPa3.所以三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比为16.第4讲直线、平面平行的判定与性质1D2.B3.D4D解析：选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面5.解析：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C与平面ABCD的交线为AC，所以EFAC.又点E为AD的中点，所以EF为DA

27、C的中位线，所以EFAC.因为AB2，ABCD为正方形，所以AC2 ，所以EF.图D936. cm2解析：如图D93，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点，易求SACE cm2.7解析：对于，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，故正确；对于，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确；是正确的；是正确的，由水的体积的不变性可证得综上所述，正确命题的序号

28、是.8(1)证明：如图D94，连接B1C，交BC1于点O，连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为ACB1的中位线ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)解：三棱柱ABCA1B1C1，侧棱CC1AA1.又AA1底面ABC，侧棱CC1平面ABC.故CC1为三棱锥C1BCD的高，A1ACC12.SBCDSABC.VVCC1SBCD21. 图D94 图D959(1)证明：BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，GHBC.同理，EFBC.GHEF.(2)解：如图D95，连接AC，BD交于点O，BD交E

29、F于点K，连接OP，GK.PAPC，O是AC的中点，POAC.同理，得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，PO平面ABCD.又平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，PO平面GEFH.平面PBD平面GEFHGK，POGK.GK平面ABCD.又EF平面ABCD，GKEF.GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14.从而KBDBOB，即K是OB的中点又由POGK，得GKPO.G是PB的中点，且GHBC4.由已知，得OB4 ，PO6.GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.第5讲直线、平面垂直的判定与性质1B2.D3B解析：根据题意，分两步来判断：当

30、时，a，且，a，又b，ab，则ab是的必要条件；若ab，不一定有，当a时，又由a，则ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，则ab是的必要不充分条件图D964B解析：如图D96，连接B1C，则B1CA1D，A1D与BC1所成的角为，B1CBC1，长方体ABCDA1B1C1D1为正方体取B1D1的中点M，连接C1M，BM，C1M平面BB1D1D，C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角ABBC2，C1M，BC12 ，sinC1BM.故选B.5C解析：若a，b，c换成平面，则“，且”是真命题；若a，b换成平面，则“，且cc”是真命题；若b，c换成平面，则“a，且a”是真命题；若a，c换成平面，

31、则“b，且b”是假命题6B解析：方法一：取BC中点E，连接AE，A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC.ABAC，AEBC.BC平面AEA1.BCAF.又AFA1E，AF平面A1BC.AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离AA11，AE，AF.方法二：VSABCAA11.又A1BA1C，在A1BE中，A1E2，S222.VShh.h.h.点A到平面A1BC的距离为.图D977.解析：因为在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图D97)，此正方体内接于球，正方体的对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点

32、球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在平面ABC上的高已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥PABC在平面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为.8(1)证明：由ABDB，BCBC，ABCDBC，得ABCDBC(SAS)ACDC.又G为AD的中点，CGAD.ABBD，G为AD的中点，BGAD.又BGCGG，AD平面BCG.又EFAD，故EF平面BCG.图D98(2)解：如图D98，在平面ABC内，过点A作AOBC，交CB的延长线于点O.平面ABC平面BCD，AO平面BDC.又G为AD的中点，G到平面BCD的距离hAO.在AOB中，AOABsin60.h.VD

33、BCGVGBCDh.9(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，BB1AB.又ABBC，且BB1BCB，AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：如图D99，取AB中点为G，连接EG，FG.图D99E，F分别是A1C1，BC的中点，FGAC，且FGAC.ACA1C1，且ACA1C1，FGEC1，且FGEC1.四边形FGEC1为平行四边形C1FEG.又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE.(3)解：AA1AC2，BC1，ABBC，AB.VEABCSABCAA112.第6讲空间坐标系与空间向量1D2C解析：cosa，b.解得2或

34、.3D解析：，|2()2|2|2|22221112(cos60cos60cos60)6，|.4D5D解析：M，A，B，C四点共面xyz(x，y，zR)，且xyz1.0，存在x1，y1，使xy，共面M为公共点，M，A，B，C四点共面6B7A解析：.|a.8(1)(2)解析：(1,1,0)，(1,0，1)，(1)cos，.(2)在方向上的投影.990解析：()|cosAOC|cosAOB|cos60|cos600.，90.图D10010(1)证明：如图D100，连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面

35、ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)解：因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC(SSS)故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又OB1，则OB1，OA.故A，B(1,0,0)，B1，C.，1.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以结合图形知，二面角AA1B1C1的余弦值为.

36、第7讲空间中角与距离的计算1A解析：设l与所成的角为，则sin|cosm，n|.30.2D3.D4.C5B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即DD1O，其正切值是 .6.解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM，BM，CN，DN，MN1.，|2|()|2|2|2|22()21222(000)，|.7.解析：(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由n0，n0知，令x2，则y1，z.平面ABC的一个法向量为n.又平面xOy的一个法向量为(0,0,3)所求二面角的余弦值cos.故平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦

37、值为.8(1)证明：如图D101，取AB中点为E，连接CE，A1B，A1E.图D101ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形A1EAB.CACB，CEAB.CEA1EE，AB平面CEA1.ABA1C.(2)解：由(1)知，ECAB，EA1AB.又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面AA1B1BAB，EC面AA1B1B.ECEA1.EA，EC，EA1两两相互垂直以E为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度，建立如图D102所示的空间直角坐标系Exyz，图D102由题设知，A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，则(1,0，)，(1，0

38、)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)cosn，.直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.9解：(1)如图D103，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，图D102则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)(2,0，4)，(1，1，4)cos，.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量设平面ADC1的法向量为m(x，y，z)，(1,1,0)，(0,2,4)，且m，m，取z1，得y2，x2.平面ADC1的法向量为m(2，2,1)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为，|cos|cos，m|，则sin.平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.