2019-2020学年高中数学第二章解析几何初步2.3.2圆与圆的位置关系练习含解析北师大版必修2

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1、第二课时圆与圆的位置关系填一填圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d|C1C2|.则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0个dr1r2两圆内含d|r1r2|两圆相交2个|r1r2|dr1r2两圆内切1个d|r1r2|两圆外切dr1r2判一判1.若两圆只有一个公共点，则两圆外切()2若两圆无公共点则两圆相离()3两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含()4两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交()5两圆内切

2、或外切时，切点和两个圆的圆心共线()6若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立()7圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|OM|.()8若圆x2y24与圆x2y22axa210内切，则a1.()想一想1.两圆位置关系的判断方法及步骤是什么？提示：2求公切线的步骤是什么？提示：(1)判断公切线的条数(2)设出公切线的方程(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线(5)归纳总结3两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法是什么？提示：若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的

3、方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.4公共弦长的求法有哪些？提示：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解思考感悟：练一练1.若两圆的半径R，r分别是5和3，圆心距为d3，则两圆的位置关系是_答案：相交2若圆x2y24与圆M外切，圆心距为5，则圆M的半径r_.答案：33圆x2(y1)21与圆(x1)2y22的位置关系是_答案：相交4已知点A，B分别在两圆x2(y1)21与(x2)2(y5)29上，则A，B两点之间的最短距离为()A2 B22C24 D

4、2答案：C5若圆x2y29与圆(x4)2(y3)2r有3条公切线，则实数r的值为()A8 B65C2 D4答案：D知识点一圆与圆位置关系的判断1.两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A相离B相交C内切 D外切解析：把x2y28x6y90化为(x4)2(y3)216，又x2y29，所以两圆心的坐标分别为(4，3)和(0,0)，两半径分别为R4和r3，则两圆心之间的距离d5，因为43543即|Rr|dRr，所以两圆的位置关系是相交答案：B2试分别确定圆C1：x2y24x6y120与C2：x2y22x14yk0(k50)外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围解析：将两圆的一般方

5、程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2(k50)从而圆心距d5.当两圆内切时，d|r1r2|，即|1|5，解得k14.当两圆外切时，dr1r2，即15，解得k34；当两圆相交时，|r1r2|dr1r2，即|1|51，解得14k34；当两圆内含时，d|r1r2|，即|1|5，解得k14；当两圆外离时，dr1r2，即15，解得34k50.即k的取值范围为(34,50).知识点二两圆的公共弦问题3.两圆x2y24x4y0和x2y22x120的公共弦方程为()Ax2y60 Bx

6、3y50Cx2y60 Dx3y80解析：两圆方程相减即得答案：C4已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.试判断两圆的位置关系；若两圆相交，求公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长解析：因为圆C1：x2y22x10y240可化为(x1)2(y5)250，圆C2：x2y22x2y80可化为(x1)2(y1)210.则圆C1：圆心(1，5)，半径r15，圆C2：圆心(1，1)，半径r2.又|C1C2|2(5，5)，所以两圆相交所以两圆的公共弦所在的直线方程为(x2y22x2y8)(x2y22x10y24)0，即x2y40.在圆C1中，圆心C1(1，5)到直线x2y40的距离d3，所以公

7、共弦长为222.知识点三两圆位置关系的应用5.已知以C(4,3)为圆心的圆与圆x2y21外切，则圆C的方程为_解析：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x4)2(y3)2r2.由题意得两圆圆心距d5，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5r1，解得r4.故圆C的方程为(x4)2(y3)216.答案：(x4)2(y3)2166求过两圆x2y240和x24xy20的交点，且圆心在直线xy60上的圆的方程解析：方法一：由得或因为点(1，)和(1，)都在直线x1上，故过这两个点的圆的圆心在x轴上又圆心在直线xy60上，圆心为(6,0)，半径r.圆的方程为(x6)2y228.方法二：设所求圆的方

8、程为x2y24(x2y24x)0(1)整理得x2y2x0.圆心在直线xy60上，60.解得.所求圆的方程为x2y212x80.综合知识圆与圆的位置关系7.已知圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r122(1)，圆O2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程

9、，为4x4yr80.圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r4或20.圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.8已知圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240相交于两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；(3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程解析：(1)圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240的公共弦所在直线方程为x2y22x2y8(x2y22x10y24)0，即x2y40.(2)由解得或所以A，B两点的坐标分别为(4,0)，(0,2)，中点坐标为(2,1)，则|AB|

10、2，故所求圆的圆心为(2,1)，半径为，所以圆的方程为(x2)2(y1)25，即x2y24x2y0.(3)经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与(2)的圆是相同的则所求圆的方程为x2y24x2y0.基础达标一、选择题1两圆(x3)2(y2)21和(x3)2(y6)2144的位置关系是()A相切B内含C相交 D外离解析：因为两圆的圆心距d100)试求a为何值时两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含解析：对圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圆心C1(a,1)，r14，C2(2a,1)，r21，|C1

11、C2|a，(1)当|C1C2|r1r25即a5时，两圆外切，当|C1C2|r1r23即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5即3a5即a5时，两圆外离(4)当|C1C2|3即0a3时两圆内含14已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：xy100上(1)若动圆C过点(5,0)，求圆C的方程；(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2y2r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由解析：(1)依题意，可设动圆C的方程为(xa)2(yb)225，其中圆心(a，b)满足ab100.又动圆过点(5,0)，(5a)2(0b)225.解方程组可得或故所求圆C的方程为(x10)2

12、y225或(x5)2(y5)225.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d5.当r满足r5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2y2r2相外切；当r满足r5d时，即r55时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2y2r2相外切综上可知，存在r55满足条件.能力提升15.已知圆C1：x2y22x2y20，圆C2：x2y22ax2bya210，当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程解析：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线的方程为2(1a)x2(1b)ya210.由于圆C2始终平分圆C1的周长，因此点C1一定在相交弦所在直线上，又圆C1的圆心为C1

13、(1，1)，所以2(1a)(1)2(1b)(1)a210.即b，由圆C2的方程得r.所以Sr2(1b2)，所以当a1时，S取最小值5，此时b2.所以圆C2的方程是x2y22x4y0.16圆(x1)2y28内有一点P(1,2)，直线AB过点P.(1)若弦长|AB|2，求直线AB的倾斜角；(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程解析：设AB：y2k(x1)，即kxyk20.(1)由|AB|2，r2，知圆心(1,0)到直线AB的距离为1，即1，解得k.故60或120.(2)由于r2，圆上有三个点到直线AB的距离为，则圆心到直线AB的距离为，即，解得k1.故直线AB的方程为xy10或xy30.