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1、第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1解的叠加性定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是式(2)的解,其中是任意常数.证明 因为与是方程(2)的解,所以有 将代入方程(2)的左边,得 =所以是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它
2、不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间内有, 则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须.对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则,线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关, 所以 ( 是任意常数)是方程的通解. 由于指数函数(r为常数)和它的
3、各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,使满足方程(2).将求导,得把代入方程(2),得 因为, 所以只有 (3) 只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数. 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当时，是两个不相等的实根. ,是方程(2)的两个特解,并且常数,即与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 (2) 当时, 是两个相等的实根.,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另
4、一个解,且常数,设, 即.将代入方程(2), 得 整理,得 由于, 所以 因为是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一个解.那么,方程(2)的通解为 即 .(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根 ()于是 利用欧拉公式 把改写为 之间成共轭关系,取=,方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且常数,所以方程(2)的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程 (2)求特征方程的两个根(3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.特征方程的两个根 方程 的通解两个不相等的
5、实根 两个相等的实根 一对共轭复根 例1求方程的通解.解: 所给方程的特征方程为 所求通解为 .例2 求方程满足初始条件的特解.解 所给方程的特征方程为 通解为 将初始条件代入,得 ,于是,对其求导得 将初始条件代入上式,得所求特解为 例3求方程的通解.解 所给方程的特征方程为 其根为 所以原方程的通解为 二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则是方程式(1)的通解.证明 把代入方程(1)的左端: = =使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如 (4)
6、 而与分别是方程 与 的特解,那么就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.型的解法,其中为常数,是关于的一个次多项式. 方程(1)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为,其中是某个多项式函数. 把 代入方程(1)并消去,得 (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法: (1) 若不是方程式(2)的特征方程的根, 即,要使式(5)的两端恒等,可令为另一个次多项式:代入(5)式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为(2) 若是特征方程的单根,
7、 即,要使式(5)成立, 则必须要是次多项式函数,于是令用同样的方法来确定的系数. (3) 若是特征方程的重根,即 .要使(5)式成立,则必须是一个次多项式，可令 用同样的方法来确定的系数. 综上所述,若方程式(1)中的,则式(1)的特解为 其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一个特解.解 是型, 且对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为.=-2是特征方程的单根, 令,代入原方程解得故所求特解为 .例5 求方程的通解.解 先求对应齐次方程的通解.特征方程为 , 齐次方程的通解为 . 再求所给方程的特解 由于是特征方程的二重根
8、,所以把它代入所给方程,并约去得 比较系数,得 于是 所给方程的通解为 3.型的解法其中、均为常数. 此时,方程式(1)成为 (7) 这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为 其中为待定常数.为一个整数.当不是特征方程的根, 取0;当不是特征方程的根, 取1;例6 求方程的一个特解.解 ，不是特征方程为的根，.因此原方程的特解形式为 于是 将代入原方程，得 解得 原方程的特解为: 例7 求方程的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为 再求非齐次方程的一个特解.由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为的特解、,则 是原方程的一个特解.由于,均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得 解之得 .于是所给方程的一个特解为 所以所求方程的通解为.
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