高等数学-12-4一阶线性微分方程

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1、章节题目第四节 一阶线性微分方程内容提要一阶线性微分方程的标准形式及其解法伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法重点分析一阶线性微分方程的解法及解的结构难点分析常数变易法用变量代换法求解微分方程习题布置 1（单）、3、6、7（单）、9（单）备注教 学 内 容一、线性方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为2. 线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: 常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换

2、.作变换积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解例1解 例2 如图所示，平行与轴的动直线被曲线与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线.解 两边求导得解此微分方程 所求曲线为 二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.代入上式求出通解后，将代入即得例 3 解 例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为另解 三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程思考题求微分方程 的通解.思考题解答 6