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1、函数专题：单调性与最值一、增（减）函数1.概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；增（减）函数是相对于相应区间而言的，不能离开相应的区间讨论增减性。二、判断函数单调性的常用方法1、（图像法）根据函数图象说明函数的单调性（直观）例1、 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？2利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上
2、的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x10)【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论3、直接法对基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.（1） 一次函数y=kx+b,当k0时，增区间是（-，+）；当kf(1-3a)，求实数a的取值范围。6、已知f（x）=x2-2(1-a)x+2在（-，4上是减函数，求实数a的取值范围.复合函数的单调性1、定义：设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时
3、，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为 y=f(u)=fg(x)称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数) 2、复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性增增减减增减增减增减减增 例、已知，求的单调性。例、已知，求函数的单调性。针对性训练1、已知，求函数的单调性。2、已知，如果，那么（ ）A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数3、已知函数f(x)=8
4、+2x-x2,g(x)=f(2-x2),试求g(x)的单调区间.三、函数的最大（小）值1函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最大值2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有例、求函数 例、求函数在区间2，6 上的最大值和最小值例、设函数f(x)(xa)2对于任意实数tR都有f(1t)f(1
5、t)(1)求a的值；(2)如果x0，5，那么x为何值时函数yf(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值【针对性练习】一、选择题1函数y4xx2，x0，3的最大值、最小值分别为( )(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，32函数的最小值为( )(A)(B)1(C)2(D)4二、填空题1函数y2x24x1 x(2，3)的值域为_2函数的值域为_3、函数的值域是 。三、解答题1求函数的值域2 已知函数f(x)在R上是减函数，对于任意的x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),f(1)=-2/3,求f(x)在-3,3上的最值。 3、求函数y=的值域.四、奇偶性1.概念一般地，如果对于
6、函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。从图像的角度，图像关于y轴对称的函数是偶函数，关于原点对称的函数是奇函数。例.下面三个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定通过原点；偶函数的图像关于y轴对称.其中正确的个数有几个？2.判断函数奇偶性的一般步骤：求定义域，判断其定义域是否关于原点对称（不对称非奇非偶）化简函数f(x)的解析式，并求f(-x)根据f(-x)与非f（x）的关系，判断函数f(x)的奇偶性例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=（2）f(x)= 3.奇（偶
7、）函数的性质f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|)若奇函数在原点处有定义，则f(0)=0偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a,b和-b,-a具有相同的单调性；反之，偶函数具有相反的单调性。例、设f(x)是奇函数，在（0，+）上是减函数，试证明f(x)在（-，0）上是减函数.例、判断下列函数的奇偶性：（1）y=ax+b/x,(a,b0)（2）y=ax/(x2+1),a0【针对性练习】1. 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,求f(2).2、设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A、f(x)+|g(x)|是偶函数 B、f(x)-|g(x)|是奇函数C、|f(x)|+g(x)是偶函数 D、|f(x)|-g(x)是奇函数 3、判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|,aR的奇偶性.4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=f(x),当x0,1时，f(x)=x+1,求f(3/2).5.函数f(x)=1/x-x的图像关于（ ）A、y轴对称 B、直线y=-x对称C、坐标原点对称 D、直线y=x对称
高中数学必修1函数单调性-最值-以及奇偶性
