高考第一轮复习数学：4.5--三角函数的图象与性质(一)(2)

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1、4.5 三角函数的图象与性质（一）知识梳理1.五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及相应的y值，再描点作图.2.运用图象的变换作图象时，倡导先平移后伸缩，但先伸缩后平移也常常浮现.无论哪种变形，请牢记每一种变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.3.给出图象拟定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降状况找准第一种零点的位置.点击双基1.（全国）函数y=xcosx的部分图象是解析：y=xcosx为奇函数，且当x0+时，图象在x轴下方.答案：D2.（全国

2、）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x的取值范畴是A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）解析：运用三角函数线.答案：C3.（春季北京，4）如果函数f（x）=sin（x+）（02）的最小正周期是T，且当x=2时获得最大值，那么A.T=2，=B.T=1，=C.T=2，=D.T=1，=解析：T=2，又当x=2时，sin（2+）=sin（2+）=sin，要使上式获得最大值，可取=.答案：A4.设函数f（x）=A+Bsinx，若B0时，f（x）的最大值是，最小值是，则A=_，B=_.解析：根据题意，由可得结论.答案： 15.（全国，5）已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），

3、则可以是A.B.C.D.解析：将（，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D代入检查即可.答案：A典例剖析【例1】 把函数y=cos（x+）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是A.B.C.D.剖析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再运用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为y=cos（x+），则cos（x+）=cos（x+），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+）.sinxsin（+）=0，xR.+=k.=k0.k.k=2.=.答案：B【例2】 试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.

4、解：y=sin（2x+）深化拓展尚有其她变换吗?不妨试一试.答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为本来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为本来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象.【例3】 （重庆，17）求函数y=sin4x+2sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.解：y=sin4x+2sinxcosxcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）+sin2x=sin2xcos2x

5、=2sin（2x）.故该函数的最小正周期是；最小值是2；单调递增区间是0，.评述：把三角函数式化简为y=Asin（x+）+k（0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用措施.闯关训练夯实基本1.（辽宁，7）已知函数f（x）=sin（x）1，则下列命题对的的是A.f（x）是周期为1的奇函数B.f（x）是周期为2的偶函数C.f（x）是周期为1的非奇非偶函数D.f（x）是周期为2的非奇非偶函数解析：T=2，且f（x）=sin（x）1=cos2x1，f（x）为偶函数.答案：B2.（全国，9）为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C

6、.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度.答案：B3.方程2sin2x=x3的解的个数为_.解析：画图象.答案：34.函数y=Asin（x+）与y=Acos（x+）在（x0，x0+）上交点的个数为_.解析：画图象.答案：15.（上海，14）已知y=f（x）是周期为2的函数，当x0，2）时，f（x）=sin，则f（x）=的解集为A.x|x=2k+，kZB.x|x=2k+，kZC.x|x=2k，kZD.x|x=2k+（1）k ，kZ解析：f（x）=sin=，x0，

7、2），0，）.=或.x=或.f（x）是周期为2的周期函数，f（x）=的解集为x|x=2k，kZ.答案：C6.画出函数y=|sinx|，y=sin|x|的图象.解：y=sin|x|=培养能力7.作出函数y=sinx+cosx，x0，的图象，并写出函数的值域.解：原式=如下图：函数的值域为1，.8.（福建，17）设函数f（x）=ab，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1且x，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.分析：本题重要考察平面向量的概念和计算、三角函数的恒

8、等变换及其图象变换的基本技能，考察运算能力.解：（1）依题设，f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）.由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.x，2x+.2x+=，即x=.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n的图象，即函数y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.|m|，m=，n=1.探究创新9.（北京西城区一模题）f（x）是定义在2，2上的偶函数，当x0，时，y=f（x）=cosx，当x（，2时，f（x）的图象是斜率为，在y轴上截距为2的直线在相应区间上的部分.（1）求f（2），f（

9、）；（2）求f（x），并作出图象，写出其单调区间.解：（1）当x（，2时，y=f（x）=x2，又f（x）是偶函数，f（2）=f（2）=2.又x0，时，y=f（x）=cosx，f（）=f（）=.（2）y=f（x）=单调区间为2，），0，），0，2.思悟小结1.数形结合是数学中重要的思想措施，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，诸多函数的性质都是通过观测图象而得到的.2.作函数的图象时，一方面要拟定函数的定义域.3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一种周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范畴不能发生变化.教师下载中心教学点睛解析式的求解中应引导学生用好图象，紧扣五点中的第一种零点，要注意图象的升降状况，注意数形结合的思想.拓展题例【例题】 已知函数f（x）=Asinx+Bcosx（A、B、是实常数，0）的最小正周期为2，并当x=时，f（x）max=2.（1）求f（x）.（2）在闭区间，上与否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请阐明理由.解：（1）f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）.（2）令x+=k+，kZ.x=k+，k+.k.k=5.故在，上只有f（x）的一条对称轴x=.