杭州睿达奥赛夏令营第二讲电磁感应(讲义)[1]

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1、杭州睿达奥赛夏令营第二讲电磁感应(讲义)1 导读：就爱阅读网友为您分享以下“杭州睿达奥赛夏令营第二讲电磁感应(讲义)1”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!第二讲电磁感应预备知识 Faraday电磁感应定律动生电动势 感生电动势和涡旋电场 电磁感应的应用自感与互感互感 自感 线圈的串并联磁场的能量UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina2.0 预备知识:基尔霍夫定律基尔霍夫第一定律对任一节点： I = 0 I2 I3 广义节点： 任一闭合曲面所包围的区域都可 看做广义节点（如

2、右图虚线内部分）。 有： I1+I2+I3=0I1基尔霍夫第二定律 对任一回路： = U 1）方向为电源负极指向正极 2）U方向为电势降低方向 3）回路中任一段电路均可以两端电 势差代入abUniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina回路电流法将每个独立回路中的电流作为求解对 象，每个回路的电流相同，各支路的 电流为回路电流的叠加。 这种方法自然满足节点电流方程，因 此只用基尔霍夫第二定律即可求解。 例： = I1 R + (I1 I 2 )R = 2 I 2 R + (I 2 I1

3、 )R2 I1 = 5 R I = 2 5R 2.1 Faraday电磁感应定律电磁感应定律 讨论感应电动势是本质，是产生感应电流的原因。即使 无感应电流，也会有感应电动势。 感应电动势由磁通量的变化产生，而与磁通量本身 的大小无关。 的方向，即负号的物理意义： 感应电动势引起的电流产生的磁通量总是阻碍引起 感应电动势的原因楞次定理。 由楞次定理确定的方向。 Universityof =r r BS = t t()UniversityofScienceandTechnologyofChinaScienceandTechnologyofChina例半径为R和r，相距为Z的同轴平面线圈a和 b，若

4、Rr，ZR,在b中有电流I，线圈a沿Z 轴以v向上运动，求a中的。 解b线圈在Z轴上产生的磁 感应强度B= = I R2 R2 0 2 3/ 2 2 (R + Z ) 2 Z3 选a逆时针方向为正，则20 I 30 IR 2 r 2 Z 30 R 2 r 2 = = Iv 2Z 4 2Z 4 t t0, 表明电流方向与选定方向一致.v v = B S = Br 2s=0 I R 22 Z3r 2UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina一、动生电动势闭合回路设磁场恒定，回路运动产生

5、的电动势：一段导体 = v B l闭合(r )rr若r r r v = 0 或 (v B ) = 0 ，则对电动势无贡献。 = (v B ) labvvv = vBl = BLvabUniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina导体平动时，若B为匀强磁场： = (v B ) labvvvv v b v v v r = (v B ) l = (v B ) Lab电动势与电势差 b 若： v v v ab = (v B ) l 0ar B rb r r Lab v l r v aUnive

6、rsityofaa、b哪点电势高？ ab 0 ，表明正电荷由a向b运动，因此 b端积累正电荷，UbUa。ScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina再论洛仑兹力不做功 电动势与电势差的区别：b r r v v = K 非 l U ab = E l b a a ab非静电力： 即单位电荷所受到的洛仑兹力，所以非静电 力来源于洛仑兹力。导线以速度 v 运动，导 线内电子受洛仑兹力， r 产生一个向下的速度u ， r r 合速度为 v + u 。rr r r K非 = v Br r r r r r r r r r

7、 F = e (v + u ) B = ev B + eu B = f + f r 若要导体保持匀速运动，则必须提供外力 f ：() ()r r r r f = f = eu BUniversityUniversityofScienceandTechnologyofChinaofScienceandTechnologyofChina推论：安培力做功r r r r r r 功率：f : P1 = f u = e v B u r r r r r r r r r f : P2 = f v = e u B v = e v B u r r r r f : P3 = P2 = e u B v( () )(

8、)因此： 1）洛仑兹力做功：P=P1+P2=0 洛仑兹力不提供能量，只转移能量。 r r r P 2）外力做功： 3 = P2 = e u B v 外力通过克服洛仑兹力的一个分量f所做的功通 过洛仑兹力的另一个分量f 转化为电能。 3）动生电动势可以完全为静电场规律所证明，没有提 供新的规律。 University of Science and Technology of China()安培力是洛仑兹力一个分量f的 宏观体现，而洛仑兹力的另一个分 量f所做的功转化为静电能。 当有外接电阻时，静电能通过电 阻转化为热能消耗：P=I2R。 由于洛仑兹力两个分量的功率相 同，因此我们可以得到以下结论

9、：安培力所做功等于电阻上的能量消耗UniversityofScienceandTechnologyofChina常见题型一、导体与闭合线圈在均匀磁场中的平动1995年第十二届全国中学生物理竞赛预赛假想有一水平方向的匀强磁场，磁 感应强度B很大。有一半径为R、厚度 为d（dR）的金属圆盘，在此磁场 中竖直下落，盘面始终位于竖直平面 内并与磁场方向平行，如图所示。若 要使圆盘在磁场中下落的加速度比没 有磁场时减小千分之一（不计空气阻力），试估算所需 磁感应强度的数值。假定金属盘电阻为零，并设金属盘 的密度=9103千克/米3，其介电常数为=910-12库 2/牛米2。 University of

10、Science and Technology of China解析： 圆盘受重力加速下落，盘内电荷受磁 场作用产生感应电流，感应电流在磁场 中受力阻碍圆盘下落。 关键：感应电流的计算。 分析：盘内电荷受洛仑兹力作用，在 两个侧面上不断积累正负电荷，其行为 与电容器类似。因此有： R 2 Bvd = R 2 Bv Q = CE =I =+ + + + + d Q v = R 2 B R 2 Bg t t 阻力：F = BID = 0R 2 dB 2 g = 0VB 2 g = 0.001mg解得：B = 0.001m 0.001 = = 10 6 T 0V 0r B UniversityofSc

11、ienceandTechnologyofChina1999年第十六届全国中学生物理竞赛预赛位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd。ab 长为l1，是水平的，cd长为 l2，线框的质量为m，电阻为R。其下 方有一匀强磁场区域，该区域的上、 下边界PP和QQ 均与ab平行，两边界间的距离为H，H l2，磁场的磁感应强度为B，方向与线框平面垂直，如图 所示。令线框的dc边从离磁场区域上边界PP的距离为h 处自由下落，已知在线框的dc边进入磁场后，ab边到达 边界PP之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最 大值。问从线框开始下落到dc边刚刚到达磁场区域下边 界QQ的过程中，磁场作用于线框的安培力

12、做的总功为 多少？ University of Science and Technology of China解析： 线框下落到dc边进入磁场后，在dc边 产生动生电动势：=Bl1v，线框内电流 为：I=Bl1v/R。电流在磁场中受安培力产 生阻力，其大小为：F=Il1B=B2l12v/R。 线框做加速度减小的加速下落运动， 当重力与安培力相等时，到达最大速度 vm。有： B 2l 2 v mgRmg =1mR vm =B 2l12此后线框匀速下落至ab边进入磁场。从线框全部进入 磁场到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ的过程中无感 应电流，安培力不做功。 从以上分析可知，只需要考虑ab边进入磁

13、场之前安 培力的做功情况即可。 UniversityofScienceandTechnologyofChina运用能量守恒： 初态：线框下落前，动能为0 末态： ab边刚进入磁场， 动能 122 mvm注1：解题中要忽略线圈自感。 注2：本题出的不够严密，实际上线框下 落的过程中永远也达不到极限速度。过程中重力做功：Wg = mg (l2 + h )2mg B 2l12 v dv =m R dt g t vm(t = 0, v = v+ vm vm =0= 2 gh)安培力做功WF，由动能定理：Wg + WF =1 2 1 mgR mvm WF = m 2 2 mg (l2 + h ) 2 2

14、 B l1 Universityof v = (v0 vm )emgR B 2l12ScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina2009年第二十六届全国中学生物理竞赛预赛如图所示，M1N1N2M2是位 于光滑水平桌面上的刚性U型 金属导轨，导轨中接有阻值为 R的电阻，它们的质量为m0。 导轨的两条轨道间的距离为l， PQ是质量为m的金属杆，可在 轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触 是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计。初始时，杆PQ于图 中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向 垂直于桌面，

15、磁感应强度的大小为B。现有一位于导轨平 面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开 始在轨道上向右作加速运动。已知经过时间t , PQ离开虚 线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动 的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域）。求 在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。 University of Science and Technology of China解析：运用能量守恒 杆在运动过程中受到三个 力的作用：恒力F、摩擦力 F和安培力F。 由动能定理，在t时刻三个 力所做功应该等于杆动能的增加： 1 W + W + W = mv 2 2 下面做具体分析：

16、 1）t时刻杆的速度可由通过电阻的I0求出： Blv I R I0 = v= 0 R Bl 2）恒力所做功： W = Fx UniversityofScienceandTechnologyofChina3）摩擦力为恒力。由于导轨只受摩擦力作用，因此摩 擦力可以由导轨运动距离x0求出： 1 F 2 2m0 x0 x0 = t F = 2 m0 t2二、导体与闭合线圈在均匀磁场中的转动常用方法：预设回路2007年第二十四届全国中学生物理竞赛预赛2m0 x0 x t2 4）安培力做功大小等于电阻上的能量消耗： W = F x = W = ER综上，可得：ER为题目所求2m0 x0 x 1 I R E

17、R = m 0 2 Bl t22Fx 2m0 x 1 I R ER = F 2 0 x m 0 t 2 Bl Universityof2ScienceandTechnologyofChina如图所示，ACD是由均匀细导线制 成的边长为d的等边三角形线框，它 以AD为转轴，在磁感应强度为B的恒 定的匀强磁场中以恒定的角速度转 动（俯视为逆时针旋转）, 磁场方向与 AD垂直。已知三角形每条边的电阻都 等于R。取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为t= 0。 1 求任意时刻t线框中的电流。 2 规定A点的电势为0，求t=0 时，三角形线框的AC边上 任一点P（到A点的距离用x表示）的电势Up，并画出U

18、p与 x 之间关系的图线。 University of Science and Technology of China解 ： 1. 线框以A-C-D方向为正，则 俯视图如图。3 2 d 4 r r 3 = B S = BS cos + = Bd 2 sin (t ) 4 2 S=2.首先要求AP段电动势AP。 预设回路如图，因为PP与B平 行，所以PP内不产生电动势，回 路APPA的电动势与AP段电动势 相同： 3 2 3 2S = 8 x = 8PBx sin (t )r S AP = = 3 = Bd 2 cos(t ) t 4 3 I= = Bd 2 cos(t ) 3R 12 R =

19、t 3 = Bx 2 cos(t ) t 8r S = tx R dr B将PCDA段作为整体做等效电路： AP = Ix R + U PA d U PA = U P = AP I APAandr B代入得：U P =3 2 B x 2 dx cos(t ) 8 3 x R dI PofUniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceTechnologyChina2010第二十七届全国中学生物理竞赛决赛如图（a）所示，十二根均匀的导线杆联成一边长为l的刚 性正方体，每根导线杆的电阻均为R，该正方体在匀强磁 场中绕通过其中心且与

20、abcd面垂直的转动轴作匀速转动， 角速度为 。已知磁感应强度大小为B，方向与转动轴垂 直。忽略电路的自感。当正方体转动到如图（b）所示的 位置（对角线bd与磁场方向夹角为时），求： 1、通过导线ba、ad、bc和cd的电流强度 2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩解析： 1）两个底面回路不切割磁力线，因此没有感应电动势。 2）相对的两个侧面与B的夹角完全相同，因此相对侧面 回路中的相同，回路电流也相同。 3）底面上四个回路电流之和为0，因此不用引入额外的 回路电流。 4）由电磁感应定律算出相邻侧面回路的 ，然后用回路 电流法算出各侧面回路中的回路电流。 5）利用上一讲中闭合电流在磁场中所受

21、力矩公式得到四 个侧面回路电流所受合力矩，从而得到外力矩。 UniversityofUniversityofScienceandTechnologyofChinaScienceandTechnologyofChinaI1I1 I2 I1r S1解： 设各回路电流如图，由几何关系得 到： 3 r S2 I 2由基尔霍夫第二定律：1 = + 1 = Bl 2 cos t + 4 3 2 2 2 = Bl cos t + = - Bl sin t + 4 4 42 = + 1 = 4 I1 R + I 2 R I 2 R = 4 I1 R 12r S2 I 2I2 I1r S14Bl = sin t

22、 + I1 = 4R 4R 4 2 Bl 2 同样可得： I 2 = = cos t + 4R 4R 4 2 所以： I = I = I = Bl cos t + cd 2 ba1 = 2 = 1 = Bl 2 sin t + 4 t 2 = Bl 2 cos t + t 4 Universityof4R 4 Bl 2 I = I = I = sin t + bc 1 ad 4R 4 UniversityofScienceandTechnologyofChinaScienceandTechnologyofChina如图，侧面闭合回路的磁矩分别为： Bl 4 2 sin t + m1 = I1l

23、 = 4R 4 4 m = I l 2 = Bl cos t + 2 2 4R 4 r m2I1 r r m1m 2 I2 I1 r m1I2二、感生电动势和涡旋电场感生电动势由磁场的变化产生力矩：B l sin 2 + L1 = m1 B sin 1 = 4R 4 2 4 L = m B sin = B l cos 2 + 2 2 2 4R 4 2 4 =2 4 合力矩： L = 2 L + 2 L = B l 1 2v v = B S t S t v B v = S S t2R此即外力矩大小。 UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversit

24、yofScienceandTechnologyofChina涡旋电场 什么是产生感生电动势的原因？Maxwell认为，变化的磁场在其周围空间激 发一种新的电场，称涡旋电场，导体中的载流 子在这种电场的作用下，产生运动，形成电流。 涡旋电场即为产生感生电动势的非静电力， 因此有： r r r B r = E旋 l = S t 闭合回路Universityof涡旋电场与静电场静电场：由电荷产生，电力线不闭合， v E势 l = 0 闭合回路 涡旋电场：由变化的磁场产生，电力线闭合， v E旋 l 0 闭合回路 一般情况下，空间的总电场E是静电场 E势和涡旋电场E旋的叠加，即v v v E = E势

25、 + E 旋ScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina常见题型一、变化磁场中一段导体的电动势要点：预设回路2002年第十九届全国中学生物理竞赛复赛如图，半径为R的圆柱形区域内 有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指 向纸外，磁感应强度B随时间均匀 变化，变化率为一正值常量K，圆 柱形区外空间没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线， 并向外延长，AC弦与半径OA的夹角=/4。直线上有一 任意点P，设该点与A点的距离为x，求从A沿直线到该点 的电动势的大小。 Universityof解析： 由于圆柱形区域内存在变化磁场

26、，在圆柱形区域内外 空间中将产生涡旋电场，电场线为以圆柱轴线为圆心的 同心圆。由于电场线与半径垂直，因此沿半径方向任意 一段路径上的电动势均为零。 预设回路：用直导线将O点与A点，以及O点与P点相 连，构成闭合回路OAPO。则回路电动势即为AP段电动 势。 若P点在圆柱区域内，如右图， 则回路OAPO内磁通量：2 1 BxR = B xR sin = 4 2 AP = 2 2 B xRK = xR = 4 4 t t University of Sciencer B注意：负号是因为回路绕行方向与B成左手系。ScienceandTechnologyofChinaandTechnologyofCh

27、ina若P点在圆柱区域外，如右图， 设回路OAPO所包围磁场区的面积 为S，则磁通量为-BS。 S为三角形AOC的面积加上扇形 COD的面积： 1 2 1 S= R + R 2 = R 2 (1 + ) 2 2 2 下面求。在OCP中，有：P二、变化磁场中的网络电路要点：基尔霍夫定律2000年第十七届全国中学生物理竞赛预赛x 2R 得： = tan R sin = x 2 R sin x 4 x 2R 1 = BR 2 1 + tan 1 x 2 x 2R 1 = KR 2 1 + tan 1 AP = t 2 x University of Science and Technology of

28、 China()如图所示，在正方形导线回路所围 的区域A1A2A3A4内分布有方向垂直于 回路平面向里的匀强磁场，磁感应强 度B随时间以恒定的变化率增大，回 路中的感应电流为I=1.0mA。 已 知 A1A2 、 A3A4 两 边 的 电 阻 皆 为 零 ； A4A1 边 的 电 阻 R1=3.0k，A2A3边的电阻R2=7.0k。 1试求A1A2两点间的电压U12、A2A3两点间的电压U23、 A3A4两点间的电压U34、A4A1两点间的电压U41。UniversityofScienceandTechnologyofChina2若一内阻可视为无限大的电压表V位于正方形导线回 路所在的平面内，

29、其正负端与连线位置分别如图1、图2 和图3所示，求三种情况下电压表的读数U1、U2、U3。解： 1. 设回路中感应电动势为，则感应 电流I= /(R1+R2)=1mA，方向逆时针。 = 10V 由对称性，回路中每边电动势： 1=/4 =2.5V 等效电路：U12 = E 1 = 2.5 VU 23 = IR2 E 1 = 4.5 VU 34 = E 1 = 2.5 V图1 图2UniversityofU 41 = IR1 E 1 = 0.5 VScienceand图3 TechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina2. 由于电压

30、表连线也构成回路，其中也产生感应电动势。 下面分别求三种情况下电压表的读数。 1）等效电路为：2）等效电路为： 按图示方向应用基尔霍夫第 二定律：UV电压表的读数即为电压表两 端的电势差UV。 电压表电阻很大，因此电压 表支路无电流。 按图示方向应用基尔霍夫第 二定律： 1 + 3 1 = U V + IR1 U V = 4 1 IR1 = 7.0V3）等效电路为： 按图示方向应用基尔霍夫第 二定律：UV 1 1 = U V IR1U V = IR1 = 3.0V1 1 = UVU V = 0VofUVUniversityofScienceandTechnologyChinaUniversit

31、yofScienceandTechnologyofChina1998年第十五届全国中学生物理竞赛复赛PQQnPn是由若干正方形导线方格PQQ1P1，P1Q1Q2P2， P2Q2Q3P3， ， Pn-1Qn-1QnPn构成的网络，如图a所示。Qn Pn Qn-1 Pn-1 Q3 P3 Q2 P2 Q1 r Q 2r P1 r 2r P（图a）方格每边长度 l = 10.0 cm 边QQ1，Q1Q2，Q2Q3 与边P P1 ， P1P2 ， P2P3 ， 的 电 阻 都 等 于 r ， 边 PQ ， P1Q1 ， P2Q2 ， 的电阻都等于 2r 。已知 PQ 两点间的总电阻为 Cr ，C是一已知

32、数。在x0的半空间分布有随时间t均匀增 加的匀强磁场，磁场方向垂直于Oxy平面并指向纸里，如 y 图b所示，Qn Qn-1 Pn-1 Q4 P4 Q3 P3 Q2 P2 Q1 Q今令导线网络PQQnPn以恒定的速度v = 5.0 cm/s ，沿x 方向运动并进入磁场区域。在运动过程中方格的边PQ始 终与y轴平行。若取PQ与y轴重合的时刻为t = 0 ，在以后 任一时刻t磁场的磁感应强度为B =B0+bt，式中t的单位为 s，B0为已知恒量，b = 0.10B0。求t = 2.5 s时刻，通过导线 PQ的电流（忽略导线网络的自感）。（图b）vPn P1 PBUniversityofScience

33、 OandTechnologyofChina xUniversityofScienceandTechnologyofChina解析： t = 2.5 s时刻，网格进入磁场的长度为12.5cm，即：第 一个网格已完全进入磁场区，而第二个网格刚进1/4。Qn Pn Qn-1 Pn-1 Q3 P3 Q2 P2 Q1 r Q 2r P1 rr 2r P下面求R及1、2： P、Q两点电阻为：rRRPQ = 2r / 2r + 2r / (2r + R ) 2 r (6 r + 2 R ) = Cr 10r + 3R 12 10C R = r 3C 4 =rr 2r rQ 2r PB此时在前两个网格中产生

34、感应电动势。 设虚线框部分的电阻为R， R 则等效电路为： 由回路电流法：r rr r 2 2r 1 2r 1 = I1 4r + (I1 I 2 ) 2r = 6rI1 2rI 2 (1) 2 = I 2 (2r + R ) + (I 2 I1 ) 2r = 2rI1 + (4r + R )I 2 University of Science and Technology of China对1 ，由于网格1完全在磁场中，所以只有感生电动 势： 1 =bl2 对2 ，同时存在感生电动势与动生电动势： 2 =(bl2/4)+Blv 将R、1、2及数值代入方程组（1）中求得： B 56 41C 10

35、 3 0 I1 = r 8 University of Science and Technology of China三、闭合线圈在变化磁场中的受力与运动2001年第十八届全国中学生物理竞赛复赛如图所示，均匀磁场的方向垂 直纸面向里，磁感应强度随时 间变化，（ 为大于零的常数）。现有两个完 全相同的均匀金属圆环相互交叠 并固定在图中所示位置，环面处 于图中纸面内。圆环的半径为，电阻为，相交点的电 接触良好，两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张 角为60。求时，每个环所受的均匀磁场的作用 力，不考虑感应电流之间的作用。University Science Technology China解：因磁感

36、应强度大小随时间 减少，考虑到电路的对称性， 可设两环各支路的感应电流、 的方向如图所示，对左环电 路ADCFA，有： = k R 2 = I1360 60 60 5 1 r + I2 r k R 2 = rI1 + rI 2 360 360 6 6对两段劣弧构成的回路ADCEA ，有： 60 2 S = 2 360 R = kS = kR 2 3 3 2 3 R = R2 3 2 4 3 60 1 = I2 2 r = rI 2 2 360 3 I2 = I1 = kR 2 3 3 r 2 kR 2 3 3 + r 10 ofandofUniversityofScienceandTechno

37、logyofChina由对称性，两环受力大小相等， 方向相反，因此只需求左环受力 即可。 首先看电流为I1的弧线CFA。I1F A三、电磁感应的应用涡电流当金属块处在变化的磁 场中或相对于磁场运动 时，在它们的内部会产 生感应电流。 铁芯可看作是由一系列 半径逐渐变化的圆柱状 薄壳组成，每层薄壳自 成一个闭合回路，在交 变磁场中，通过这些薄 壳的磁通量都在不断地 变化，所以沿着一层层 的壳壁产生感应电流。UniversityofI1C用一直电流连接AC构造闭合电流。 由于闭合电流在均匀磁场中受力为 0，因此弧CFA受力与直线AC受力 大小相同，方向相反。3 3 kR 3 方向向左 + 10 r

38、 3 3 kR 3 方向向右 FADC (I 2 ) = FAC (I 2 ) = (B0 kt ) 同理： 2 r 即：FCFA (I1 ) = FCA (I1 ) = BI1 LCA = (B0 kt ) 合力：F = FCFA (I1 ) FADC (I 2 ) =3 9 3 (B0 kt ) kR 方向向左 5 rUniversityofScienceandTechnologyofChinaScienceandTechnologyofChina从上端俯视，电流的流线呈闭合的涡旋状，因而这 种感应电流叫做涡电流简称为涡流。由于大块金 属的电阻很小，因此涡流可达非常大的强度。 应用： 高频

39、感应炉、电磁炉危害 铁芯发热。 减少涡电流的方法 高电阻材料，硅钢，在钢中增加硅，而磁导率与 铁差不多。 多层绝缘片叠加而成，减少涡电流的导体截面积。高频电磁感应炉UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina电磁阻尼和电磁驱动涡电流除了热效应外，还有机械效应，大块金属 在磁场中运动会受到很大的阻力。趋肤效应当交变电流通过柱体 时，电流密度分布不再 均匀，越靠近导体表面 处，电流密度越大，称 趋肤效应。 应用：表面淬火，表面 变硬。 缺点：使导线有效截面 积减少，电阻增加。 通常采用细

40、导线编织成 束代替实心导线。逆效应：电磁驱动。UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina2.2 自感与互感一、互感互感现象一个线圈中的电流发生变化，在另一个线圈中产生 感应电动势的现象。互感电动势I1变化而激发线圈2中的感应电动势为： I 12 = M 1 12 = t t I2变化而激发线圈1中的感应电动势为： I 21 = M 2 21 = t t互感系数线圈1中的电流为I1，它产生的磁场通过线圈2的全磁 12= M12 I1 通： 同样： 21= M21 I2 M12 和M2

41、1为互感系数的第一种定义, 简称互感。 互感系数具有对称性： M12 =M21=M University of Science and Technology of ChinaM单位：亨利（H）1H=1Vs/AUniversityofScienceandTechnologyofChina讨论 1.互感系数是由回路自身的几何特性和介质特性 决定的； 2. M可正可负，取决于I的方向； 3.二、自感自感现象一个线圈中的电流变化，会改变通过该线圈的磁通 量，从而在自身产生感应电动势。M 12 = M 21 = M自感系数线圈激发磁场在线圈自身中的磁通量：思考： 1.如何使两线圈的互感最大, 最小？ 2

42、. 如何使两导线互感减小？ = LIL = M 11自感的单位：亨利ChinaL= IUniversityofScienceandTechnologyofUniversityofScienceandTechnologyofChina自感的计算 自感电动势I变化激发线圈中的感应电动势为： = I = L t t理想螺线管的自感系数L = 0 n 2lS = 0N2 V l2Universityof计算变化的电场对回路自身所圈围面积的磁感通 量，有时就会令人迷惑。因为，如果认为电流是线 电流，导线的直径趋向于零，那么在导线附近的磁 感强度将趋向无限大，通过细线回路的磁感通量也 趋向无限大。 但实际

43、上，导线总有一定的粗细，只有当考察点离 导线较远时，把导线看作几何线才是合理的，当考 察点接近导线时，就必须考虑导线具有一定粗细这 一实际情况。 但是，对于有粗细的导线，导线不同部分构成不同 的回路，圈围不同的面积，因而和不同大小的磁感 通量相联系。andScienceTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina在这种情况下，所谓通过某一回路的磁感通量这一词 缺少确定的含义，不同的层的磁感线将交链不同的电 流。 有效匝数 实际的螺线管，不是每匝的都相同。 中心处：B=0nI，=BS= 0nIS 两端： B=0nI/2，= 0n

44、IS/2 总 =i= N eff （ 为中心处磁通）磁感线a圈围整个导线中的电流，与整个电流互相交 链；而磁感线b则仅圈围一部分电流，即只与部分电 流和交链，只通过这部分电流回路所圈围的面积。Universityof 一般来说自感是由仪器测量得到 高频近似 对高频交流电来说，趋肤效应显著，电流大体 分布在导体表面。ScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina讨论 1.自感系数是由回路自身的几何特性和介 质特性决定的； 2. L总大于零； 3. L又称为电磁惯量。常见题型超导线圈 要点：磁通量不变2007年第

45、二十四届全国中学生物理竞赛复赛 y 图中oxy是位于水平光滑桌面上 的直角坐标系，在x0的一侧，存 在匀强磁场，磁场方向垂直于oxy 平面向里，磁感应强度的大小为B。 在x0的一侧，一边长分别为l1和l2 x 的刚性矩形超导线框位于桌面上， 框内无电流，框的一对边与x轴平行。线框的质量为m，自感为L。 现让超导线框沿x轴方向以初速度v0进入磁场区域，试定量地讨论 线框以后可能发生的运动情况及与初速度v0大小的关系。（假定线 框在运动过程中始终保持超导状态）UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnolog

46、yofChinayy解析： 超导线框内磁通量不变， 感应电动势为0。因此在一条 边进入磁场区域后，线框内 的自感电动势应抵消动生电动势。 解：以线框刚进入磁场的时刻为t=0时刻，则在线框未完 全进入磁场时： I x L = Bl2 v = Bl2 t t L(I I 0 ) = Bl2 ( x x0 )t=0时，I0=0，x0=0， LI = Bl2 x I = Bl2 x Lofx线框所受安培力： 2 B 2l 2 x F = BIl2 = = m 2 x L 这是典型的振动方程，方程 的解为： x = xm sin t 其中xm为振幅，为振动的圆频率： =xm2 B 2l 2 Bl2 =

47、mL mLx1）假设l1足够长，线框在未完全进入磁场前速度能够减 到0，则速度为0时线框进入磁场的深度即为xm，此时线 框的动能完全转化为磁能： W=LI2/2， 2 2 2 1 2 1 2 1 Bl2 xm 1 B 2l2 xm 后面会讲。 mv0 = LI = L = 2 2 2 L 2 LUniversityofUniversityScienceandTechnologyofChinaScienceandTechnologyofChina解得：xm =2 mLv0 v0 mL = 2 2 B l2 Bl2运动方程：x=v0 mL Bl2 sin (1) t Bl2 mL 运动过程：t=0

48、T/4，线框进入磁场区，x增大，v减小； 当t=T/4时，线框速度减到0，x=xm；t=T/4T/2，线框反 向运动，x减小，v反向增大；tT/2，线框退出磁场区， 以匀速v0向左运动。 在t=0T/2时间内，运动方程满足（1）式。 满足以上运动的条件是：xml1，即： Bl l v0 1 2 mL周期： 2 2 mL = T= Bl2Bl1l2 mL 则线框在速度减到0前全部进入磁场区。 刚好全部进入磁场区时：2）若 v0 Bl1l2 v0 mL Bl2 mL t1 t1 = sin sin 1 v mL Bl2 Bl2 mL 0 Bl l I1 = 1 2 L 在t=0t1时间内线框运动仍

49、满足（1）式，之后线框电流 维持在最大值I1，受安培力合力为0，以匀速率v1向右运 动，速率v1满足： l1 =2 B 2l12l2 1 2 1 2 1 2 2 mv0 = LI1 + mv1 v1 = v0 LM 2 2 2UniversityofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina三、线圈的串并联自感系数与互感系数理想耦合（无漏磁条件） 两个线圈中每一个线圈所产生的磁通 量对于每一匝来 说都相等，并且全部穿过另一个线圈的每一匝，这种情况 叫无磁漏。 线圈1：匝数N1，电流I1，产生磁通1； 线圈

50、2：匝数N2，电流I2，产生磁通2。 则： N N N N M= 2 1= 1 2 L1 = 1 1 L2 = 2 2 I1 I2 I1 I2 一般情况M = k L1 L2 , k 1 k = 0, 无耦合 k = 1, 理想耦合变压器主副线圈之间，k=0.98 L1 L2 =N 1 N 2 1 2 = M2 I1 I 2 UniversityM = L1 L2ofScienceandTechnologyofChinaUniversityofScienceandTechnologyofChina线圈的串联和并联串联 1）磁场加强1 = 11 + 21 = L1 I1 + MI 2 2 = 2

51、2 + 12 = L2 I 2 + MI1Q I1 = I 2 = 1 + 2 = L1 I + MI + L2 I + MI = LI L = L1 + L2 + 2 M两个线圈串联后的自感并不等于每个自感之和。理想耦合：L =Universityof(L1 + L2University)2ScienceandTechnologyofChinaofScienceandTechnologyofChina并联：2）磁场减弱1）同名端相接： = 1 = 2两线圈中的电流连接使磁场相互减弱，总电感仍 可以用上式，只要认为M0。 或者L = L1 + L2 2 M = ( L1理想耦合：L =(L1 L2)2UniversityofScienceandTechnologyofChinaI 1