复数的几何意义(公开课)

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1、2021/6/301 重点重点 难点难点对复数几何意义的理解以及复数的向对复数几何意义的理解以及复数的向量表示量表示.由于理解复数是一对有序实数不习惯，对由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数几何意义理解有一定困难于复数几何意义理解有一定困难.对于复数向量表示的掌握有一定困难对于复数向量表示的掌握有一定困难.2021/6/302 特别地，特别地，a+bi=0 . 4.已知已知x、y R， (1)若若(2x-1)+i=y-(3-y)i ，则，则x= 、 y= ； (2) 若若(3x-4)+(2y+3)i=0，则，则x= 、y= .想一想想一想练一练练一练433-2524= = b 02021

2、/6/3033.1.2复数的几何意义复数的几何意义2021/6/3041. 对对 虚数单位虚数单位i 的规定的规定 i 2=-1；可以与实数一起进行四则运算可以与实数一起进行四则运算. 2. 复数复数z=a+bi(其中其中a、b R)中中a叫叫z 的的 、 b叫叫z的的 . 实部实部虚部虚部z为实数为实数 、z为纯虚数为纯虚数 .b=0 00ba练习练习:把下列运算的结果都化为把下列运算的结果都化为 a+bi（a、b R）的形式）的形式.2 -i = ；-2i = ；5= ；0= ；3. a=0是是z=a+bi(a、b R)为纯虚数的为纯虚数的 条件条件. 必要但不充分必要但不充分课前复习20

3、21/6/305在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想？想一想？类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示上的点来表示.实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 2021/6/306回忆回忆复数的复数的一般形一般形式？式？Z=a+bi(a, bR)实部实部!虚部虚部!一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？2021/6/307O思考思考1 ： 复数与点的对应复数与点的对应XY（） +i ；（） +i；（） i；（） i；（） ；（） i；2021/6/308G

4、ACFOEDBH思考思考2：点与复数的对应点与复数的对应(每个小正方格的边长为1)XY2021/6/309记住！记住！ 由此可知，复数集由此可知，复数集C和复平面内所和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的有的点所成的集合是一一对应的.z=a+bi复平面内复平面内的点的点Z(a,b)2021/6/3010复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一

5、对应一一对应z=a+bi2021/6/3011观观 察察实轴上的点都表示实数；虚实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，轴上的点都表示纯虚数，除原点除原点外，因为原点表示实数外，因为原点表示实数0.z=a+bi用点用点Z(a,b)表示表示.复平面内的点复平面内的点Z的坐标是的坐标是(a,b),而而不是不是(a, bi),即复平面内的纵坐标即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是轴上的单位长度是1，而不是，而不是i.2021/6/3012(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴

6、上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数数都是纯虚数.例例1.辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D2021/6/3013 2“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)是纯是纯虚数虚数”的（的（ ）. (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件C 3“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)所对所对应的点在虚轴上

7、应的点在虚轴上”的（的（ ）. (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件A2021/6/3014实数实数0实数实数2纯虚数纯虚数-i复数复数-2+3i2021/6/3015例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m的取值范围的取值范围. . 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问

8、题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m2021/6/3016变式一：变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点在直线在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的值的值. . 解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）

9、，）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2.2021/6/3017复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi小结2021/6/3018xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值 (复数的模复数的模) 的的几何意义几何意义:Z (a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即，即复数复数 z=z=a+ +bi i在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的到原点的距离距离.OZ OZ | z | = | |OZ

10、小结2021/6/3019实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义: :复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa| |a| = | = |OA| | 实数实数a在数轴上所在数轴上所对应的点对应的点A到原点到原点O的的距离距离. .a aa a(0)(0) xOz= =a+ +biy| |z|=|=|OZ| |复数的模复数的模 复数复数 z= =a+ +bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a, ,b) )到到原点的距离原点的距离.的几何意义的几何意义: :Z(a,b)ab222021/6/3020注意注意向量向量 的模的模r叫做复数叫做复数z=a+

11、bi的模，记作的模，记作|z|或或|a+bi|.如果如果b=0，那么，那么z=a+bi是一个实数是一个实数a,它的模等于它的模等于|a|(就是就是a的绝对值的绝对值).由模的定义可由模的定义可知：知： |z|= |a+bi|=r= (r 0, ). OZ22a +b r rR R为了方便起见，我们常把为了方便起见，我们常把复数复数z=a+bi说说成点成点Z或说成向量或说成向量 且规定且规定相等的向量相等的向量表示同一个复数表示同一个复数 OZ2021/6/3021 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i (2)z2=- -3+4i (3)z3=5- -5i(2)(2)

12、满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a- -3ai(a0) 这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 小结2021/6/3022xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR) 满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz以原点为圆心以原点为圆心, ,

13、 半径为半径为5 5的的圆圆. .图形图形: :2021/6/30235xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR) 满足满足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的复数的复数z z对应的点在复对应的点在复平面上将构成怎样的图平面上将构成怎样的图形？形？555533335322yx25922yx图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心, , 半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内2021/6/3024(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 例例5 5 已知复数已知复数z z对应点对应点A,A,说明下列各说明下列各式所表

14、示的几何意义式所表示的几何意义. .点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离2021/6/3025(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离2021/6/3026 已知复数已知复数m=2m=23i3i, ,若复数若复数z z满足等式满足等式| |z zm m|=1,|=1,则则z z所对应的点的集合是什么所对应的点的集合是什么图形图形? ?以点以点(2, (2, 3)3)为圆心为圆心,1,1为半径的圆为半

15、径的圆. .2021/6/30271.复数的实质是复数的实质是一对有序实数对一对有序实数对；2.用平面直角坐标系表示用平面直角坐标系表示复平面复平面，其，其中中x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴；2021/6/30283.实轴上的点都表示实轴上的点都表示实数实数；除了原点外除了原点外，虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示纯虚数纯虚数；z=a+bi用点用点Z(a,b)表示表示.复平面复平面内的点内的点Z的坐标是的坐标是(a,b),而不是而不是(a, bi)；2021/6/30295.复数的两个复数的两个几何意义几何意义z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)z=a+bi平面向量平面向量OZ2021/6/3030复数的模复数的模向量的模向量的模6.复平面内任意一点复平面内任意一点 Z(a,b)可以可以与与以原点为起点，点以原点为起点，点 Z(a,b) 为终为终点的向量点的向量 对应；对应； OZ2021/6/30312021/6/3032小结小结:复数的几何意义是什么？2021/6/3033复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应比一比？比一比？复数还有哪复数还有哪些特征能和些特征能和平面向量类平面向量类比比? 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！