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1、概率论与数理统计综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。2、的概率密度为 ()，则 。3、已知随机变量且与相互独立，设随机变量，则 ； 。4、已知随机变量的分布列为 -1 0 2 0.4 0.2 则： = ；= 。5、设与独立同分布，且，则(= 。 6、设对于事件、有，则、都不发生的概率为 。 7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 8、相互独立，且概率分布分别为 () ；
2、则：= ； = 。 9、已知工厂生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是工厂的概率为 。 10、设的概率分布分别为 ； 则：= ；= 。二、选择题1、设和相互独立，且分别服从和，则 。 2、已知，则 。 1 0.7 0.8 0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为 。 4、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 。 () 0.6 () 5/11 () 0.75 () 6/11 5、设事件、满足，则下列
3、结论正确的是 。 () () () () 6、设，则(= 。 () 40 () 34 () 25.6 () 17.6 7、设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏估计量为 。 8、设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。 () () () () 9、设是随机变量，常数），对任意常数，则必有 。 () () () ()三、解答题1、设的分布函数为，求：（1）的概率分布；（2）、。2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品
4、，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3、设随机向量的概率密度为 求：（1）常数； （2）关于的边缘概率密度，并判断与是否相互独立。4、已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： （1）数学期望，方差； （2）与的相关系数。5、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。6、已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。 7、设的概率分布为 求：和。 8、一口袋中装有四只球，分别标
5、有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和关于边缘概率分布。9、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。11、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律。 12、设为的一个样本，且的概率分布为 其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立
6、地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和边缘分布； （3）和是否相互独立？为什么？15、设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量（1）、（2）都是的无偏估计，并指出哪一个更好。（1）； （2）。 16、设随机变量（，）具有概率密度 ，求（1）常数C ； （2）关于和关于的边缘分布密度。 17、设，其中是来自总体的简单随机样
7、本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。概率论与数理统计答案 一、填空题1 1/5 17/45 2 1/23 0 5 4 0.4 1.84 5 52 6 13/247 1/3 8 3 -119 7/13 10 二、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、解答题1、设的分布函数为 求：（1）的概率分布；（2）、；解：（1）的概率分布列为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 （2） 2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1
8、）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且，两两互不相容。 （1） 由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得 = 3、设随机向量的概率密度为 求：（1）常数； （2）关于的边缘概率密度，并判断与是否相互独立。解：（1）利用归一性知： （2），当时，有；其他情况时，综合知， 同理 由于 知与不相互独立。 4、已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： （1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 （2） 从而有与的相关系数 5
9、、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。 解：设为观测值，则构造似然函数 令 解的的极大似然估计量为 6、已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；“取到的产品是工厂的”。则 （1） 取到的产品是次品的概率为 （2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 7、设的概率分布为 求：和。 解：由于在有限区间1，5上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、， 因此由数学期望
10、性质2、性质3及重要公式得 。 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和关于边缘概率分布。解：（1）的所有可能取值为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)。由概率乘法公式得 同理得,。此外，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 （2）的边缘概率分布为 1 2 3 1/4 1/2 1/4 的联合概率分布为 1 2
11、 3 1/4 1/2 1/4 9、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。 解：设为观测值，的分布律为 （）于是似然函数 令，解得，因此的极大似然估计为 10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有；。依题意所求概率为 11、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律。解：（1）的概率分布表为 1 2 3 （2）关于的边缘分布律为 1 2 3 关于的边缘分布律为 1 2
12、3 12、设为的一个样本，且的概率分布为 其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。 解：设为观测值，构造似然函数 令 解得，因此的极大似然估计为。 13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解：设表示每个人等车时间，且服从0，5上的均匀分布，其概率分布为 又设表示等车时间不超2分钟的人数，则，所求概率为 14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率
13、分布；（2）关于和边缘分布； （3）和是否相互独立？为什么？解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。 ， ， 于是（，）的概率分布表为 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 （2）关于和的边缘概率分布分别为 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3 2/3 （3）和相互独立。因为有 15、设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。 （1）； （2）。 解：（1）由于所以是的无偏估计； （2） 所以是的无偏估计。 而 显然，故较好。 16、设随机变量（，）具有概率密度 ，求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于，故 1=所以=1，即 （2） ，即 ，即 17、设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。解：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知 从而解得1/20。 从而解得1/100。 故1/20，1/100时，统计量服从分布。且自由度为2。 14 第 页 共14页
《概率论与数理统计》综合复习资料27363
