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1、习题2.1解答 1现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下： 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。 （1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。 解 （1）依题知所有可能的取值为. 因为所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 01011 （2）类似于（1），可求得所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 01011 2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为、，求的联合概率分布和边缘概率分布。 解 依题知、所有可能的取值分别为及，故 所以
2、的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 01201203001 3. 已知随机变量、的概率分布分别为 0 1 -1 0 1 且，求 （1）和的联合概率分布； （2）.解 （1）因为 所以 01-100101又根据得，从而. 于是由表可得 ， ， ， .故的联合概率分布为 01-1000101 (2) 由(1)知. 4. 设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）常数； （2）关于、的边缘概率密度； （3）； （4）； （5）.解 （1）由联合概率密度分的性质知 ， 即 ， 求得. （2）当时，有 . 当时，有.所以关于的边缘概率密度为 同理可得关于的边缘概率密度为 （3） . 1 x o
3、 y y=-0.5x+0.5 0.5（4）积分区域如图阴影部分 x o y y=x （5）积分区域如图阴影部分 =. 5设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有 ； 当时，有.所以关于的边缘概率密度为 同理可得关于的边缘概率密度为 （2）由条件概率的定义知 而 ； ；于是. 6设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有 ； 当时，有.所以关于的边缘概率密度为 同理当时，有 ； 当时，有.所以关于的边缘概率密度为（2） . 7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室
4、会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点分与12点分。依题可假定服从区域上的均匀分布，其联合概率密度为2060 x o y6020“二人能会面”这一事件（图中所示阴影部分）可表示为 于是 习题2.2解答1.设随机变量与相互独立同分布，且，则( ). （A） （B） （C） （D） 解 由与相互独立同分布知的联合概率分布为 0101 1 于是有2.设随机变量相互独立同分布，且，求行列式的分布列。 解 ，而、的概率分布分别为：010.840.16010.840.16由于相互独立，所以与也独立同分布，故的概率分布为 -1 0 1
5、 0.1344 0.7312 0.1344 即3. 设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布，且 求与的联合概率分布。 解 依题的概率分布为 ； ； ； .即 01001 4.求习题2.1第4，5，6题中的联合分布函数。解 （习题2.1第4题）当时，有 ； 当时，有.所以的联合分布函数为（习题2.1第5题） 当时，有；当时，有 ；当时，有 ；当时，有 ； 当时，有.所以的联合分布函数为 （习题2.1第6题） 类似地可求得的联合分布函数为 5设二维随机向量的联合概率密度为求的联合分布函数。 解 当时，有； 当时，有 ； 当时，有 ； 当时，有 ； 当时，有.所以的联合分布函数为6. 设随机变量与相
6、互独立，其概率密度函数分别为 求：（1）常数； （2）随机变量的概率密度函数。解 (1) .（2）因与相互独立，故的联合概率密度为于是当时，有；当时，有 ；当时，有 ；利用分布函数法求得的概率密度函数为7. 设的联合分布函数为求： （1）常数； （2）的联合概率密度； （3）的边缘分布函数和边缘概率密度； （4），； （5）判断与的独立性。解 （1）依分布函数的性质知 ；解得，.(2) ; (3) 依联合分布函数的性质知 ， ;所以的边缘概率密度分别为 ， .(4) ， (5) 因为所以与相互独立.8. 设某仪器由两个部件构成，用、分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知的联合分布函数为试求
7、：（1）求的两个边缘分布函数； （2）求联合概率密度与边缘概率密度； （3）与是否独立； （4）两个部件寿命都超过100小时的概率。解 （1）当时，有 ； 当时，有.所以关于的边缘分布函数为类似地关于的边缘分布函数为(2) 当时，有所以联合概率密度为相应地其边缘概率密度分别为 (3) 因为所以与相互独立。(4) 所求事件的概率为 9. 设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求： （1）联合概率密度与边缘概率密度； （2）； （3）在取值的概率。解（1）依题知 所以联合概率密度当时，有所以联合分布函数 （2）； （3）.10. 对随机变量，有， 求，.解 依题得11. 的联合概率密度为求概率密度函数。解 当时，有 ；当时，有 ；当时，有.所以的概率密度函数为
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