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1、会计学1函数极限函数极限1考察函数考察函数y=x2，当当x无限趋近于无限趋近于2时，函数的变化趋时，函数的变化趋势势 (1)图图象象 考察函数，比较特征考察函数，比较特征 第1页/共14页(2)列表列表 x2.52.12.012.0012.00012.00001y=x26.254.414.044.0044.00044.000042.250.410.040.0040.00040.00004x1.51.91.991.9991.99991.99999y=x22.253.613.963.9963.99963.999961.750.390.040.0040.00040.00004第2页/共14页从表格上
2、看：从表格上看： 表表1说明，自变量说明，自变量x2趋近于趋近于2(x2-)时，时，y4 表表2说明，自变量说明，自变量x2趋近于趋近于2(x2+)时，时，y4从图象上看：自变量从图象上看：自变量x从左侧趋近于从左侧趋近于2(即即x2-)和和从右侧趋近于从右侧趋近于2(即即x2+)时，时，y都趋近于都趋近于4 从差式从差式|y4|看：差式的值变得任意小看：差式的值变得任意小(无限接近于无限接近于0) 从任何一方面看，当从任何一方面看，当x无限趋近于无限趋近于2时，函数时，函数yx2的的 极极限是限是4记作：记作：强调：强调：x2，包括分别从左、右两侧趋近于包括分别从左、右两侧趋近于2 第3页/
3、共14页2. 考察函数考察函数 （x1），），当当x无限趋近于无限趋近于1（但（但不等于不等于1）时，函数的变化趋势）时，函数的变化趋势 （1）图象）图象 y=x+1 (xR,x1)(2)结论：自变量结论：自变量x从从x轴上点轴上点x=1的左右两边无限趋的左右两边无限趋近于近于1，函数，函数 的值无限趋近于的值无限趋近于2.21-101xy强调：虽然在强调：虽然在x1处没有定义，但仍有极限处没有定义，但仍有极限 第4页/共14页3考察函数考察函数 ，当，当x无限趋近于无限趋近于0时时，函数的变化趋势？，函数的变化趋势？(2) 结论：结论： x从从0的左边无限趋近于的左边无限趋近于0时，时，y值
4、无限趋近于值无限趋近于-1 x从从0的右边无限趋近于的右边无限趋近于0时，时，y值无限趋近于值无限趋近于1 (1)图象图象 此例与上两例不同，此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近于于0，f(x)趋近的值不同，这时趋近的值不同，这时f(x)在在x0处无极限处无极限第5页/共14页(1)请思考下面问题：当请思考下面问题：当xx0时，时，yf(x)在在xx0处有处有定义，是不是一定有极限？定义，是不是一定有极限？yf(x)在在xx0处无定义处无定义，是不是一定没有极限？，是
5、不是一定没有极限？ xx0包括两层意思：包括两层意思：x从从x0的左侧趋近于的左侧趋近于x0，即即xx0-；x从从x0的右侧趋近于的右侧趋近于x0，即即xx0+是不是是不是xx0-和和xx0+时，时，f(x)会趋近于同一个常数？会趋近于同一个常数？ (2) 归纳结果，得到：归纳结果，得到： 第6页/共14页 函数在一点处的极限与左、右极限函数在一点处的极限与左、右极限1当自变量当自变量x无限趋近于常数无限趋近于常数x0（但但x不等于不等于x0）时时，如果函数，如果函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说当就说当x趋近趋近于于x0时，函数时，函数f(x)的极限是的极限是a，记作记
6、作 或当或当xx0时时f(x)a。2当当x从点从点x0左侧（即左侧（即xx0）无限趋近于无限趋近于x0时，函数时，函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处的处的左极限，记作左极限，记作 。3如果当如果当x从点从点x0右侧（即右侧（即xx0）无限趋近于无限趋近于x0时，时，函数函数f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a，就说就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处处的右极限，记作的右极限，记作 。4常数函数常数函数f(x)=c在点在点x=x0处的极限有处的极限有 . 第7页/共14页注意：注意：（1） 中中x无限趋近于无限趋近于x0，但不包
7、含但不包含x=x0即即xx0，所以函数所以函数f(x)的极限是的极限是a仅与函数仅与函数f(x)在点在点x0附附近的函数值的变化有关，而与函数近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点在点x0的值无关的值无关（x0可以不属于可以不属于f(x)的定义域）的定义域） （2） 是是x从从x0的两侧无限趋近于的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，是双侧极限， 而而 、 都是都是x从从x0的单侧无限趋近于的单侧无限趋近于x0,是是单侧极限，单侧极限，显然显然 第8页/共14页例例1 当当x 时，写出下列函数的极限时，写出下列函数的极限y=xy=x2 2 y=sinx y=sinx y=x y=x y=5y=
8、5 例析概念例析概念,深化理解深化理解第9页/共14页例例2 2 写出下列函数当写出下列函数当x0 x0时的左右极限，哪些有极时的左右极限，哪些有极限？限？ 第10页/共14页 (1) (1)函数函数f(x)在在x=x0处的极限，左、右极限，极限与左处的极限，左、右极限，极限与左右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限。 比较概念，归纳小结比较概念，归纳小结 (2)我们已学过哪我们已学过哪7种不同类型的极限？它们的共同之种不同类型的极限？它们的共同之处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？第11页/共14页课后探究课后探究 1.已知已知 ,求求2.2.已知函数已知函数 , ,试求试求(1)(1)f(x)f(x)的定义域的定义域; ;(2)(2)求求 , , , ,并指出并指出 是否存是否存在在. .第12页/共14页第13页/共14页
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