江苏省苏州高新区第一中学第一学期高三期初考试数学试卷解析版

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1、2018届江苏省苏州高新区第一中学第一学期高三期初考试数学试卷（解析版）高三数学卷一、填空题： 1. 已知集合则_【答案】【解析】.2. 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为_【答案】【解析】因为复数 是纯虚数， ，解得 ，故答案为 .3. 数据10，6，8，5，6的方差_【答案】【解析】因为 ,所以 4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是_【答案】【解析】总数为 为整数有共8个,所以概率是 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为则_【答案】【解析】渐近线方程为,所以 6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是_ 【答案

2、】【解析】执行循环得: ,结束循环,输出 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为_.【答案】【解析】高为正四棱锥的体积为 8. 在等比数列中，若则_【答案】4【解析】因为所以 9. 已知则向量的夹角为_【答案】【解析】因为所以 10. 直线被圆截得的弦长为2，则实数的值是_【答案】【解析】圆=,则圆心(a,0),半径为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的

3、距离为,即=,则.故答案为-211. 将函数则不等式的解集为_【答案】【解析】因为,所以或,即或,即解集为12. 将函数的图象向左平移 个单位，若所得图象过点，则的最小值为_【答案】【解析】将函数的图象向左平移 个单位得 所以 ，所以正数的最小值为.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.13. 在中，角的平分线与边上的中线交于点，若则的值为_【答案】【解析】设AB中点为D，则 ,因此 点睛：向量共线转化方法， 若，则三点共线三点共线 14. 已知函数为自然对数的底数），若存在实数

4、，使得且则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为函数单调递增，且 ，所以 因为，所以 由得 因为在 单调递减，在 单调递增，所以 ，因此 .点睛：方程有解问题一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题，不等式有解问题一般利用变量分离法转化为对应函数最值问题.二、解答题： 15. 已知向量(1)当的值；（2）求上的值域【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据向量平行得即得正切值，再把化成切，最后代入求值，（2）先根据向量数量积化简，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求值域.试题解析：（1）， （2）， ， 函数16. 如图，在四棱锥中，与交于点

5、且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得平面，再根据线面垂直性质定理得（2）根据相似得，再根据线面平行判定定理得结论.试题解析：（1）因为平面 底面，平面 底面，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）因为，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面17. 如图，椭圆的上、下顶点分别为，右焦点为点在椭圆上，且（1）若点坐标为求椭圆的方程；（2）延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求实数的值【答案】（1）；（2）；（3）存在【解析】试题分析：（1）根据得，再

6、将P点坐标代入椭圆方程，解得（2）试题解析：（1）因为点，所以，又因为AFOP，所以，所以， 又点在椭圆上，所以，解之得故椭圆方程为 （2） 所以 点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用关于原点对称，为椭圆上三点).18. 如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若当变化时，求的取值范围.【答案】（1）当观察者离墙米时，视角最大；（2）【解析】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最

7、后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，由已知观察者离墙米，且，则， 所以， ，当且仅当时，取“” 又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大 （2）由题意得，又，所以， 所以，当时，所以，即，解得或， 又因为，所以，所以的取值范围为19. 已知数列满足，且（1）若求数列的前项和（2）若 求证：数列为等差数列； 求数列的通项公式【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据等差数列定义证明是等差数列，再利用待定系数法求首项与公差

8、，最后根据等差数列求和公式得结果，（2）先求k,再根据等差数列定义证明是等差数列，最后利用累加法求数列的通项公式.试题解析：（1）当时，即，所以，数列是等差数列 设数列公差为，则解得所以，（2）由题意，即，所以 又，所以，由，得，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列所以， 当时，有，于是，叠加得，所以， 又当时，也适合所以数列的通项公式为20. 已知函数（1）求证：函数是偶函数；（2）当求函数在上的最大值和最小值；（3）若对于任意的实数恒有求实数的取值范围.【答案】（1）偶函数；（2）最大值是p2-2，最小值为0；（3）【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义进行证明，首项确定定义域关于原点对

9、称，再证，（2）利用导数求函数在上单调性，根据偶函数得函数在-p，p上单调性，最后根据单调性确定函数最值取法，（3）先求导函数的导数，再根据与分类讨论，利用以及进行证明或举反例.试题解析：（1）函数的定义域为R，因为，所以函数是偶函数（2）当时，则，令，则，所以是增函数，又，所以，所以在0，p上是增函数，又函数是偶函数，故函数在-p，p上的最大值是p2-2，最小值为0（3），令，则，当时，所以是增函数，又，所以，所以在0，+)上是增函数，而，是偶函数，故恒成立 当时，所以是减函数，又，所以，所以在(0，+)上是减函数，而，是偶函数，所以，与矛盾，故舍去 当时，必存在唯一(0，p)，使得，因为在

10、0，p上是增函数，所以当x(0，x0)时，即在(0，x0)上是减函数，又，所以当x(0，x0)时，即在(0，x0)上是减函数，而，所以当x(0，x0)时，与矛盾，故舍去综上，实数a的取值范围是点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知矩阵向量，若求实数的值.【答案】【解析】试题分析： 先根据矩阵运算法则运算，再根据向量相等得方程组，解方程组得

11、实数的值.试题解析：， 由得解得22. 已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为若直线与曲线交于两点，求线段的长.【答案】【解析】试题分析： 先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后根据垂径定理求弦长.试题解析：由，可得22sin 2cos ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y2x， 标准方程为(x1)2(y1)22直线l的方程为化成普通方程为xy10 圆心到直线l的距离为，所求弦长23. 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划

12、从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 .（1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手的人数，求X的概率分布和数学期望.【答案】（1）21；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求1名女生3名男生的选法：甲1女1男，乙2男；甲2男乙1女1男，再利用组合数列式求解，（2）先确定随机变量的取法，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种 （2）的可能取值为， ， 的概率分布为：24. 已知抛物线 过点，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接.（1）求抛物线标准方程

13、；（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线C的方程解得p即可得到抛物线标准方程；（2）设，利用点斜式写出直线的方程，再将直线AB方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理化简直线的方程得，即证得直线是否过定点.试题解析：（1）将点代入抛物线C的方程得，所以，抛物线C的标准方程为 （2）设直线l的方程为，又设，则，由 得，则，所以， 于是直线的方程为， 所以，当时，所以直线过定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12第页