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1、二、环流量与旋度二、环流量与旋度 斯托克斯公式 第7节一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式三、向量微分算子三、向量微分算子 目录 上页 下页 返回 结束 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理7.1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).yxD
2、C则有上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每
3、一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 上页 下页 返回 结束 yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+ y+ z = 1
4、被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD上页 下页 返回 结束 例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222上页 下页 返回 结束 二、二、 环流量与旋度（课本环流量与旋度（课本249页）页）斯托克斯公式yx
5、xzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos上页 下页 返回 结束 令 , 引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度
6、 .上页 下页 返回 结束 ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为 ,r), 0, 0(点 M 的线速度(P20,例3.5)为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! sASAndd)(rot为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义例例3. 求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度 .解解: )0, 0, 0(
7、除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.3rxq3ryq3rzq上页 下页 返回 结束 zyxkjiArot的外法向量,计算解解: ) 1,0,0(SIdcos0232zxy, 4:222zyx例例4. 设),3,2(2zxyA .drotSnAI)cos,cos,(cosn为n上页 下页 返回 结束 三、三、向量微分算子（向量微分算子（251页）页）定义向量微分算子:kjizyx它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. ),() 1(zyxuu 设则kjiuzuyuxuugraduu2ugrad222222zuyuxuu上页 下页 返回 结
8、束 A,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxPA则zRyQxPAdivARQPkjizyxSAvAnddArot高斯公式与斯托克斯公式可写成:sASAndd)(上页 下页 返回 结束 小小 结结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos上页 下页 返回 结束 zuyuxu,2. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设, ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA上页 下页 返回 结束 散度散度:旋度旋度:则作作 业业P237 A类： 1 (1)(3) ; 2; B类：1P254 A类：11(2)(4); 13(1); 14上页 下页 返回 结束
高等数学：11-7斯托克斯公式
