基于MATLAB的数字滤波器的设计说明

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1、 . . . 毕业论文基于MATLAB的数字滤波器的设计68 / 74基于MATLAB的数字滤波器设计专业：电子信息工程 班级08电子信息工程2班 ：何正雄 指导王叶南摘 要在MATLAB环境下IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的设计方法即实现方法,并进行图形用户界面设计,以显示所介绍迷你滤波器的设计特性。在无线脉冲响应IIR数字滤波器设计中,先进行模拟滤波器的设计,然后进行模拟-数字滤波器转换,即采用脉冲响应不变法及双线性Z变化法设计数字滤波器,最后进行滤波器的频带转换。在有限脉冲响应FIR数字滤波器设计中,讨论了FIR线性相位滤波的特点和用窗口函数设计FIR数字滤波器两个问题。两类滤波器整

2、个过程都是按照理论分析、编程设计、集体实现的步骤进行的。为方便分析直观者直观、形象、方便的分析滤波器的特性,创新的设计出图形用户界面-滤波器分析系统。整个系统分为两个界面,其容主要包括四个部分：System系统、Analysis分析、Tool工具、Help帮助。关键字 数字滤波器,MATLAB,无线脉冲响应,有限脉冲响应,图像用户界面AbstractIn the MATLAB environment IIR digital filter and FIR digital filtersdesign method, the realization method, and graphical use

3、r interfacedesign, to show introduced the design of filter mini features.In the wireless impulse response digital filter design, thedesign of the simulated filter first, then the simulation-digitalfilters conversion, which is a pulse response not political reformand bilinear Z variation method to de

4、sign digital filter, the last of the filter band conversion. In finite impulse response filters design, this article discusses the characteristics of linear phase FIR filter with window function and design FIR digital filters two questions. Two kinds of filter the whole process is according to the t

5、heoretical analysis, program design, collective realize steps.For the convenience of analysis the intuitive visual, image, the analysis of the characteristics of convenient filter, innovative design the graphic user interface- -filter analysis system.The whole System is divided into two interfaces;

6、its content mainly includes four parts: System , Analysis , Tool , and Help .Key word: Digital filters, MATLAB, wireless impulse response, limited impulse response, image user interface目 录第一章绪论11.1选题目的和意义及国外对本课题涉及问题的研究现状11.1.1意义和目的11.1.2国外的研究综述11.3 数字滤波技术21.3.1滤波器原理31.3.2数字滤波器设计方法概述41.3.3 IIR和FIR滤波器

7、的比较6第二章 IIR滤波器设计及其MATLAB的实现92.1 模拟滤波器设计及其MATLAB实现92.1.1 巴特沃斯滤波器设计102.1.2 切比雪夫虑波器设计162.1.3 椭圆滤波器设计222.2 从模拟滤波器低通原型到各数字滤波器的频率变换252.2.1 低通变换262.2.2 高通变换332.2.3 带通变换352.2.4 带阻变换38第三章 FIR滤波器设计及其MATLAB的实现413.1 FIR滤波器的设计413.2 窗口设计法423.2.1 矩形窗的设计463.2.2汉宁窗的设计493.2.3 海明窗的设计513.2.4布莱克曼窗的设计533.2.5凯塞窗的设计553.2.6

8、三角窗的设计573.2.7本章小结所有带通滤波器的比较60第四章 MATLAB软件简介62结论65致66参考文献68第一章 绪论1.1选题目的和意义及国外对本课题涉及问题的研究现状1.1.1意义和目的长期以来,信号处理技术一直用于转化、产生数字或模拟信号,其号的滤波是应用的领域最为频繁的。数字滤波是图像处理、语音、谱分析和模式识别等应用中一个最为基本的处理部件,它能满足滤波器对相位特性和幅度的严格要求,避免模拟滤波器无法克服的温度漂移、电压漂移和噪声等问题。1.1.2国外的研究综述数字滤波在DSP中占有重要地位。数字滤波器按实现的网络结构或者从单位脉冲响应,分为IIR无限脉冲响应和FIR有限脉

9、冲响应滤波器。如果IRR滤波器和FIR滤波器具有相同的性能,那么通常IIR滤波器可以用较低的阶数获得高的选择性,执行速度更快,所有的存储单元更少,所以既经济又高效。 数字滤波器精确度高,使用灵活,可靠性高,具有模拟设备没有的许多优点,已广泛地应用与各个科学技术领域,例如数字电视,语音,通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代数字时代的到来,数字滤波技术已经成为一门及其重要的科学和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术,但是模拟电路技术存在很多难以解决的问题,而采用数字则避免很多类似的难题,当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点都是模拟技术所不能及的,所以

10、采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。 数字滤波在通信。图像编码,语音编码,雷达等许多领域有着十分广泛的应用。目前,数字信号滤波器的设计在图像处理,数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。近年来迅速发展。1.3 数字滤波技术数字滤波是数字信号处理的重要基础,数字信号处理主要用研究数字或符号的序列来表示信号波形,并用数子的方式处理这些序列,把它们改变成我们所希望的形式,一边估计信号的特性参量,或消弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量。数字滤波器在信号的过滤、检测与参数估计等处理过程中,是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器digital Filter,简称DF是指完成信号滤

11、波处理功能的、用有限精度算法实现的离散时间按线性非时变系统。数字滤波器的数学运算通常有两种实现方式。一种是频域法,就是利用FFI快速运算方法对输入的信号进行离散傅里叶变换,分析它的频谱,然后根据所希望的频谱特性进行滤波,再利用傅里叶反变换把时域信号给恢复出来,使用此方法具有很好的时域灵活性和选择特性。由于所期望的频谱特性与信号频率是简单相乘关系,因此它比计算等价的时域卷积快得多。另一种方法为时域分析法,这种方法不是对离散抽样数据作差分数学运算来达到目的的。数字滤波器的输入是由一组数字量经过数字变换的另一组数字量。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。随着数字技术的发展,用数字技术

12、实现滤波器的功能愈来愈受到人们的重视,并且得到了广泛的发展和应用1。数字信号处理这门科学的一项重大进展是关于数字滤波器的设计方法的研究。60年代中期,开始形成关于数字滤波器的一套完整的理论。在这一时期,提出了各种功能的数字滤波器结构,有的是以运算误差最小作为优势,有的是以运算速度快为见长；出现了数字滤波器的各种实现方法和逼近方法,并且还对递归和非递归着两类滤波器作了全面性的比较；很好的统一了数字滤波器的基本理论和概念,从此学者对有限冲激响应IIR和无限冲激响应FIR的认识有了完整的理论。70年代后,随着科学技术的蓬勃发展,数字信号处理运用在大规模、超大规模集成电路技术和微处理技术等新工艺技术上

13、,并引进计算机铺助设计方法,丰富了数字滤波器的分析和设计,各种新的数字信号处理系统也都能用专用的数字硬件实施加以实现。坚信在不久的未来,随着电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能化等方向发展,包括数字滤波在的数字信处理技术会有惊人的速度进行飞跃式发展2。1.3.1滤波器原理滤波器,它的作用是对输入信号起到滤波的作用,对于图1-1所示的LSI系统,它的时域输入输出关系为：Y =x*h hxy图1-1如果存在y,x的傅里叶变换,那么输入输出的频域关系为： 1-2当输入信号xn通过滤波器系统h后,其输出y中不含有的频率后,它的结果也不一样,仅使的信号成分通过。所以,滤波器的形

14、状不同,其滤波后的信号结果也不一样。如果滤波器的输入、输出都是离散的信号,那么滤波器的单位冲激响应h也必然是离散的,这种滤波器称为数字滤波器DF,Digital Filter。当用硬件实现一个DF时,所需元件都是延迟器、乘法器和加法器；而利用MATLAB软件时,它仅需线性卷积程序便可实现。而模拟滤波器AF,Analog Filter只能用硬件实现。因此DF比AF容易实现,且更容易获得理想的滤波性能。数字滤波器还具有以下优点：精度和稳定性高；系统函数容易改变；灵活性高；不岑在阻抗匹配；便于大规模集成电路；可实现多维滤波3。1.3.2 数字滤波器设计方法概述数字滤波器从其功能上可以分为以下几类：低

15、通滤波器LP,Low Pass、高通滤波器HP,High Pass带通滤波器BP,Band Pass、带阻滤波器BS,Band Stop4。从单位脉冲响应分类：如同模拟滤波器的性能可由g和G来表示一样,数字滤波器的性能取决于H和H。因此,数字滤波器可以按照单位取样响应或称脉冲响应,冲激响应h的性质分为两类：有限脉冲响应Finite Impulse Response数字滤波器,简称FIR数字滤波器,它的H序列长度为有限的；无限脉冲响应Infinite impulse response数字滤波器,简称IIR数字滤波器,它的H序列长度为有无限的,即当n时,H还有效。数字滤波器的设计与实现,一般按下面

16、的步骤进行：.根据不同用途提出数字滤波器的技术指标和性能要求。.涉及一个稳定的、因果的数学模型H来逼近所要求的的技术指标,并用有限精度的运算时线索涉及的系统。本文将重点介绍此步骤。.设计专用的数字硬件来实现这个数字模型,或者通过电子计算运行程序予以实现,本文将侧重于软件的实现5。IIR滤波器和FIR滤波器的设计很不相同：IIR滤波器设计的方法有两种,常用一种设计方法是借助模拟滤波器的设计方法进行的。它的设计思路为如下：首先用模拟滤波器设计得到传输函数G,然后用一定的方法将G转换为数字滤波器的系统函数H。这种基于模拟滤波器的设计比较成熟,这种设计思路不但拥有完美的设计公式,而且还有完美的图标查阅

17、,更能直接调用MATLAB中的对应的函数来进行设计。另一种是直接在频域或时域中进行设计,设计时必须用计算机铺助,直接调用MATLAB中的程序或函数即可设计6 7。FIR滤波器不能采用由模拟滤波器设计进行转换的方法而经常使用的是窗口函数和频率采样法。也可以借助计算机铺助设计软件采用切比雪夫等波纹逼近法进行设计。1.3.3IIR和FIR滤波器的比较.选择数字滤波器是必须考虑经济问题,通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。在相同的技术指标要求下,由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈,因此可以用较少的阶数来满足要求,所用的存储单元少,运算次数少,较为经济。例如,用频率抽

18、样法设计一个阻带衰减为20dB的FIR数字滤波器,要33阶才能达到要求,而用双线性变换法只需45阶的切比雪夫IIR滤波器就可达到同样的技术指标。这就是说FIR滤波器的阶数要高510倍左右。.在大多数情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。对于IIR滤波器,选择性越好,它的相位的非线性也就越严重。如果要使IIR滤波器获得线性相位,又能达到幅度滤波器的技术要求,必须对相位进行加全通网络校正,这同样将大大增加滤波器的阶数。就这一点来看,FIR滤波器优于IIR滤波器。.FIR滤波器的结构是非递归的,这是因为不管是理论上还是实际的有限精度运算中它都是稳定的,也有误差

19、较小的精度运算。IIR滤波器的结构是采用递归的,这是由于在z平面单位圆的极点才是稳定。对于这种结构,运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。.在FIR滤波器中,因为冲激响应为有限长的,所以使用快速傅里叶变换算法,这样在运算时就快得多。而IIR滤波器就不能使用快速傅里叶变换算法进行运算。.从设计分析,模拟滤波器可以为IIR滤波器的设计提供现成的闭合公式、数据和表格,可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。一旦选定了已知的一种逼近方法,就可以直接把技术指标带入一组设计方程计算出滤波器的阶次和系统函数的系数。FIR滤波器就没有提供现成的设计公式。窗函数法只是提供了窗函数的计算公式,但是在计算通带和阻带

20、的衰减表达式是仍然无法显示的。一般借助于计算机的程序可资利用来进行FIR滤波器的设计。.IIR滤波器主要是设计标准的低通、高通、带通和带阻滤波器规格化、频率特性为分段常数。FIR滤波器就显得灵活许多,比如频率抽样法就能适应各种相位特性和幅度特性的要求。因此可以用FIR滤波器设计出理想微分器、理想正交变换器、线性调频器等各种网络,适应性很广。而且,目前已经有很多计算机的程序可供FIR滤波器使用。表1-1 两种滤波器特点比较分析FIR滤波器IIR滤波器设计方法一般无解析的设计公式,要借助计算机程序完成利用AF的成果,可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性和线性相位只能得到幅频特性,相频特性未

21、知,如需要线性相位,须用全通网络校准,但增加滤波器阶数和复杂性结构极点全部在原点无稳定性问题有稳定性问题阶数高低结构非递归系统递归系统运算误差一般无反馈,运算误差小有反馈,由于运算中的四舍五入会产生极限环接下来的两章将分别对IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的设计实现进行分析讨论。在具体的设计过程中,将充分发挥利用MATLAB其强大的功能对数字滤器的仿真。第二章 IIR滤波器设计及其MATLAB的实现IIR数字滤波器具有无限持续时间脉冲响应,而所有的模拟滤波器一般都具有无限长的脉冲响应,因此IIR数字滤波器与模拟滤波器是相匹配的。因此IIR数字滤波器的设计可以先通过设计模拟低通滤波器H,然后按

22、一定规则将H进行滤波器变换为数字域的IIR低通滤波器G,最后通过频带变换转换成其它频带滤波器。本章按此思路将IIR数字滤波器设计分为三部分：设计模拟滤波器；进行滤波器转换,得到数字滤波器；最后再简单分析数字滤波器的频带转换问题。下面,将以此进行分别讨论。2.1 模拟滤波器设计及其MATLAB实现IIR的设计流程图：模拟低通滤波器设计模拟滤波器变换为数字滤波器IIR滤波器模拟低通滤波器设计模拟滤波器变换为数字滤波器数字低通变换为高通、带通等IIR滤波器模拟地通变高通、带通等IIR数字滤波器技术最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已有了一套相当成熟的方法,它不但有完整的设计公式

23、,而且还有较为完整的图表可供查询,因此充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。滤波器设计最重要的是寻找一个稳定、因果的系统函数去逼近滤波器的技术指标,因此模拟滤波器的设计十分重要。实际中,有三种广泛应用的滤波器,即巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫低通滤波器和椭圆低通滤波器。而高通、带通、带阻等滤波器则可以利用变量变换,可以由低通滤波器转换得到。下面,将分别予以介绍12。2.1.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器的特点是：它的频率响应是最平滑的,频率响应在截止频率以外为单调下降。理想的单位响应是在带通中产生的,在阻带中相应等于零,在截止频率处的衰减点为3dB。巴特沃斯滤波的另外

24、一个优点是过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数,因此频率响应近似于理想低通滤波器可以设计高阶巴特沃斯滤波器 1。巴特沃斯滤波器的幅度平方函数可以写成：式中,N为整数,称为滤波器的阶数,N的值越大,带通和阻带的近似性越好,过渡带也越陡,因为函数表达式分母带有高阶项,在带通/c1,则远大于1,从而使函数值骤然下降,如图2-1所示。在边界频率c处,幅度平方等于之流的1/2。这相当于幅度相应的或3dB衰减点。可以证明:理想幅度响应及其逼近响应的差值,与在=0处的函数导数等于0的阶数有关,应尽量使导数等于0的阶次数高一些。因此当阶次数N增加时,在通带的响应变得更为平坦,在阻带衰减将更大。而在过度带,阶次为

25、N的巴特沃斯滤波器的幅度响应趋于斜率的-6ndB/倍频程的渐近线13。图2-1巴特沃斯滤波器振幅平方特性图2-1描述：通带： 使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率围c：截止频率。图2-1中,N增加,通带和阻带的近似性越好,过渡带越陡。通带,分母/c1, 1,A1。过渡带和阻带,/c1,1, 增加,快速减小。=c,幅度衰减,相当于3dB衰减点。振幅平方函数的极点 可见,Butter worth滤波器的振幅平方函数有2N个极点,它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。图2-2为N=3的巴特沃斯滤波器的幅度平方函数的极点分布。从系统的稳定性分析可知,巴特沃斯滤波器的

26、系统函数是由S平面左半部分的极点组成的,它们分别为：系统函数为： 图2-2三阶A的极点分布分子的使得s=0时如果令=1,便得归一化的三阶巴特沃斯滤低通波器： 令s=,则上式变成为原来的的式子：用MATLAB对巴特沃斯低通模拟滤低通波器仿真的编程程序如下：其调用的格式为：z,p,k=buttap其中,z表示零点,p表示极点, k表示增益,N表示阶次。%巴特沃斯低通模拟滤波器n=0:0.01:2; %设定频率点for i=1:4; %定义循环,产生不同阶数的曲线 switch i case 1 N=2; case 2 N=5; case 3 N=10; case 4 N=20; end z,p,k

27、=buttap; %调用Butterworth模拟低通原型的函数 b,a=zp2tf; %将零点极点增益形式转换为传递函数的形式 H,w=freqs; %按n制定的频率点给频率响应 magH2=abs.2; %函数abs取模值函数 hold on%函数hold控制是否保持当前图形 plot%函数plot画二维线性图 axis;%函数axis控制坐标轴比例和外观endxlabel;ylabel|H|2;title;grid on仿真出来巴特沃斯低通模拟滤波器的平方幅度响应曲线如图所示：图2-3 巴特沃斯滤波器的幅频特性基于MATLAB实现由图2-3可清晰的分析出,巴特沃斯滤波器拥有平滑的频率响应

28、,在截止频率以外,频率响应单调下降。其过渡带的峭陡程度正比于滤波器的阶数,高阶巴特沃斯滤波器和N=20阶滤波器的平方幅度响应进行比较后,证明了高阶巴特沃斯滤波器有更好的幅度特性,更接近理想低通滤波器 用MATLAB对巴特沃斯低通模拟滤低通波器仿真的编程程序如下：其调用的格式为：z,p,k=buttap其中,z表示零点,p表示极点,k表示增益,N表示阶次。MATALAB的编程程序：%巴特沃斯高通模拟滤波器n=0:1:5000; %设定频率点for i=1:4; %定义循环,产生不同阶数的曲线 switch i case 1 N=2; case 2N=5; case 3 N=10; case 4

29、N=20; end z,p,k=buttap; %调用Butterworth模拟低通原型的函数 b,a=zp2tf; %将零点极点增益形式转换为传递函数的形式 bt,at=lp2hp; %又低通原型滤波器转换为截止频率为200Hz的高通滤波器 Ht,w=freqs; subplot; hold on; plotw,abs;endxlabel;ylabel|H|2;title;仿真出的巴特沃斯高通模拟滤波器的平方幅度响应曲线如图2-4所示： 图2-3 巴特沃斯滤波器的幅频特性基于MATLAB实现对图2-3的结果进行分析：由图的模拟高通滤波器幅度平方函数曲线可得到随着阶数N的增大曲线的过度带逐渐变

30、窄,滤波器的性能越接近直角矩形特性,滤波效也就越好。2.1.2 切比雪夫虑波器设计切比雪夫低波器的显著特点是,其逼近误差峰值在一个规定的频段上为最小,实际上误差值在规定的频段上是等波纹的,既误差之等幅的在极大值和极小值之间摆动。切比雪夫低波器的幅度平方函数为：式中,为有效通带边界频率,为小于1的正数,是与通带波纹有关的参量,值愈大通带波动愈大；是N介切比雪夫多项式由2-7上式可知,当时,；在的区间随着x而单调递增加,所以,在间隔,1+的值将在1与之间变化。即为,也就是在通带围,此时的在1与之间波动。在时,也就是说时,随着的增大迅速趋于0。由下2-4看出N为偶数是在=0处的值为,是带通的最小值；

31、N为奇数是在=0处的值为1,是最大值。当N为0时,N为奇数, N为偶数, 图2-4切比雪夫滤波器的振幅平方特性有关参数的确定：是通带边界频率,一般是预先给定的。是与通带波动有关的一个参数,通带波动 表示成 给定通带波纹值分贝数 后,可求。 阶数N由阻带的边界条件确定。 得 因此,要求阻带的边,界频率处的衰减越大,也就是过渡带幅频特性越陡,则需要用的阶数N越高。N,给定后,就可以求得滤波器系统函数,MATLAB等设计软件均提供了切比雪夫低通滤波器的设计函数。下面是用MATLAB对切比雪夫低通滤波器型型的仿真,其调用格式为：z,p,k=cheb1ap和z,p,k=cheb2ap其中,z表示零点,p

32、表示极点,k表示增益,N表示阶次,Rp表示通带波纹dB,Rs表示为阻带波纹dB。MATLAB编程程序%切比雪夫型低通模拟滤波器n=0:0.01:2;for i=1:2switch i case 1 N=7; case 2 N=8; end Rp=1; %通带波纹系数为1dB z,p,k=cheb1ap;%函数cheb1-设计切比雪夫型低通滤波器 a,b=zp2tf; H,w=freqs;%函数freqs-求解模拟滤波器频率响应 magH2=abs.2; %绘制出图形 hold on plot axis; end xlabel; ylabel|H|2; title; grid on仿真出来的结果

33、图2-5切比雪夫型低通模拟滤波器的幅频特性切比雪夫型低通模拟滤波器的MATLAB的编程代码：%切比雪夫型低通模拟滤波器n=0:0.01:2;for i=1:2switch i case 1 N=7; case 2 N=8; end Rs=10; %阻带波纹系数为10dB z,p,k=cheb2ap;%函数cheb2-设计切比雪夫型低通滤波器 a,b=zp2tf; H,w=freqs;%函数freqs-求解模拟滤波器频率响应 magH2=abs.2; %绘制出图形hold on plot axis; end xlabel; ylabel|H|2; title;grid on仿真出来的结果如下图所

34、示：图2-6切比雪夫型低通模拟滤波器的幅频特性由图2-5,2-6分析出:切比雪夫低通滤波器有效地将技术指标的精确匀分布,切比雪夫型滤波器的振幅特性在通带是等纹的,在阻带是单调的；切比雪夫型低通模拟滤波器的幅频特性在通带是单调的,在阻带是等纹的13。2.1.3 椭圆滤波器设计椭圆滤波器具有这样一个特点,其幅值响应在通带和阻带都是等波纹的,对于给定的阶数的波纹要求,除椭圆滤波外,其他滤波均不能获得较窄的过渡带宽,就这一点来说,椭圆滤波是最优的。被称为椭圆的缘由是它的幅度特性是由雅可比椭圆函数Jacobi Elliptical Function来决定的。这种滤波器的幅度平方函数为：式中,称为雅可比椭

35、圆函数,L是一个表示波纹性质的参数,图2-7表示出的特性。图2-7 N=5时 的特性曲线由图可见,在归一化带通-1,在0和1之间振荡,而超过以后就在和之间振荡。随着参量L的变化,也发生变化,雅克比函数这个特点是设计滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减的关键。图2-8为椭圆滤波器的幅度平方函数。图中,椭圆滤波器的波纹参量和衰减A的定义方法和切比雪夫滤波器的定义方法是一样的。当、和A确定以后,其阶次的确定方法如下：图2-8 椭圆滤波器的幅度平方函数式中,称为第一类完全椭圆积分。用MATLAB实现椭圆滤波器的仿真：编程代码：%椭圆低通滤波器n=0:0.01:2;for i=1:4 switch i c

36、ase 1 N=2; case 2 N=3; case 3 N=4; case 4 N=5; end Rp=1; %Rp-通带波纹系数为1dB Rs=10; %Rs-阻带波纹系数为10dB z,p,k=ellipap; %函数ellipap-设计椭圆低通滤波器 b,a=zp2tf; H,w=freqs; magH2=abs.2; %绘制图形 posplot22num2str;%输出图形 subplotgrid on plot axis;end xlabel; ylabel|H|2;titleN=num2strgrid on 仿真出的结果如下图：图 2-9 椭圆滤波器的幅频特性曲线基于MATLA

37、B仿真实现由图2-9可得,椭圆滤波器在通带及阻带均成等纹振荡,并具有最窄的过渡带,其性质比较优越,但椭圆滤波器的转移函数不但有极点,而且在j轴上还有零点,所以椭圆滤波器的设计比较优越14。2.2 从模拟滤波器低通原型到各数字滤波器的频率变换实际运用中的数字滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型。设计各种类型的数字滤波器通常可以把一个归一化的原型模拟低通滤波器模拟频带变换成所需的模拟滤波器,再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需的类型模拟滤波器,如图2-10所示：模型归一化原型模拟模拟频带变换模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻数字化图 2-10 设计IIR滤波器的模拟模拟数

38、字频率变换法简便的方法是把这一方关系法中的两个步骤合成一步来实现,就可以直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系,一步完成各种类型数字滤波器的设计,如图2-11所示：模型归一化原型模拟数字频带变数字低通、高通、带通、带阻图 2-11 设计IIR滤波器的模拟-数字频率变换法2.2.1 低通变换首先将数字低通滤波器的性能要求转换为之相对的模拟低通滤波器的性能要求,根据此性能要求设计模拟低通滤波器。然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法,将模拟低通滤波器数字化为所需的数字化低通滤波器。1.脉冲响应不变法脉冲响应不变法冲激响应不变法是使数字滤波器的单位脉冲响应序列h逼近模拟滤波器的冲激响应h。如果

39、以H 模拟滤波器的系统传递函数为的的单位脉冲响应为h,对单位脉冲响应h进行等间隔采样,让数字滤波器的单位抽样响应h刚好等于h的采样值,即：其中的为采样周期。H是模拟滤波器的系数传递函数,令H为数字滤波器的系统传递函数。采样信号的拉氏变换与相应的采样序列Z变换的映射关系为：所以H和H的关系为：式2-22是将模拟滤波器的系统函数H作周期延拓,在经过式2-21的映射变换,映射到Z平面上,从而得到数字滤波器的系统函数H。数字和模拟频率满足：的关系。经过的映射,s平面的左半平面映射为Z平面的单位圆,因此,一个模拟滤波器的稳定性和因果性经过映射可以得到数字滤波器的稳定性和因果性。经上面的分析,通过模拟滤波

40、器的系统传递函数G可求得数字滤波器系统传递函数H,它的设计具体步骤可以归纳如下：a.利用,使数字滤波的指标和转换为模拟滤波器指标和。b.根据指标和来设计模拟滤波H。c.通过使用部分分式展开法,把H展开为d.最后把模拟的极点转换为数字的极点,得到 根据上面的理论,在MATLAB环境下用函数实现脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。其函数为bz,az=impinvar,其中,b表示数字滤波器自变量为的分子多项式,a表示数字滤波器自变的量的分母多项式, T表示采样变换参量。低通,采样频率为 1Hz,通带临界频率 fp =0.2Hz,通带衰减小于1dBp=1；阻带临界频率 fs=0.3Hz,阻带衰减大于

41、25dBs=25。设计一个数字滤波器满足以上参数。FS=1n,Wn=buttord; %临界频率采用角频率表示b,a=butter; %freqs %设计模拟的bz,az=impinvar; %映射为数字的freqz仿真的结果图：图 2-12 脉冲响应不变法频率响应基于MATLAB实现对图2-12 分析,脉冲响应不变法的优点：是频率坐标实线性的即,数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应,时域逼近好。缺点：若抽样频率不高或其他原因将产生混叠失真,不能重现原来的模拟滤波器频率响应。故,脉冲响应不变法不适合带通、低通、高通、带阻等滤波器的设计。2.双线性变换法采用双线性不变法可以克

42、服脉冲响应不变法产生频率响应的混叠失真,是因为双线性变换法的s平面与z平面是一一映射的关系,消除了多值变换性如下图2-13所示：图 2-13 双线性变换法的映射关系为了将S平面的j轴压缩到平面j轴上的到一段上,可以通过正切变换实现:C为任意常数。令,c为2/T,得同样对z求解得这样的变换称为双线性变换,在MATLAB环境下用函数对双线性变换的实现如下。双线性变换实现 ButterWorth 低通编程代码：%采样频率 10Hz,通带截止频率 fp=3Hz,阻带截止频率 fs=4Hz%通带衰减小于 1dB,阻带衰减大于 20dB。%使用双线性变换法由模拟滤波器原型设计数字滤波器T=0.1; FS=

43、1/T; fp=3;fs=4;wp=fp/FS*2*pi; ws=fs/FS*2*pi; Rp = 1; %通带衰减As = 20; %阻带衰减%频率预畸OmegaP = *tan; % Prewarp Prototype Passband freqOmegaS = *tan; % Prewarp Prototype Stopband freq%设计 butterworth 低通滤波器原型N=ceillog1010-1/10-1/2*log10;OmegaC = OmegaP/10-11/;z,p,k = buttap; %获取零极点参数p = p*OmegaC;k = k*OmegaCN;

44、B = realpoly;b0 = k;cs = k*B;ds = realpoly;%双线性变换b,a = bilinear;%绘制结果freqz; 仿真出来的结果图如2-13图 2-13双线性变换实现 ButterWorth 低通双线性变换法实现 Chebyshev 低通I 型采样频率为10Hz,设计一个数字低通滤波器,要求其通带临界频率 fp= 3Hz ,通带p= 1dB ,阻带临界频率fs= 4Hz ,阻带衰减大于 15dB程序代码：T=0.1; FS=1/T; fp=3;fs=4;Rp = 1; As = 15;%频率预畸wp=fp/FS*2*pi; ws=fs/FS*2*pi; O

45、megaP = *tan;OmegaS = *tan;%设计 Chebyshev 低通滤波器原型ep = sqrt10-1;A = 10;OmegaC = OmegaP;OmegaR = OmegaS/OmegaP;g = sqrt/ep;N=ceillog10g+sqrt/log10OmegaR+sqrt;z,p,k = cheb1ap;%获取零极点参数a = realpoly;aNn = a;p = p*OmegaC;a = realpoly;aNu = a; k = k*aNu/aNn;b0 = k;B = realpoly;b = k*B;%双线性变换bz,az = bilinear;

46、%绘制结果%freqz;H=freqz;plotabs;图2-14双线性变换法实现 Chebyshev低通 12.2.2 高通变换有模拟低通滤波器至模拟高通滤波器的变换就是s变量的倒量变换。将这个关系用于高通滤波器的设计,只要将式子双线性变换中的s用其倒数1/s代替,就可以得到数字高通滤波器,即由于倒量的变换没有改变模拟滤波器的稳定条件,因此,也不会影响双线性变换后的稳定条件。令,代入中,可得 或 在MATLAB环境下用函数对用双线性变换法设计一个Chebyshev高通滤波器的实现如下：s=2*pi*1kHz,Wp=2*pi*1.4kHz,在Ws处的最小衰减为15dB,在Wp处的最大衰减不超过

47、0.3dB,抽样频率为20kHz1。编程代码：ws=2*pi*1000;ws1=ws*2*pi;wp=2*pi*1400;wp1=wp*2*pi;rp=0.3;rs=15;fs=20000;N,Wn=cheb2ord;z,p,k=cheb2ap;A,B,C,D=zp2ss;At,Bt,Ct,Dt=lp2hp;At1,Bt1,Ct1,Dt1=bilinear;num,den=ss2tf;freqz;H,W=freqz;plotW*fs/,abs;grid;xlabel;ylabel;图2-15Chebyshev高通滤波器的频率响应 由图看出模拟滤波器在趋于无穷处的三阶零点通过高通变换后出现在w=

48、0z=1处,这正是高通滤波器所希望的。2.2.3 带通变换在已知模拟低通滤波器的系统函数G,则模拟低通滤波器s平面到数字带通滤波器的Z平面的变换公式：令, 代入2-28,可得：在设计带通时,通过给定的上下边界频率和代入式中就能得到 和 由于和是一对镜像频率即：=-将此关系式代入上面的两个等式可得通过2-30式可以求得模拟低通边界：根据上式,将数字带通滤波器中所给出的边界频率映射到低通模拟滤波器的边界频率作为设计的指标设计的低通模拟滤波器,再通过式,就能得出特定滤波器要求的数字带通滤波器。下面在MATLAB环境下用函数对带通数字滤波器的仿真实现：编程代码：%采样频率 100Hz,Wpl=20Hz

49、,Wph=30Hz,Wsl=15Hz,Wsh=35Hz,% 频率/采样频率*2*pi%Wpl=0.4*pi,Wph=0.6*pi,Wsl=0.2*pi,Wsh=0.8*pi,%Rp=1;As=20T = 1; Fs = 1/T; % Set T=1 %T=2;Wpl=tan;Wph=tan;Wsl=tan;Wsh=tan;Rp = 1; % Passband ripple in dB As = 40; % Stopband attenuation in dB%计算模拟低通原型的参数OmigaP=Wph-Wpl;%低通滤波器通带截止频率OmigaS=Wsh-Wsl;%低通滤波器通带截止频率N,W

50、n=buttord;B,A=butter;BT,AT=lp2bpB,A,sqrt,Wph-Wpl;b,a=bilinear;H=freqz;plotabs;图2-16 带通数字滤波器的幅频特性基于MATLAB实现由图可以看出数字带通的极点数是模拟低通滤波器的极点数的两倍。2.2.4 带阻变换通过对带通变换的反演,就能得到从低通函数到带阻函数变换的形式。在滤波器中,把带通的频率关系倒置就可以得到带阻变换,即上式中由两个带阻的边界频率、共同决定。下面在MATLAB环境下用函数对带通数字滤波器的仿真实现：MATLAB 编程：f1=2;f2=5;f3=8;fs=20;Ts=1/fs;M=200;k=0

51、:M-1;fk=cos+cos+cos2*pi*f3*k*Ts;subplotplotxlabel title N = M;F = fft;subplotplot2*pi*/N/pi, 2*absF/N;xlabel title h= 0 -0.547 0 -0.850 0 0.817 0 0.160. 0 0.817 0 -0.850 0 -0.547 0;yk = conv;subplotplotxlabel titleaxisY = fft;subplotplot2*pi*/N/pi, 2*absY/N,r;title ;图2-17带阻数字滤波器的幅频特性基于MATLAB实现第三章 FI

52、R滤波器设计及其MATLAB的实现有限长单位脉冲响应FIR滤波器的系统函数：为的N-1阶多项式,系数这个系统的单位脉冲响应h。因为FIR滤波器的数学表达式在Z平面上只有零点,除原点外,在Z平面上是没有极点的,因此总有稳定的FIR滤波器。假如有非因果的FIR滤波器有限长单位脉冲响应,总能够方便地通过适当的移得到因果的单位脉冲响应,所以FIR滤波器不存在稳定性和不可实现的问题,这是FIR滤波器的一个优点。它的另一优点是在满足一定的对称条件下,可以实现严格的线性相位,这一点IIR就很难以做到。线性相位FIR在滤波器在数据通信、图像处理等应用领域有着广泛的应用。3.1 FIR滤波器的设计FIR滤波器的基本结构可以理解为一个分节的延时线,把每一节的输出加权累加,就可得到滤波器的输出。FIR滤波器的冲激响应h是有限长的,数学上N阶FIR滤波器可以表示为：系统函数为：FIR滤波器的设计问题是确定能满足所有要求的转移序列或脉冲响应的常数的问题,设计方法主要有窗口设计法、频率采样法、等波最佳逼近法等。3.2 窗口设计法窗口设计法是一种通过截短和计权的方法使无限长非因果序列称为有限长脉冲响应序列的设计方