立体几何中的向量方法(平行和垂直).ppt
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3 2 1立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 A P 直线的方向向量 直线 的向量式方程 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 一 方向向量与法向量 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 例1 如图所示 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为 平面OABC的一个法向量坐标为 平面AB1C的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 练习如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中点 求平面EDB的一个法向量 A B C D P E 解 如图所示建立空间直角坐标系 设平面EDB的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线 平面间的平行 垂直 夹角 距离等位置关系 用向量方法解决几何问题 二 立体几何中的向量方法 平行关系 m l 一 平行关系 例1 用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 已知直线l与m相交 例2四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 DF FB CG GP 1 2 求证 AE FG A B C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 证 如图所示 建立空间直角坐标系 AE与FG不共线 几何法呢 例3四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 求证 PA 平面EDB A B C D P E 解1立体几何法 A B C D P E 解2 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 连结AC AC交BD于点G 连结EG A B C D P E 解3 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 设平面EDB的法向量为 A B C D P E 解4 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 解得x 几何法呢 三 立体几何中的向量方法 垂直关系 二 垂直关系 l m l A B C 例1四面体ABCD的六条棱长相等 AB CD的中点分别是M N 求证MN AB MN CD 证1立几法 例1四面体ABCD的六条棱长相等 AB CD的中点分别是M N 求证MN AB MN CD 证2 MN AB 同理MN CD 例1四面体ABCD的六条棱长相等 AB CD的中点分别是M N 求证MN AB MN CD 证3如图所示建立空间直角坐标系 设AB 2 x y Z x y 练习棱长为a的正方体中 E F分别是棱AB OA上的动点 且AF BE 求证 Z x y 解 如图所示建立空间直角坐标系 设AF BE b A B C D P E F 证1 如图所示建立空间直角坐标系 设DC 1 A B C D P E F 证2 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系D xyz 所以 证明2 E是AA1中点 例3正方体 平面C1BD 证明 E 求证 平面EBD 设正方体棱长为2 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD 平面EBD 证明2 E E是AA1中点 例3正方体 平面C1BD 求证 平面EBD A B C D P G 3 2 4立体几何中的向量方法 夹角问题 夹角问题 l m l m 夹角问题 l l 夹角问题 夹角问题 解1 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以与所成角的余弦值为 解2 练习空间四边形ABCD中 AB BC CD AB BC BC CD AB与CD成600角 求AD与BC所成的角大小 例 的棱长为1 解1建立直角坐标系 例 的棱长为1 解2 例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F A B C D P E F 3 解建立空间直角坐标系 设DC 1 例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F 平面PBC的一个法向量为 解2如图所示建立空间直角坐标系 设DC 1 平面PBD的一个法向量为 G 例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F 解3设DC 1 练习 的棱长为1 解1建立直角坐标系 平面PBD1的一个法向量为 平面CBD1的一个法向量为 的棱长为1 解2 3 2 4立体几何中的向量方法 距离问题 距离问题 1 A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 距离问题 2 点P与直线l的距离为d 则 距离问题 3 点P与平面 的距离为d 则 d 距离问题 4 平面 与 的距离为d 则 例1如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点A为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解 如图1 所以 答 这个晶体的对角线AC1的长是棱长的倍 例1如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点A为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解2 如图1 练习 P107 2 如图 60 的二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 求CD的长 解1 练习 P107 2 如图 60 的二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 求CD的长 解2 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求点E到直线A1B的距离 点E到直线A1B的距离为 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求点E到直线A1B的距离 解2 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求B1到面A1BE的距离 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求B1到面A1BE的距离 等体积法 解2 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求D1C到面A1BE的距离 解1 D1C 面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离 仿上例求得D1C到面A1BE的距离为 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求D1C到面A1BE的距离 等体积法 解2 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 求面A1DB与面D1CB1的距离 解1 面D1CB1 面A1BD D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 求面A1DB与面D1CB1的距离 等体积法 解2 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 求面A1DB与面D1CB1的距离 解3 例如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求异面直线D1B与A1E的距离 作业P1112P1125 A1 E 作业 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 求面A1DB与面D1CB1的距离 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为1 E为D1C1的中点 求异面直线D1B与A1E的距离 例四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 PF FG GC 求证 面AEF 面BDG A B C D P G F E 作业 三棱柱ABC A1B1C1中 D是A1C1中点求证 BC1 面AB1D 选做题 练习 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行 相交- 配套讲稿:
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- 立体几何 中的 向量 方法 平行 垂直
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