锐角三角函数培优讲义.doc
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讲义编号: 组长签字: 签字日期: 学员编号: 年 级:初三 课时数:3学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:课 题锐角三角函数授课日期及时段教学目标锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值重点、难点特殊角三角函数值教 学 内 容一、 疑难讲解2、 知识点梳理1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是: (1) 正弦定义:在直角三角形中ABC,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sin A = , (2)余弦的定义:在直角三角行ABC,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即cos A = ,(3)正切的定义:在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即 tan A = ,这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角A必须在直角三角形中,且C=900; (2)在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则,不存在上述关系注意:(1)sin,cos,tan都是一个完整的符号,单独的 “sin”没有意义,其中前面的“”一般省略不写;但当用三个大写字母表示一个角时,“”的符号就不能省略.(2)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的,实际上是两条边的比,它们是正实数,没单位,其大小只与角的大小有关,而与所在直角三角形无关。2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系:(1)平方关系: sin2A + cos2A = 1;4、互为余角的两个三角函数关系若A+B=90,则sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函数: 00300450600sin0cos1tan01(1)锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小);(2)锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加);(3)锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。3、 典型例题 考点一:锐角三角函数的定义1、在RtABC中,C=90,cosB=,则AC:BC:AB=( )A、3:4:5 B、5:3:4 C、4:3:5 D、3:5:42、已知锐角,cos=,sin=_,tan=_。3、在ABC中,C=90,若4a=3c,则cosB=_.tanA = _。4、在ABC中,C=90,AB=15,sinA=,则BC等于_。5、在ABC中,C=90,若把AB、BC都扩大n倍,则cosB的值为( )A、ncosBB、cosBC、D、不变考点二:求某个锐角的三角函数值关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图,在矩形中,是边上的点,垂足为,连接。(1)求证:;(2)如果,求的值。2、如图,在ABC中,A=60,B=45,AB=8,求ABC面积(结果可保留根号)。3、如图(1),的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一个点P(3,4),则sin=_4、如图(2)所示,在正方形网格中,sinAOB等于( )A、B、C、D、25、如图(3),在中,于,若,则的值为( )A、 B、 C、D、6、如图(5),A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB,则tanB的值为( )A、B、C、D、7、如图(6),菱形ABCD的边长为10cm,DEAB,则这个菱形的面积= cm2。8、如图,在RtABC中,C=90,sinB=,点D在BC边上,且ADC=45,DC=6,求BAD的正切值。9、如图,在正方形ABCD中,M为AD的中点,E为AB上一点,且BE=3AE,求sinECM。10、如图,在梯形ABCD中,ABDC,BCD=90,AB=1,BC=2,tanADC=2。(1)求证:DC=BC(2)E是梯形ABCD内一点,F是梯形ABCD外一点,且EDC=FBC,DE=BF,是判断ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,BEC=135时,求sinBFE的值。考点三:利用特殊角的三角函数值进行计算1、计算:(1)(2)(3)(4)sin45cos302、B是RtABC中的一个内角,且sinB=,则cos=( )A、 B、 C、 D、3、在ABC中,a=3,b=4,C=60,则ABC的面积为_。4、RtABC中,C=90,c=12,tanB=,则ABC的面积为( )A、36 B、18 C、16 D、185、如图所示,在直角坐标系中,OP=4,OP与轴正半轴的夹角为30,则点P的坐标为( )A、(2、)B、(,2)C、(2,)D、(,2)6、在菱形ABCD中,已知其周长为16 cm,较短对角线长为4 cm,求菱形较小角的正弦值和余弦值。7、如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2,AOB=60。(1)求点A坐标;(2)若直线AB交轴于点C,求AOC的面积。考点四:已知一个特殊角的正、余弦值或正切值,求相应的锐角1、cosA = ,A为锐角,则A =_;2cos(-100) = 1,则锐角 =_。2、若tanA的值是方程的一个根,则锐角A=( )A、30或45 B、30或60 C、45或60 D、60或903、若2cosA=0,则锐角A=_。4、在RtABC,C=90,BC=,AC=,则A等于( )A、90B、60C、45D、305、在ABC中,锐角A,B满足(sinA-)2+cosB-=0,则ABC是( )A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形6、若B是RtABC的一个内角,sinB=,则cos的值是( )A、B、C、D、考点五:锐角三角函数的增减性1、当090时,和随的增大而增大,随的增大而减小。2、锐角三角函数的取值范围:01,01,0。1、当锐角A45时,的值为( )A、大于B、小于C、小于D、大于2、当锐角A的时,A的值为( )A、小于45B、小于30C、大于45D、大于303、当锐角A60时,的值为( )A、小于B、小于C、大于D、大于4、已知sin,则的取值范围是( )A、30 B、3090 C、030 D、0305、比较大小:(1)18_18.3(2)31_32(3)30_896、比较大小:sin20_sin25;cos50_cos70。考点六:锐角三角函数间的转换1、2、若A与B互余,3、1、当sinA=cosA时,A=_。2、已知为锐角,且sin,则cos=_。3、cos(60)=sin(_)。(090)4、若sin10=cosA,则锐角A=( )A、10 B、80 C、10或20 D、不确定5、已知36,则锐角=_。四、课堂练习1、 已知在ABC中,A、B是锐角,且sinA,tanB=2,AB=29cm,则SABC = 思路点拨 过C作CDAB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=,tanB=,设CD=5m,AC13m,CD2n,BDn,解题的关键是求出m、n的值2、 在ABC中ACB90,ABC15,BC=1,则AC=( ) A B C0.3 D思路点拨 由15构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化3、如图,已知ABC是等腰直角三角形,ACB90,过BC的中点D作DEAB于E,连结CE,求sinACE的值思路点拨 作垂线把ACE变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比4、如图,在ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cosDAC, (1)求证:ACBD; (2)若sinC=,BC=12,求AD的长思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明;(2) sinC=,引入参数可设AD=12,AC135、 已知:在RtABC中,C=90,sinA、sinB是方程的两个根 (1)求实数、应满足的条件; (2)若、满足(1)的条件,方程的两个根是否等于RtABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式,注意判别式、三角函数值的有界性,建立严密约束条件的不等式,才能准确求出实数、应满足的条件6已知为锐角,下列结论sin+cos=l;如果45,那么sincos;如果cos ,那么60; 正确的有 7如图,在菱形ABCD中,AEBC于E,BC=1,cosB=,则这个菱形的面积为 8如图,C=90,DBC=30,ABBD,利用此图可求得tan75= 9化简: (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 10身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低11已知 sincos=,且045则co-sin的值为( ) A B C D12在ABC中,C90,ABC30,D是AC的中点,则ctgDBC的值是( ) A B C D 13在等腰RtABC中C90,AC6,D是AC上一点,若tanDBA=,则AD的长为( ) A B2 C 1 D14已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦,求m的值15D是ABC的边AC上的一点,CD=2AD,AEBC于E,若BD8,sinCBD=,求AE的长 16若045,且sincon=,则sin= 17已知关于的方程有两个不相等的实数根,为锐角,那么的取值范围是 18已知是ABC的三边,a、b、c满足等式,且有,则sinA+sinB+sinC的值为 19设为锐角,且满足sin=3cos,则sincos等于( ) A B C D 20如图,若两条宽度为1的带子相交成30的角,则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A2 B C1 D 21如图,在ABC中,A30,tanB=,AC=,则AB的长是( ) A B C5 D22己在ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,且c=,若关于的方程有两个相等的实根,又方程的两实根的平方和为6,求ABC的面积五、课后作业1. 如图,沿折叠矩形纸片,使点落在边的点处已知,AB=8,则的值为 ( ) 图52. 如图,在直角坐标系中,将矩形沿对折,使点 落在处,已知,则点的坐标是( ) (1) (2) (3) (4) (5)3. 如图,在等腰直角三角形中,为上一点,若 ,则的长为( )A B C D 4. 如图,中,,是直角边上的点,且, ,则边的长为 5. 如图,在矩形中,、分别为、的中点,若,四边形的周长为,则矩形的面积为 _6. 如下图所示,中,于,则_7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半,则底角的余弦值为_.8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、,那么它的底角为A.15 B.30 C.45 D.609. ABC中,A=60,AB=6 cm,AC=4 cm,则ABC的面积是A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm210. 在菱形ABCD中,AC=4,则BD的长是 ( ) 11、当时,下列关系式中有且仅有一个正确A B C 正确的选项是 ; 如图1,中,请利用此图证明中的结论; 两块分别含和的直角三角板如图2方式放置在同一平面内,求.- 配套讲稿:
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- 锐角 三角函数 讲义
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