锐角三角函数培优讲义.doc

讲义编号： 组长签字： 签字日期： 学员编号： 年 级：初三 课时数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题锐角三角函数授课日期及时段教学目标锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值重点、难点特殊角三角函数值教 学 内 容一、 疑难讲解2、 知识点梳理1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A = , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A = ,（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即 tan A = ，这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A必须在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系注意：（1）sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“”的符号就不能省略.（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；4、互为余角的两个三角函数关系若A+B=90，则sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函数： 00300450600sin0cos1tan01（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。3、 典型例题 考点一：锐角三角函数的定义1、在RtABC中，C=90，cosB=，则AC：BC：AB=（ ）A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：42、已知锐角，cos=，sin=_，tan=_。3、在ABC中，C=90，若4a=3c，则cosB=_.tanA = _。4、在ABC中，C=90，AB=15，sinA=，则BC等于_。5、在ABC中，C=90，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）A、ncosBB、cosBC、D、不变考点二：求某个锐角的三角函数值关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形中，是边上的点，垂足为，连接。（1）求证：；（2）如果，求的值。2、如图，在ABC中，A=60，B=45，AB=8，求ABC面积（结果可保留根号）。3、如图（1），的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sin=_4、如图（2）所示，在正方形网格中，sinAOB等于（ ）A、B、C、D、25、如图（3），在中，于，若，则的值为（ ）A、 B、 C、D、6、如图（5），A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（ ）A、B、C、D、7、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积= cm2。8、如图，在RtABC中，C=90，sinB=，点D在BC边上，且ADC=45，DC=6，求BAD的正切值。9、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sinECM。10、如图，在梯形ABCD中，ABDC，BCD=90，AB=1，BC=2，tanADC=2。（1）求证：DC=BC（2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且EDC=FBC，DE=BF，是判断ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，BEC=135时，求sinBFE的值。考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算1、计算：（1）（2）（3）（4）sin45cos302、B是RtABC中的一个内角，且sinB=，则cos=（ ）A、 B、 C、 D、3、在ABC中，a=3，b=4，C=60，则ABC的面积为_。4、RtABC中，C=90，c=12，tanB=，则ABC的面积为（ ）A、36 B、18 C、16 D、185、如图所示，在直角坐标系中，OP=4，OP与轴正半轴的夹角为30，则点P的坐标为（ ）A、（2、）B、（，2）C、（2，）D、（，2）6、在菱形ABCD中，已知其周长为16 cm，较短对角线长为4 cm，求菱形较小角的正弦值和余弦值。7、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为（3，0），OA=2，AOB=60。（1）求点A坐标；（2）若直线AB交轴于点C，求AOC的面积。考点四：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值，求相应的锐角1、cosA = ，A为锐角，则A =_；2cos(-100) = 1，则锐角 =_。2、若tanA的值是方程的一个根，则锐角A=（ ）A、30或45 B、30或60 C、45或60 D、60或903、若2cosA=0，则锐角A=_。4、在RtABC，C=90，BC=，AC=，则A等于（ ）A、90B、60C、45D、305、在ABC中，锐角A，B满足（sinA-）2+cosB-=0，则ABC是（ ）A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形6、若B是RtABC的一个内角，sinB=，则cos的值是（ ）A、B、C、D、考点五：锐角三角函数的增减性1、当090时，和随的增大而增大，随的增大而减小。2、锐角三角函数的取值范围：01，01，0。1、当锐角A45时，的值为（ ）A、大于B、小于C、小于D、大于2、当锐角A的时，A的值为（ ）A、小于45B、小于30C、大于45D、大于303、当锐角A60时，的值为（ ）A、小于B、小于C、大于D、大于4、已知sin，则的取值范围是（ ）A、30 B、3090 C、030 D、0305、比较大小：（1）18_18.3（2）31_32（3）30_896、比较大小：sin20_sin25；cos50_cos70。考点六：锐角三角函数间的转换1、2、若A与B互余，3、1、当sinA=cosA时，A=_。2、已知为锐角，且sin，则cos=_。3、cos（60）=sin（_）。（090）4、若sin10=cosA，则锐角A=（ ）A、10 B、80 C、10或20 D、不确定5、已知36，则锐角=_。四、课堂练习1、 已知在ABC中，A、B是锐角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，则SABC = 思路点拨 过C作CDAB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解题的关键是求出m、n的值2、 在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，则AC=( ) A B C0.3 D思路点拨 由15构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化3、如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，过BC的中点D作DEAB于E，连结CE，求sinACE的值思路点拨 作垂线把ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比4、如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC， (1)求证：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的长思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC135、 已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程的两个根 (1)求实数、应满足的条件； (2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于RtABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件6已知为锐角，下列结论sin+cos=l；如果>45，那么sin>cos；如果cos> ，那么<60； 正确的有 7如图，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB=，则这个菱形的面积为 8如图，C=90，DBC=30，ABBD，利用此图可求得tan75= 9化简: (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 10身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低11已知 sincos=，且0<<45则co-sin的值为( ) A B C D12在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中点，则ctgDBC的值是( ) A B C D 13在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为( ) A B2 C 1 D14已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值15D是ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的长 16若0<<45，且sincon=，则sin= 17已知关于的方程有两个不相等的实数根，为锐角，那么的取值范围是 18已知是ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为 19设为锐角，且满足sin=3cos，则sincos等于( ) A B C D 20如图，若两条宽度为1的带子相交成30的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A2 B C1 D 21如图，在ABC中，A30，tanB=，AC=，则AB的长是( ) A B C5 D22己在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且c=，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实根的平方和为6，求ABC的面积五、课后作业1. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，AB=8,则的值为 ( ) 图52. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点 落在处，已知，则点的坐标是（ ） （1） （2） (3) (4) (5)3. 如图，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的长为( )A B C D 4. 如图，中，,是直角边上的点，且, ，则边的长为 5. 如图，在矩形中，、分别为、的中点，若，四边形的周长为，则矩形的面积为 _6. 如下图所示，中，于，则_7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为_.8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、，那么它的底角为A.15 B.30 C.45 D.609. ABC中，A=60，AB=6 cm，AC=4 cm，则ABC的面积是A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm210. 在菱形ABCD中，AC=4,则BD的长是 （ ） 11、当时，下列关系式中有且仅有一个正确A B C 正确的选项是 ； 如图1，中，请利用此图证明中的结论； 两块分别含和的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，求.