高中数学 3.4生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1.ppt
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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修1 11 2 导数及其应用 第三章 3 4生活中的优化问题举例 第三章 1 了解导数在实际问题中的应用 对给出的实际问题 如使利润最大 效率最高 用料最省等问题 体会导数在解决实际问题中的作用 2 能利用导数求出某些特殊问题的最值 重点 利用导数知识解决实际中的最优化问题 难点 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 思维导航1 生活中 我们经常遇到面积 体积最大 周长最小 利润最大 用料最省 费用最低 效率最高等等一系列问题 这些问题通常统称为优化问题 解决这些问题的基本思路 途径 过程是什么 优化问题 新知导学1 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中 的取值范围 2 实际优化问题中 若只有一个极值点 则极值点就是 点 3 解决优化问题的基本思路 自变量 最优 答案 C 点评 利用导数求函数最值时 令y 0得到x的值 此x的值不一定是极大 小 值时 还要判定x值左 右两边的导数的符号才能确定 答案 D 3 某公司的盈利y 元 和时间x 天 的函数关系是y f x 假设f x 0恒成立 且f 10 10 f 20 1 则这些数据说明第20天与第10天比较 A 公司已经亏损B 公司的盈利在增加 且增加的幅度变大C 公司在亏损且亏损幅度变小D 公司的盈利在增加 但增加的幅度变小 答案 D 解析 导数为正说明盈利是增加的 导数变小说明增加的幅度变小了 但还是增加的 4 在周长为l的矩形中 面积的最大值为 有一块边长为a的正方形铁板 现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形 做成一个长方体形的无盖容器 为使其容积最大 截下的小正方形边长应为多少 面积 容积最大问题 方法规律总结 1 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小 最大 小 者为最大 小 值 4 把所得数学结论回归到数学问题中 看是否符合实际情况并下结论 其基本流程是 2 面积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 已知矩形的两个顶点位于x轴上 另两个顶点位于抛物线y 4 x2在x轴上方的曲线上 求这个矩形面积最大时的长和宽 解析 如图所示 设出AD的长 进而求出AB 表示出面积S 然后利用导数求最值 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为13万元 辆 年销售量为5000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适当增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为0 7x 年销售量也相应增加 已知年利润 每辆车的出厂价 每辆车的投入成本 年销售量 利润最大问题 解析 1 由题意得 本年度每辆车的投入成本为10 1 x 出厂价为13 1 0 7x 年销售量为5000 1 0 4x 因此本年度的年利润为 p 13 1 0 7x 10 1 x 5000 1 0 4x 3 0 9x 5000 1 0 4x 1800 x2 1500 x 15000 0 x 1 方法规律总结 利润最大 效率最高等实际问题 关键是弄清问题的实际背景 将实际问题用函数关系表达 再求解 费用 用料 最省问题 分析 1 汽车的耗油量关于行驶速度x的函数解析式是什么 其定义域是什么 2 利用什么方法求出上述函数的最小值 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80km h的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25L 方法规律总结 本题属于费用最低问题 此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式 利用导数求其最值时 要注意函数的定义域的限制 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其他三边要砌新的墙壁 要使砌墙所用的材料最省 堆料场的长 宽应分别为 答案 16m8m 含参数的函数求最值时 注意极值与参数取值的关系甲 乙两地相距skm 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过ckm h 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v km h 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v km h 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶- 配套讲稿:
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