高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题课件 文.ppt
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3.2 导数的应用,课时3 导数与函数的综合问题,内容索引,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,题型二 利用导数解决函数零点问题,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,审题路线图系列,练出高分,思想方法 感悟提高,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,命题点1 解不等式,又(2)0,当且仅当00,此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数,h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(,2)(0,2).,(,2)(0,2),解析答案,命题点2 证明不等式,解析答案,又F(0)0,F(1)0,所以当x0,1时,F(x)0,,解析答案,记H(x)sin xx, 则当x(0,1)时,H(x)cos x10, 所以H(x)在0,1上是减函数, 则H(x)H(0)0,即sin xx.,命题点3 不等式恒成立问题,解析答案,思维升华,又x0,axln xx3, 令g(x)xln xx3, 则h(x)g(x)1ln x3x2,,当x(1,)时,h(x)0, h(x)在(1,)上是减函数, h(x)h(1)20,即g(x)0. g(x)在(1,)上也是减函数,g(x)g(1)1, 当a1时,f(x)x2在(1,)上恒成立,思维升华,思维升华,(1)利用导数解不等式,一般可构造函数,利用已知条件确定函数单调性解不等式; (2)证明不等式f(x)g(x),可构造函数F(x)f(x)g(x),利用导数求F(x)的值域,得到F(x)0即可; (3)利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,设aR,已知函数f(x)ax33x2. (1)当a1时,求函数f(x)的单调区间;,跟踪训练1,解析答案,解 当a1时,f(x)x33x2, 则f(x)3x26x. 由f(x)0,得x2;由f(x)0,得0x2. 所以f(x)的单调递增区间为(,0),(2,),单调递减区间为(0,2),(2)若对任意的x1,3,有f(x)f(x)0恒成立,求实数a的取值范围,解析答案,返回,返回,解 依题意,对x1,3,ax33x23ax26x0恒成立,,所以h(x)在区间1,3上是减函数,,题型二 利用导数解决函数零点问题,题型二 利用导数解决函数零点问题,例4 (2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2,曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a; 解 f(x)3x26xa,f(0)a. 曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.,解析答案,(2)证明:当k1时,曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,解析答案,思维升华,证明 由(1)知,f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时,g(x)3x26x1k0,g(x)单调递增, g(1)k10时,令h(x)x33x24, 则g(x)h(x)(1k)xh(x).,解析答案,思维升华,h(x)3x26x3x(x2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增, 所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0,)没有实根. 综上,g(x)0在R有唯一实根, 即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,思维升华,思维升华,研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.,已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点,求b的取值范围. 解 f(x)x(2cos x), 令f(x)0,得x0. 当x0时,f(x)0,f(x)在(0,)上递增. 当x1时,曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点. 综上可知,b的取值范围是(1,).,跟踪训练2,解析答案,返回,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,(1)求a的值; 解 因为x5时,y11,,解析答案,(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解析答案,思维升华,解 由(1)可知,该商品每日的销售量为,从而,f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,解析答案,思维升华,由上表可得,x4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值. 所以,当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,思维升华,思维升华,在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.,解析 由yx239x400, 得x1或x40, 由于040时,y0. 所以当x40时,y有最小值.,40,跟踪训练3,解析答案,返回,审题路线图系列,(1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;,审题路线图系列,一审条件挖隐含,审题路线图,解析答案,返回,温馨提醒,审题路线图,(1)存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minM 求得M的最大整数值,审题路线图,解析答案,温馨提醒,(2)对任意s,t ,2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分离参数a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1,解析答案,温馨提醒,规范解答 解 (1)存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,等价于g(x1)g(x2)maxM. 2分,g(x)maxg(2)1.,又x0,2,,解析答案,温馨提醒,则满足条件的最大整数M4. 6分,解析答案,温馨提醒,所以h(x)maxh(1)1, 13分 所以a1,即实数a的取值范围是1,). 14分,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质,深刻挖掘条件内含,进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法,解题过程中尽量采用分离参数的方法,转化为求函数的值域问题.,思想方法 感悟提高,1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时,找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口. 2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用. 3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.,方法与技巧,1.利用导数解决恒成立问题时,若分离参数后得到“af(x)恒成立”,要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到. 2.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由(1)得x(x2)ax在区间(,0上恒成立. 当x0时,aR; 当x0时,有x2a恒成立, 所以a2.故a2.,由(2)得ln(x1)ax0在区间(0,)上恒成立, 设h(x)ln(x1)ax(x0),,解析答案,当a0时,h(x)0,故h(x)为增函数, 所以h(x)h(0)0恒成立;,故h(x)为减函数, 所以h(x)h(0)0恒成立,显然不符合题意;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当00,满足h(x0)ln(x01)ax00成立.,则h(x0)ln 520成立,可知0a1时,不符合题意. 故a0. 由可知a的取值范围是2,0. 答案 2,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 构造函数h(x)xf(x), 则h(x)f(x)xf(x) yf(x)是定义在R上的奇函数, h(x)是定义在R上的偶函数 当x0时,h(x)f(x)xf(x)0, 此时函数h(x)单调递增,3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:yx327x123(x0),则获得最大利润时的年产量为_百万件. 解析 y3x2273(x3)(x3), 当00; 当x3时,y0. 故当x3时,该商品的年利润最大.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值为_. 解析 由题意得f(x)12x22ax2b. f(x)在x1处有极值, f(1)122a2b0,ab6. a0,b0,,9,当且仅当ab3时取等号, 易知此时f(x)在x1处有极小值,满足题意,ab的最大值为9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以2x2b0,于x22a0在x(a,b)上恒成立. x22a0的解集为,解析 由题意知f(x)x22a,g(x)2x2b, 函数f(x)与g(x)在区间(a,b)上单调性相反, 则有(x22a)(2x2b)0在x(a,b)上恒成立,又0ab,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 f(x)2axb,f(0)b0.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数,其导函数为f(x),且有2f(x)xf(x)x2,则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由2f(x)xf(x)x2,x0, 即为F(x2 014)F(2)0,即F(x2 014)F(2), 又因为F(x)在(,0)上是减函数, 所以x2 0142,所以x2 016. 答案 (,2 016),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若对于任意实数x0,函数f(x)exax恒大于零,则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 当x0时,f(x)exax0恒成立. 若x0,a为任意实数,f(x)exax0恒成立. 若x0,f(x)exax0恒成立,,当x(0,1)时,Q(x)0,则Q(x)在(0,1)上单调递增, 当x(1,)时,Q(x)0恒成立,a的取值范围为(e,). 答案 (e,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR. (1)求f(x)的单调区间与极值;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 由f(x)ex2x2a,xR, 知f(x)ex2,xR. 令f(x)0,得xln 2. 于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,故f(x)的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是(ln 2,), f(x)在xln 2处取得极小值, 极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求证:当aln 21且x0时,exx22ax1. 证明 设g(x)exx22ax1,xR, 于是g(x)ex2x2a,xR. 由(1)知当aln 21时,g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR,都有g(x)0, 所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln 21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0). 而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0. 即exx22ax10,故当aln 21且x0时,exx22ax1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元, 底面的总成本为160r2元, 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元. 又根据题意200rh160r212 000,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.,令V(r)0,解得r5或5(因为r5不在定义域内,舍去). 当r(0,5)时,V(r)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;,由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8. 即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.设函数f(x)ax2bxc(a,b,cR).若x1为函数g(x)f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)的图象的是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,ca0,ca.f(x)ax2bxa. 若方程ax2bxa0有两根x1,x2,,答案 ,解析 设h(x)f(x)ex, 则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex. 由x1为函数f(x)ex的一个极值点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立,则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,g(x)与g(x)随x的变化情况如下表:,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,因此g(x)的最大值为4, 则实数a的取值范围是4,). 答案 4,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是_.,解析 a0时,不符合题意, a0时,f(x)3ax26x,,若a0,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意. 则a0知,,化简得a24,又a0,所以a2.,(,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.设函数f(x)a2ln xx2ax,a0. (1)求f(x)的单调区间; 解 因为f(x)a2ln xx2ax,其中x0,,由于a0, 所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求所有的实数a,使e1f(x)e2对x1,e恒成立. 解 由题意得f(1)a1e1,即ae. 由(1)知f(x)在1,e内单调递增, 要使e1f(x)e2对x1,e恒成立.,解得ae.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0,得x1, 因此函数f(x)的单调递增区间是(1,) 令f(x)0,得0x1, 因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1) 综上,f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,(2)设mR,对任意的a(1,1),总存在x01,e,使得不等式maf(x0)0成立,求实数m的取值范围,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 依题意,maf(x)max. 由(1)知,f(x)在x1,e上是增函数,返回,- 配套讲稿:
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