微分中值定理及洛必塔法则.ppt
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4.1中值定理,4.1.1中值定理,4.1.2洛必塔法则,如果函数满足条件:,则在区间内至少存在一点,使,定理4.1(罗尔定理),4.1.1中值定理,几何解释:,例设,在区间显然满足罗尔定理前两个条件.且,即第三个条件也成立,例1验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件,并求出满足的,解因是多项式,所以在上可导,故在上连续,且在可导.,容易验证,因此,满足罗尔定理的三个条件.,而,练习一下列函数在指定的区间上是否满足罗尔定理的条件?如满足,就求出定理中的.,定理4.2(拉格朗日Lagrange定理),则在区间内至少有一点,使得,.,如果函数满足条件:,几何解释:,就是满足定理结论的点.,还有下面两个推论:,推论1如果函数在区间内任一点的导数都等于零,则在内是一个常数.,例2验证函数在区间上满足拉格朗日定理.,例3证明:在区间内,练习二下列函数在指定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件?如满足,就求出定理中的.,定义如果当(或)时,两个函数与都趋于零或都趋于无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限称为或未定式。,例如,4.1.2洛必塔法则,(2)与在点的某个领域内(点可除外)可导,且;,(1),;,(3)(或),1.型未定式,则(或),例1求.,解当时,有和,这是型未定式由洛必达法则,例2求,解当时,有和,这是型未定式.由罗必达法则,当时,有和,仍是型未定式再用罗必达法则,例3求,解当时,有和,这是型未定式.由罗必达法则,1.型未定式,则或,解当时,有和,这是型未定式.由罗必达法则,例4求,例5求,解当时,有和,这是型未定式由罗必达法则,练习三利用洛必达法则求下列极限,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.,步骤:,3.型未定式,例6,解,例7求(型),解,(已化为型),例8,解,步骤:,例9求型.,已化为型,解,例10,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意:洛必达法则的使用条件,练习四利用洛必达法则求下列极限.,三、小结:,- 配套讲稿:
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