山东省烟台市栖霞市高三上期末数学试卷文科解析版

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1、2015-2016学年山东省烟台市栖霞市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|y=lnx，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】化简集合A、B，求出UA，再求（UA）B【解答】解：全集U=R，A=y|y=2x+1=y|y1=（1，+），B=x|y=lnx=x|x0=（0，+），UA=（，1，（UA）B=（0，1故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问

2、题，是基础题目2在ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值为（）AB或CD或【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数【解答】解：cosB=，a2+c2b2=2accosB，代入已知等式得：2accosBtanB=ac，即sinB=，则B=或故选：B【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3不等式（x）（+x）0的解集为（）A（，）（，+）B（，）C（，）（，+）D（，）【考点】一

3、元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用【分析】根据一元二次不等式解法，进行求解；【解答】解：不等式（x）（+x）0，即不等式（x）（x+）0解得x或x，故不等式的解集为（，）（，+），故选：A【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，及其应用，是一道基础题4已知点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，则3x+4y的最小值为（）A5B1C0D5【考点】圆方程的综合应用【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆【分析】利用三角变换化简所求表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求出最小值【解答】解：点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，令x=cos，y=sin

4、，3x+4y=3cos+4sin=5（cos+sin）=5sin（+），其中tan=5sin（+）5可得3x+4y的最小值为：5故选：D【点评】本题考查圆的方程的综合应用，考查计算能力5已知函数f（x）=3sin（x）（0）和g（x）=2cos（2x+）+1的图象的对称轴完全相同，若x0，则f（x）的取值范围是（）A3，3B，C，D，3【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】先根据函数f（x）=3sin（x）和g（x）=2cos（2x+）+1的图象的对称轴完全相同确定的值，再由x的范围确定x的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案【解答】解

5、：由题意可得=2，x0，x=2x，由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin（）=，最大值为3sin=3，所以f（x）的取值范围是，3，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，属于基础题6函数y=的图象大致是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【专题】数形结合【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项【解答】解：f（x）=f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题

6、的关键7已知函数f（x）=，则f（2016）=（）A2016BC2017D【考点】分段函数的应用【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用x0时函数的递推关系式，通过分段函数求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，则f（2016）=f（2015）+1=f（2014）+2=f（0）+2016=f（1）+2017=故选：D【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力8若，均为单位向量， =， =x+y（x，yR），则x+y的最大值是（）A1BCD2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；判别式法；平面向量及应用【分析】由题设知=

7、（x+y）2=x2+y2+2xy=x2+y2xy=1，设x+y=t，y=tx，得8x28tx+3t23=0，由方程8x28tx+3t23=0有解，知0，由此能求出x+y的最大值【解答】解：，均为单位向量， =， =x+y（x，yR），=（x+y）2=x2+y2+2xy=x2+y2xy=1设x+y=t，y=tx，得：x2+（tx）2x（tx）1=0，8x28tx+3t23=0，方程8x28tx+3t23=0有解，=64t2483（t21）0，即t23，t，x+y的最大值为故选：B【点评】本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用9点F是抛物线：

8、x2=2py（p0）的焦点，F1是双曲线C： =1（a0，b0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），F（0，），F1（c，0）线段FF1的中点P（，），=， =，a2=8b2，c2=9b2，e=故选：D【点评】本题考查双曲线

9、C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键10已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（x）的导数f（x）2（xR），则不等式f（x）2x1的解集为（）A（，1）B（1，+）C（1，2）D（，1）（1，+）【考点】导数的运算【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】构造函数g（x）=f（x）2x+1，g（x）=f（x）20，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=1，可求得g（1）=0，然后求出不等式的解集即可【解答】解：令g（x）=f（x）2x+1，f（x）2（xR），g（x）=f（x）20，g（x）=f（x）2x+1为减函数，

10、又f（1）=1，g（1）=f（1）2+1=0，不等式f（x）2x1的解集g（x）=f（x）2x+10=g（1）的解集，即g（x）g（1），又g（x）=f（x）2x+1为减函数，x1，即x（1，+）故选：B【点评】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11在等差数列an中，a1=2，a3+a5=10，则a7=8【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的性质结合已知求得2a4=10，再由a1，a4，a7成等差数列求得a7【解答】解：在等差数列an中，由a3

11、+a5=10，得2a4=10，又a1=2，a7=2a4a1=102=8故答案为：8【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题12某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为82【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，且正方体的棱长为2，圆柱体的底面圆半径为2，高为2；该几何体的体积为V=V正方体V圆柱体=23222=82故答案为：

12、82【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目13已知实数x，y满足约束条件，设不等式组所表示的平面区域D，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是a【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出区域D，直线y=a（x+1）表示过点A（1，0）且斜率为a的直线，数形结合可得【解答】解：作出约束条件所对应的可行域D（如图阴影），直线y=a（x+1）表示过点A（1，0）且斜率为a的直线，联立可解得，即B（3，3），由斜率公式可得a=，结合图象可得要使直线y=a（x+1）与区域D有公共点需a，故答案

13、为：a【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题14已知点A（1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为=2；故答案为：2【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题15已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于xR，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x20，2且x1x2时，都有0，给出下列四个命题：f（2）=0；直

14、线x=4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；函数y=f（x）在4，6上为增函数；函数y=f（x）在（8，6上有四个零点其中所有正确命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用【专题】数形结合；转化法；简易逻辑【分析】令x=2，可得f（2）=0，从而可判断；由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，再利用f（x）是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判断；依题意知，函数y=f（x）在0，2上为减函数结合函数的周期性，从而可判断；由题意可知，y作出函数在（8，6上有的图象，从而可判断【解答】解：对于任意xR，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=2，则f（2+4）=f（

15、2）+f （2）=f（2），即f（2）=0，即正确；：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，又f（x）是R上的偶函数，f（x+4）=f（x），而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（4+x），f（x）=f（x4），f（4x）=f（4+x），则直线x=4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即正确；：当x1，x20，2，且x1x2时，都有0，函数y=f（x）在0，2上为减函数，而f（x）的周期为4，函数y=f（x）在4，6上为减函数，故错误；：f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在0，2上为增函数，在2，0上为减函数，作出函数在（8，6上的图象如图：则函数y=

16、f（x）在（8，6上有4个零点，故正确故答案为【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题三、解答题：本大题共6个大题，共75分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16已知函数f（x）=sin（x+）（0，）图象的一个对称中心为（，0），且图象上相邻两条对称轴间的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）=（），求cos（+）的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由题意和三角函数图象特点可得周期，可得=2，代点计算可得=，可得解析式

17、为f（x）=sin（2x）；（2）由题意可得sin（）=，由同角三角函数基本关系可得cos（）=，代入cos（+）=sin=sin（）+=sin（）+cos（）计算可得【解答】解：（1）函数f（x）=sin（x+）图象的一个对称中心为（，0），sin（+）=0，又图象上相邻两条对称轴间的距离为，周期T满足T=2，解得=2， sin（+）=0，结合可得=，故f（x）=sin（2x）；（2）f（）=sin（）=，sin（）=，又，0，故cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）+cos（）=+=【点评】本题考查三角函数解析式的求解和三角函数公式，属中档题17设正项等比数列an的首

18、项，前n项和为Sn，且210S30（210+1）S20+S10=0（）求an的通项；（）求nSn的前n项和Tn【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【专题】计算题；压轴题【分析】（）由210S30（210+1）S20+S10=0得210（S30S20）=S20S10，由此可推出（）由题设知数列nSn的前n项和，由此可知答案【解答】解：（）由210S30（210+1）S20+S10=0得210（S30S20）=S20S10，即210（a21+a22+a30）=a11+a12+a20，可得210q10（a11+a12+a20）=a11+a12+a20因为an0，所以210q10=1，解得，因而（）

19、由题意知则数列nSn的前n项和，前两式相减，得=即【点评】本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，BAC=90，点D是棱B1C1的中点（1）求证：A1D平面BB1C1C；（2）求证：AB1平面A1DC；（3）求三棱锥C1A1CD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）先证明AA1平面ABC，可得CC1AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD平面BCC

20、1B1；（2）利用三角形中位线的性质，证明A1BOD，利用线面平行的判定定理证明A1B平面AC1D；（3）利用等体积转化法求解三棱锥C1A1CD的体积即可【解答】（1）证明：ACAB=A，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，ACAB=A，AC，AB平面ABC，AA1平面ABCAA1CC1，CC1平面ABC，平面平面BB1C1C平面ABC，平面平面BB1C1C平面A1B1C1，D是B1C1中点，AB=AC=1，A1DB1C1A1D平面BB1C1C；（2）证明：连结A1C，交AC1于点O，连结OD，因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为BC中点，所以OD为A1BC中位线，所以A

21、1BOD，因为OD平面AC1D，AB1平面AC1D，所以A1B平面AC1D（3）由（1）可知A1A三棱柱ABCA1B1C1的高 侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，BAC=90，点D是棱B1C1的中点，即三棱锥C1A1CD的体积为：【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a0）

22、（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用【专题】综合题【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得，当且仅当，即v=10时，等号成立，进而分类讨论可得结论【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=a+0.01v2= 故所求函数及其定义域为，v（

23、0，100（2）依题意知a，v都为正数，故有，当且仅当，即v=10时，等号成立若100，即0a100时，则当v=时，全程运输成本y最小若100，即a100时，则当v（0，100时，有y=函数在v（0，100上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小综上知，为使全程运输成本y最小，当0a100时行驶速度应为v=千米/时；当a100时行驶速度应为v=100千米/时【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值20已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（0，），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m0）（1）求顶

24、点C的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；（2）当m=时，设点P（0，1），过点P作直线l与曲线交于E，F两点，且=，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）令C点坐标为（x，y），QC 直线AC，直线BC的斜率，利用AC，BC所在直线的斜率之积等于m，求出轨迹方程，分类讨论图形（2）求出曲线C的方程，通过直线l的斜率不存在时，以及斜率垂直时，直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），通过得，以及韦达定理求解直线l的方程【解答】解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线

25、AC的斜率，直线BC的斜率，所以有，化简得，所以当m=1时，表示以（0，0）为圆心，为半径的圆，且除去两点；当m1时，轨迹表示焦点在y轴上的椭圆，且除去两点；当1m0时，轨迹表示焦点在x轴上的椭圆，且除去两点；当m0时，轨迹表示焦点在y轴上的双曲线，且除去两点（2）由题意知当时曲线C为，当直线l的斜率不存在时，不符合题意设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理得（3+4k2）x2+8kx8=0设E（x1，y1），F（x2，y2），由得，x1=3x2由韦达定理得，所以，消去x2，解得，所以直线l的方程为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的综合应用，考查计算

26、能力21设函数，其中a0（）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在y=f（x）的图象上，求m的值；（）当a=8时，设F（x）=f（x）+g（x+1），讨论F（x）的单调性；（）在（）的条件下，设，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（I）先得出点P关于直线的对称点（1，0），由题意可得f（1）=0，求出m的值；（II）先求函数定义域，然后对函数求导，再对字

27、母m分类讨论：当m0时，当m0时分别解f（x）0，f（x）0，求解即可（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，再利用OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在【解答】解：（I）令ln（x1）=0，得x=2，点P关于直线的对称点（1，0），f（1）=0， m+4+m=0，m=3（II）F（x）=f（x）+g（x+1）=mx2+2（4+m）x+8lnx，（x0）F（x）=2mx+（8+2m）x+=，x0，x+10，当m0时，8+2mx0，F（x）0，此时，F（x）

28、在（0，+）上是增函数，当m0时，由F（x）0得0x，由F（x）0得x，此时，F（x）在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，综上所述，m0时，8+2mx0，F（x）0，此时，F（x）在（0，+）上是增函数，当m0时，由F（x）0得0x，由F（x）0得x，此时，F（x）在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，（III）由条件（I）知，假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，设P（t，G（t）（t0），则Q（t，t3+t2），OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，=0，即t2+G（t）（t3+t2）=0，（1）当0t2时，G（t）=t3+t2，

29、此时方程为t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4t2+1=0，无解满足条件的P、Q不存在；（2）当t2时，G（t）=aln（t1），此时方程为t2+aln（t1）（t3+t2）=0，化简得=（t+1）ln（t1），设h（x）=（t+1）ln（t1），则h（x）=ln（t1）+，当t2时，h（x）0，h（x）在（2，+）上是增函数，h（x）的值域为（h（2），+），即（0，+）当a0时，方程总有解综上所述，存在满足条件的P、Q，a的取值范围（0，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用