直线的一般式方程和点的对称问题教师版

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1、直线的一般式方程知识点一直线的一般式方程1假设方程Ax+ By+ C= 0表示直线，贝U A、B应满足的条件为()A . A 丰 0 B. B 乒 0C. A B乒 0 D . A2+ B2乒 0答案 D解析 要使Ax + By+ C = 0表示直线，需 A、B不同时为零(包括一个为0,另一个不为0), 显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有 D项正确.2. 直线(2m2 5m+ 2)x- (m2 4)y+ 5m = 0 的倾斜角为 45，贝U m 的值为()A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3答案 D-，一o一 2m2 5m + 2，、入,解析 由碍 m2

2、-4丰0,且奇_ 4= 1,解碍：m= 3或m= 2(舍去).知识点二平行、垂直问题3. 直线mx+ 4y 2= 0与直线2x 5y+ n = 0垂直，垂足为(1, p),贝U n的值为()A. - 12 B. 2 C. 0 D. 10答案 A解析 由两直线垂直得 2m 20= 0, m= 10，将(1, p)代入10x + 4y- 2= 0得p=- 2,将(1, 一2)代入 2x 5y+ n = 0 得 2 + 10+ n= 0, n= 12.4. 点 P(x, y)是直线 l: Ax+ By+ C = 0 外一点，那么方程 Ax+ By + C + (Ax0 + By+ C) =0表示()

3、A .过点P且与l垂直的直线B .过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D .不过点P且与l平行的直线答案 D解析 .点 P(x, y0)不在直线 Ax+ By+ C = 0 上，.二 Ax+ By+ C乒 0, .直线 Ax+ By+ C + (Ax0 + By0+ C) = 0 不经过点 P .又直线 Ax+ By + C + (Axo + Byc)+ C) = 0 与直线 l: Ax+ By + C= 0平行.应选D.知识点三直线一般式方程的应用5.设直线l的方程为(m2 2m 3)x+ (2m2+ m 1)y = 2m 6,根据以下条件分别确定m的值:(1) 1在x轴上的截

4、距是3;(2) 斜率是1.m2 2m 3丰 0,解(1)由题意，得 2m 620=- 3 ,m 一 2m 3由式，得m乒3且m乒1.由式，得 3m2 4m 15= 0,得 m = 3 或 m= |. /. m= - 5.332m2 + m- 1 丰 0,(2)由题意，得 m2 2m 3由式，得 m乒一1且m乒.2mrr=T，2由式，得 3m2 m-4 = 0,得 m= 1 或 m=4./. m= 4.336 .求分别满足以下条件的直线1的一般式方程；3(1) 斜率是4,且与两坐标轴围成的二角形的面积是6;(2) 经过两点 A(1,0), B(m,1);(3) 经过点(4, 3),且在两坐标轴上

5、的截距的绝对值相等.3解(1)设直线1的方程为y= 4x+ b.令x= 0,得y= b.令 y= 0,得 x=- 4b, . . 1 b 4b = 6,解得 b = 土 3.323直线1的方程为y=乎x34化为一般式为 3x 4y 1* 0.,-、_y 0 x1当m乒1时，直线1的方程是y； = ,1 -0 m-1即 y= 7 x i)； m-1当m= 1时，直线l的方程是x= 1.综上，所求直线l的方程是x m 1y 1 = 0或x 1 = 0.3设l在x轴，y轴上的截距分别为 a, b.当a乒0, b乒0时，l的方程为a+b=1.4 3,直线过(4, 3),=a b1.4 3 .一一= 1

6、,a= 1,a= 7,又|a|= |b|,a b解得或a=比.b= 1b= 7当a= b = 0时，直线过原点且过4, 3, l的方程为y= 3x.4综上所述，直线 l的方程为x+ y 1 = 0或x y 7= 0或3x + 4y= 0.课堂练习：7. 直线V2x+ 46y+ 1 = 0的倾斜角是A. 150 B. 30 C. 60 D. 120答案 A解析 直线的斜率k=一半=一*，故其倾斜角为150 .638. 直线5x 2y 10= 0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么有A . a = 2, b= 5 B . a = 2, b= 5C. a = 2, b= 5 D. a = 2

7、, b= 5答案 B一 5.解析 直线5x 2y 10= 0可以化为截距式方程* + = 1,所以a = 2, b=9.两直线11: mxy+ n = 0和l2： nxy+ m= 0在同一坐标系中，那么正确的图形可能是答案 B 解析 化一般式为斜截式，得 li: y= mx+ n, I2： y= nx+ m,可见两条直线的斜 率、截距恰好互换，所以选B.10.直线 mx + ny= 1平行于直线4x+ 3y+ 5= 0且在y轴上的截距为，贝U m、n的值 3分别为A . 4 和 3 B. - 4 和 3C. 4 和一3 D . 4 和一3答案 C解析 由题意得n乒0,于是直线可化为 y=四一-

8、. 由-+得4， n=3.11.直线a+ 2x+ 2ay 1 = 0与直线3ax- y+ 2 = 0垂直，那么实数 a的值是412C. 0或一=D. 一 或可 32 3答案 C解析 当a= 0时，两直线分别为2x 1 = 0, y+ 2 = 0,此时两直线显然垂直； 当a乒0时, a+ 2 一 a + 2a.两直线的斜率分别为一2，3a,所以一a= 1,解得a=一亲.应选C.二、填空题12.直线l与直线m： 3x- y-2 = 0关于x轴对称，那么这两条直线与y轴围成的三角形的面积为.答案3解析由题意可得直线l: 3x+ y-2 = 0,那么直线l, m与y轴1 2 4围成的二角形的面积为 -

9、X 4X -=-.2 3 313. 如果对任何实数 k,直线(3 + k)x+ (1- 2k)y+ 1 + 5k= 0都过一个定点 A,那么点A的坐 标是.答案 (一1,2)解析 解法一：取k= 3,方程为7y- 14= 0, y= 2;取k= 0.5,方程为3.5x + 3.5 = 0, x= 1.所以点 A的坐标是(一1,2);将点A的坐标代入方程得一(3 + k) + 2(1 - 2k) + 1 + 5k= 0,所以直线恒经过点 A.解法二：将k当作未知数，那么方程可写成 (x- 2y+ 5)k+ 3x+ y+ 1= 0.因为对于任意k值，等 式成立，所以x 2y+ 5 = 0,3x+

10、y+ 1 = 0,解得x= 1, y= 2,所以点A的坐标是(一 1,2).14. 直线l与直线3x+ 4y- 7 = 0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,那么 直线l的方程为.答案3x+ 4y2七0解析设l: 3x+ 4y+ m= 0(m丰一7),令y= 0得x=堂；令x= 0得ym1m m =4. ,直线l与两坐标轴围成的二角形的面积为24, .2X -3 X - = 24,.m=24.直线l的方程为3x+ 4y2伞0.三、解答题15. 求满足以下条件的直线方程.(1)经过点A(- 1, -3)，且斜率等于直线 3x+ 8y- 1 = 0斜率的2倍；过点M(0,4)，且与两坐标

11、轴围成三角形的周长为12.3 1解因为3x+ 8y-1= 0可化为y=一牙+ g, 3所以直线3x+ 8y1= 0的斜率为一38 33那么所求直线的斜率 k= 2X 一：=-.84又直线经过点(1 , 3), 3因此所求直线的方程为y + 3 = 3(x+ 1),即 3x+ 4y+ 15 = 0.(2)设直线与x轴的交点为(a,0),因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有 4 + ,a2+ 42 + |a|= 12,解得a =3所以所求直线的方程为3+ y= 1或 土 + 4 = 1,即 4x+ 3y- 12 = 0 或 4x 3y+ 12= 0.16. (1)直线 11: 2x+ (m+

12、1)y+ 4= 0 与直线 12： mx+ 3y 2= 0 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 11： (a+ 2)x+ (1 - a)y- 1 = 0 与直线 12： (a 1)x + (2a+ 3)y+ 2 =0互相垂直？解由 11： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,12： mx + 3y 2 = 0 知： 当m= 0时，显然11与12不平行. 当m乒0时，11 II 12,需一=乒 .， m 3 2解得m= 2或m= 3,m的值为2或3.由题意知，直线11 12. 假设1 一 a= 0,即a= 1时，直线11： 3x 1 = 0与直线12: 5y+ 2= 0显然垂直.3

13、 一 右2a+ 3 = 0,即a=一 时，直线11 ： x+ 5y 2 = 0与直线12： 5x 4= 0不垂直.一.，a + 2 a 1 右1 a乒0,且2a+ 3乒0,那么直线11 12的斜率k1, k2都存在，k=, k2=-.1 a 2a + 3当 11 12 时，k1 k2= 1,a+ 21-aa 12a+ 3=T,综上可知，当 a= 1或a= 1时，直线11X12.对称|可题点关于点对称17. 假设直线11： y = k(x- 4)与直线12关于点(2,1)对称，那么直线12恒过定点()A. (0,4) B. (0,2)C. ( 2,4) D . (4, -2)答案 B解析 直线l

14、i： y = k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又直线li： y= k(x 一4)与直线12关于点(2,1)对称，故直线12恒过定点(0,2).18.点A(x,5)关于点C(1, y)的对称点是B(-2, - 3)，那么点P(x, y)到原点的距离是()A. 4 B/13C. ,15D. . 17x 2答案 D解析由题意知25 3 V=x= 4,.解得 d=寸 42+ 12=寸17.点关于线对称19.点P(2,5)关于直线x+ y= 0的对称点的坐标是()A. (5,2) B. (2, 5)C. ( 5, 2) D . (-2, 5)答案 C解析解法一：设

15、 P(2,5)和Q(m, n)关于直线y = 一 x对称，那么 PQ的中点R my,咛5 在直线 y= x上，且 kPQX (- 1) = 1.=0,n 5xm 2-1 = 1,m= 5,解得n=_ 2.* Q的坐标是(-5，- 2)20.求点P( 4,2)关于直线l : 2x y+ 1 = 0的对称点P的坐标.解法设点 P (x , y),由 PP l及PP的中点在l上得方程组V 2I.乒1， x+ 42瑚-守 + 1 = 0,x+ 2y= 0,即2x-y- 8= 0,解得8 v= 5.c， 16. . P解法二：设点 P (x, y), PP l 于 M,x+ 2y= 0,.PP 的方程为

16、(x + 4) + 2(y- 2) = 0，即 x+ 2y= 0, z.解方程组2x- y+ 1 = 0,故P165，的交点M2 5 54 + x21-7 ,由中点坐标公式得5Ml,252516x=亨8 v= 5.距离最短问题21.A(1,6), B(5,2)，点P在x轴上，那么使|AP|+ |BP|取得最小值时点 P的坐标为 .答案 (4.0)解析A(1,6)关于x轴的对称点为 A (1, -6)，那么|PA|= |PA |,当P点为A B与x轴的交点时，|PA|+ |PB|取得最小值，又 A B的方程为另|，即2x- v 8= 0,令y= 0,得 x= 4, .(4,0).22.某地A,

17、B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2), B(4,0), 一条河所在直线的方程为l: x+ 2y 10= 0.假设在河边l上建一座供水站 P,使分别到A, B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？解如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B交l于P,因为假设P (异于P)在直 线l上，那么：AP |+|BP |= |A P |+|BP |A B|,因此供水站只能建在 P处，才能使 得所用管道最省.设 A (a, b),贝U AA的中点在l上，且AA l,即吐1 +2 X 心一10=0,22b 2a- 11/2= 1.解之得A (3,6).所以直线A B的方程为6x+ v 2

18、4= 0.解方程组6x+ y- 24= 0,38 x=石,故供水站x+ 2y- 10= 036V=讦所以点P的坐标为38 36 11 11 -P应建在P3836处.11反射问题23.如下图， A(4,0), B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线A . 2而B . 6C. 33d. 2对答案 AOB反射后又回到点P,那么光线所经过的路程是()12 亏.解析 由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为 C(- 2,0),那么 光线所经过的路程为|CD |= 2而.应选A.最值问题24.M(1,0), N( 1,0)，点P为直线2x- y- 1 = 0上的动点, 贝U |PM|2+ |PN|2的最小值为 .、12 答案 皓解析 设P的坐标为(t,2t 1)，贝U5|PM|2 + |PN|2= (t- 1)2 + (2t- 1)2+ (t + 1)2+ (2t 1)2= 10t2 8t + 4= 10 t | 2+ 1255