数列通项公式的求法较全

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1、名师推荐精心整理学习必备常见数列通项公式的求法公式:等差数列的走义等差数列丿等差数列的通项公式总”=叫-1) 等差数列的求和公式 =二再+ 口 J =叫亠等差数列的性质 + 口屮=口匸+為(稅+丹召+ g)等比数列的定义2)f-】等比数列的通项公式生等比数列-等比数列的求和坐式矢-q1 一今丹円也=1)等比数列的性质舜dr =玫+料=P+4)1、定义法若数列是等差数列或等比数列 ,求通公式项时,只需求出ai与d或ai与q ,再代入公式a1 - n -1 d或an二aiqn A中即可例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列 心 的b3,b4,b5,求

2、数列 Cbn ? 的的通项公式练习：数列a是等差数列，数列：bn ?是等比数列，数列心中对于任何n N*都有, c 127Cn =an -bn,。=0,02,分别求出此三个数列的通项公式69542、累加法形如an q _an二f n 已矢口 a1型的的递推公式均可用累加法求通项公式.（1） 当f n =d为常数时，faj为等差数列，则an =印 n-1 d ；（2）当f n为n的函数时，用累加法方法如下：由an彳_an二f n得当 n _ 2 时，an -an=f n -1an-anN=f 门-2a3- a2= f 2a2 - a二 f i.1 i以上n -1个等式累加得an -a1 - f

3、n -1 +f n - 2 i 亠亠 f 2 i 亠 f 1an =af n -1 +f n -2f 2 f 1（3）已知a1，an q -an二f n，其中f n可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通 项 若f n可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f n可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f n可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f n可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和例2、数列 召中已知6 a. 1 -a. =2n-3,求a的通项公式练习1：已知数列an满足an an - 3n - 2且印=2,求an.练习2

4、：已知数列 aj中，4 =1耳书a. =3n 2n,求耳的通项公式1 1练习3：已知数列 玄满足a1,an1.=an 二 ,求求 玄餐的通项公式2 n +n3、累乘法形如普=f n已知a,型的的递推公式均可用累乘法求通项公式给递推公式an 1=f n , N .中的n依次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1个式子:业二f 1，鱼二f 2，鱼二f 3,玉二 f n-1 .a1a2a3an 4利用公式an =a1鱼色色基，an=o,n，N可得: ai a2 a3aan f 1 f 2 f 3 ：厂：f n -1 .例3、已知数列an满足a! = 2, an申= an求an.3 n +1练习1：数

5、列：an /中已知ai =1,加=,求an?的通项公式ann练习2：设Can 是首项为1的正项数列，且(n 1)a2 d -na；务& =0 ,求冷,的通项公式4、奇偶分析法(1)对于形如am a f n型的递推公式求通项公式 当am a d d为常数 时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论. 当f n为n的函数时，由an1 an二f n ，anan= f n -1两式相减，得到an+1 -an4 = f n - f n -1，分奇偶项来求通项.例4、数列 gj满足q =1, an 1 an =4，求：anf的通项公式.练习：数列满足a6,an i

6、a -6，求；、aj的通项公式例5、数列 玄满足a -0,an i a* =2n，求：a* *的通项公式练习1：数列an /满足q - -1,an彳 an = n -1，求 匕昇的通项公式练习2：数列 玄满足4 =2a. =3n -1，求*鳥的通项公式（2）对于形如an 1 an = f n型的递推公式求通项公式其通项分奇数项和偶f n，分奇偶项f n当an q an =d d为常数 时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2数项来讨论.当f n为n的函数时，由an q an二f n , an anA = f n-1两式相除，得到anj来求通项.例6、已知数列 试满足aq =2,an

7、 q an =4，求Can?的通项公式.练习：已知数列满足ai = , a* 1 a* - -2，求、an的通项公式.3例7、已知数列G *满足ai求3的通项公式练习1：数列满足a =2,an 1 an =3n，求；、aj的通项公式练习2：数列:an 满足q =1,an 1 an =2n，求 瓜？的通项公式5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求 an较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有：（1） anpan q p,q为常数 =an 1p an t ,构造：an - V为等比数列.an 1 = pan 1np pan 1 二 pa

8、an 1 - pan+tq（t, p,q为常数）_两边同时除以？二a肾=p勺+t,再参考类型 qn r p,q,r是常数an 1=p a.nan 2 二 pan 1+qan = an 2 -tan 1 = P an 1 -tan ,构造等比数列 n 1 -tan例8、已知数列 an冲，a = 1， an 1 = 2an 3，求an.1练习：已数列a m印且务厂2务则3.例9、已知数列 曲中，a3,3n d -3an 3n 1,求3?的通项公式练习已知数列 牯,中，a =3,an =2an+2n，则an =.2 练习2：已知数列an中，a1, an 3an 4 3n,求:an!的通项公式3例10

9、、已知数列 骞满足an 6an 2n1,a1,求an.练习1：设数列 an满足a1 =1,an十=3an +2n，则an =练习2:已知数列aj中,心1aff，求 an.练习3：已知数列lann N ”的满足:=1 - 3k,an =4- 3an j(1 )判断数列(2)求数列订奁的通项公式例11、数列 中已知a1 =1, an 2an 3n,求的通项公式练习1:数列 a ： 中已知 可=2,an41 =3an n +2 ,求的通项公式练习2：数列a中已知ai =2,an i =3an 2n2 - n 2,求 G 的通项公式例12、已知数列 春中， Q =5盘=2耳=2an4+3and n3）

10、，求求 Sn 的通项公式2 i练习1：已知数列laj中，a1 =1,a2 =2,an+2an+1+ an,求求：a/?的通项公式3 3332练习 2:在数列an中，C = 1，a2，an .2an 1an，令 bn=an 1 - an。553(1)求证：数列bn是等比数列，并求bn。求数列an的通项公式。6、利用an与Sn的关系1 ain 1如果给出条件是an与Sn的关系式,可利用an求解. Sn _|, n 丄 2例13、已知数列Can 的前n项和为Sn二n2 -2n 3，求的通项公式A练习1：已知数列fan 的前n项和为Sn二n2 - n 3，求CaJ的通项公式43练习2：若数列:an 的

11、前n项和为Sn an-3,求曲的通项公式2练习3：已知数列 订,前n项和Sn =4-an -夭，求aj的通项公式7、倒数法panqan p1an 15匚空二丄+q,构造!丄;是等差数列panan pancpan1 qq +t _ t 1 1 qn qan +t r an 卑 pan p an p2a例14、已知数列：an 满足a-i=1, an.in ，求：aj的通项公式3可+2练习：已知数列laj中，3=32= an ，则an =1 +2务例15、已知数列 a / 满足 a1 =1， an护，求F的通项公式2 2a练习：已知数列an中，3=8.十=,则an =3 1+k8、a.卅二pa： （

12、p AO,a. AO L边取对数t Iga.卅=lg p +rlg a.,转化为 a.* = paq型例16、已知数列：an /中，耳=100,an j =10 a；,求an练习：已知数列匕二中，ai = 2耳i =2 a；,求an9、其他例17、已数列 冲，印=-1，an厲an二an厲-an，则数列通项an二例18、在数列 2时，、&、Sn 1成等比数列.2(1 )求 a；,a3,a4;(2)求数列 丫 an / 的通项公式例19、已知在等比数列中,4=1，且a2是a1和a3 -1的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)若数列 仏？满足b1 2b2 3bnbn二an nN ”，求数列的通项公式bn的第二项,例20、已知等差数列a.的首项ai= 1,公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列 第三项，第四项.(1 )求数列an与bn的通项公式；(2)设数列Cn对任意正整数n,均有9 0 亠 亠1 = an 1，求Cn.bi b2 bsbn