高阶方程的降阶技巧

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1、 . 高阶方程的降阶技巧目 录一高阶方程的引入及定义1二几类常见的可降阶的高阶微分方程2一型的微分方程2二型的微分方程3三型的微分方程4四二阶方程的幂级数解5三其他情况的高阶微分方程7四总结12参考文献12高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。关键词:线性微分方程，降阶，非零特解12 / 14一高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函

2、数及函数的导数或微分组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的根本原那么是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶变系数齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，那么可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也

3、就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程1的左端为y及的一次有理整式。那么称1为n阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性微分方程.如果函数代入方程1后,能使它变为恒等式.那么称函数为方程1的解.我们把含有n个独立的任意常数的解称为n阶方程1的通解.所谓n阶微分方程(1)的初值条件是指如下的n个条件:当时,这里是给定的n+1个常数,初值条件有时写为求微分方程满足定解条件的解.二几类常见的可降阶的高阶微分方程二阶微分方程的求解：(一) 型的微分方程特点:等式右端不含,仅是x的函数.解法:将作为新的未知函数,然后对原方程降阶,令,那么有，方程两边

4、同时积分得即再积分得同理对于,令,积分得:那么原方程变形为n-1阶,对其继续积分得那么方程变为n-2阶,如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解.例1解三阶方程:解:：等式两端同时积分再积分再积分这就是所给方程的通解.(二) 型的微分方程特点:右端不含y.解法:降阶.令代入原方程得:2假设为如下一些一些类型,可分别求得2降阶式的解.i. 通解: ii. ,通解: (方法两边同时除以,将拿到中,即)iii. 令,那么,即求出u与x的关系,再将u代回,即得答案.iv. 假设,那么令假设,那么令再令,已上求得的解为.回代,得变量可别离的一阶方程,积分得例2解:令，那么, 那么方程变为:,因

5、为, , 那么,因为, , 所以所求特解为: .(三) 型的微分方程特点:右端不含x.解法:降阶.令.由复合函数求导法那么得:代入原方程得:这是一个关于y,p的一阶方程,假设以求得它的通解为:变量可别离的一阶方程,积分得: 即原方程得通解.例3求满足的特解解:令，那么,那么方程变为:即别离变量得:,等式两端同时积分化简得:,即, 把时,代入上式得，那么方程化为,别离变量得:积分得:将代入解得, 故原方程的特解为:(四) 二阶线性方程的幂级数解对带初值条件的二阶齐次线性方程这里,否那么可引进新变量化为.有如下定理i.定理假设方程中系数或能展成收敛区间为的幂级数,那么二阶齐次线性方程有收敛区间为的

6、幂级数特解或这里为待定常数.iin阶贝塞尔方程(n为非负常数),有特解,.n阶贝塞尔方程有通解,其中为任意常数.(或)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数,成为n(或-n)阶(第一类)贝塞尔函数. 的定义:当时;当时且非整数.有性质: ;对正整数n,有一般情况(一) 型的微分方程特点:不显含未知函数及.解法:令,那么求得z,将连续积分k次,可得通解.(二) 型的微分方程特点:右端不显含自变量x.解法:设,那么, 代入原方程得到新函数p(y)的n-1阶方程,求得其解为:原方程通解为:(三) 齐次方程特点: 解法: 可通过变换将其降阶,得新未知函数.,代入原方程并消去得新函数z(x)的n-1阶方程例4求

7、方程的通解.解:设,代入原方程,得,解得其通解为,原方程得通解为注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：一般情况，边解边定常数计算简便；遇到开平方时，要根据题意确定正负号。三其他情况的高阶微分方程N阶微分方程一般地可写为下面讨论几类特殊方程的降阶问题。.方程不显含未知函数x，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状可降低k阶.令,方程降为y的n-k阶方程.假设求得上面所示方程的通解,即,再经过k次积分得到,其中为任意常数.可以验证,这就是方程的通解.例5求方程的解.解:令,那么方程化为,即方程化为一阶方程.方程积分后得,即,其中为任意常数,这就是原方程的通解.不显含自变量t的方程令y=x,视x为新

8、自变量，而视x为新自变量,那么方程就可可降低一阶，事实上,在所作的假定下,采用数学归纳法可以证明, 可用表出().将这些表达式代入原式可得.齐次线性微分方程.其求解问题归结为寻求方程的n个线性无关的特解,但如何求这些特接呢?没有普遍的方法可循.这是与常系数线性微分方程的极大差异之处.但是我们指出,如果知道方程的一个非零特解,那么利用变换,可将方程降低一阶;或更一般地,假设知道方程的k个无关的特解,那么可通过一系列同类型的变换,使方程降低k阶.并且得到的n-k阶方程也是齐次线性的.设是上述方程的k个线性无关解,显然不恒等于0(i=1,2,k),令,直接计算可得,将这些关系式代入中,可得,这是关于

9、y的n阶方程,且各项系数是t的函数,而y的系数恒等于零,因为是此方程的解.因此,如果引入新未知函数,并在的区间上用除方程的各项,我们便得到形状如的n-1阶齐次线性微分方程.因有关系或.因此,对于上述方程我们就知道它的k-1个线性无关解.事实上，是的解,假设这k-1个解之间存在关系式,或,其中是常数,那么就有,或,由于线性无关,故必有.这就是说是线性无关的.因此,假设对仿上做法,可进一步令,那么可将方程化为关于u的n-2阶齐次线性微分方程,并且还知道方程此方程的k-2个线性无关解,利用k个线性无关特解当中的一个解，可以把方程降低一阶,成为n-1阶齐次线性微分方程并且知道它的k-1个线性无关解;而

10、利用两个线性无关解,那么又可以把方程降低两阶，成为n-2阶齐次线性微分方程,同时,也知道了它的k-2个线性无关解.依此类推,继续上面的做法,假设利用了方程的k个线性无关解,那么最后就得到一个n-k阶的齐次线性微分方程.这就是说把降低了k阶.对于二阶齐次线性微分方程来说,如果知道它的一个非零特解,那么方程的求解问题就解决了.设是二阶齐次线性微分方程的解,那么由上面讨论知道,经变换后,方程就化成解得,非零特解时,方程可解.其通解为(3)其中为任意常数.当取得到方程的一个特解.例6是方程的解,试求方程的通解.解这里,由(3)可得:其中是任意常数,这就是方程的通解四总结：高阶微分方程的求解技巧，一般是借助定积分进展变量代换，降为可处理的微分方程，然后对方程求解，最后变量带回，求得原方程的通解。参考文献王高雄等编。常微分方程第三版高等教育 2006E卡姆克编。常微分方程手册 科学 1977清华等编。常微分方程容方法与技巧华中科技大学2006窦霁红 常微分方程考研教案第二版西北工业大学 2006