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1、课时授课计划课次序号： 03 一、课题：1.3 函数的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用五、教学方法与手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料：1.高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育；2.高等数学教与学参考，宏志主编，西北工业大学七、作业：习题13 1（2），2（3），3，6八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：第三节 函数的极限复习1.数列极限的定义：； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性
2、、收敛数列与其子列的关系在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多一、x时函数的极限对一般函数y=f（x）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的定义1 若0，X0，当xX时，相应的函数值f（x）U（A，）（即|f(x)-A|），则称x+时，f（x）以A为极限，记为f（x）=A若0，X0，当x-X时，相应的函数值f（x）U（A，）（即|f(x)-A|），则称x-时，f（x）以A为极限，记为f（x）=A例1 证明=0证 由于=，故0，要使，只要，即x因此，
3、0，可取X=，则当xX时，故由定义1得=0例2 证明证 0，要使=10x，只要xlg因此可取X =lg+1，当x-X时，即有10x-0，故由定义1得10x=0定义2 若0，X0，当xX时，相应的函数值f（x）U（A，）（即|f(x)-A|），则称x时，f（x）以A为极限，记为f（x）=A为方便起见，有时也用以下记号来表示上述极限：f（x）A （x+）；f（x）A （x-）；f（x）A （x）注 若，则称为曲线的水平渐近线由定义1、定义2与绝对值性质可得下面的定理定理1f（x）=A的充要条件是f（x）=f（x）=A例3 证明=1证 0，要使=，只需x+1，而x+1x-1，故只需x-1，即x1+因
4、此，0，可取X=1+，则当xX时，有，故由定义2得=1二、xx0时函数的极限现在我们来研究x无限接近x0时，函数值f（x）无限接近A的情形，它与x时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0作出确切的描述即可以下我们总假定在点x0的任何一个去心邻域都存在f（x）有定义的点定义3 设有函数y =f（x），其定义域DfR，若0，0，使得x（x0，）（即0x-x0）时，相应的函数值f（x）U（A，）（即f（x）-A），则称A为函数y=f（x）当xx0时的极限，记为f（x）= A，或f（x）A（xx0）研究f（x）当xx0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时f（x）的变化趋势，而不关
5、心f（x）在x=x0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域函数f(x)当xx0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数，作平行于x轴的两条直线y=A+和y=A-，介于这两条直线之间是一横条区域根据定义，对于给定的，存在着点x0的一个邻域（x0-,x0+），当y=f(x)的图形上点的横坐标x在邻域（x0-,x0+），但xx0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式|f(x)-A|,或 A-f(x)A+亦即这些点落在上面所作的横条区域，如图134所示图134例4 证明=2证 函数f（x）=在x=1处无定义0，要找0，使0x-1时，=x-1成立因此，0，据上可取=，则当0x-1时，成立，由定义3
6、得=2例5 证明sinx=sinx0证 由于sinxx，cosx1，所以sinx-sinx0=2x-x0因此，0，取=，则当0x-x0时，sinx-sinx0成立，由定义3得sinx=sinx0有些实际问题只需要考虑x从x0的一侧趋向x0时，函数f（x）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念定义4 设函数y=f（x），其定义域DfR，若0，0，当x (或x)时，相应的函数值f（x）U（A，），则称A为f（x）当xx0时的左（右）极限，记为f（x）=A （f（x）=A），或记为f（）=A（f（）=A）由定义3和定义4可得下面的结论定理2f（x）=A的充要条件是f（x）=f（x）=A例6 设
7、，研究f（x）解 x=0是此分段函数的分段点， f（x）=cosx=cos0=1，而f（x）=（1-x）=1故由定理2可得，f（x）=1例7 设，研究f（x）解 由于 f（x）=x=0，f（x）=1=1，因为f（x）f(x),故f（x）不存在三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立1唯一性定理3若limf（x）存在，则必唯一2局部有界性定义5 在xx0（或x）过程中，若M0，使x(x0)(或xX)时，f（x）M，则称f（x）是xx0（或x）时的有界变
8、量定理4若limf（x）存在，则f（x）是该极限过程中的有界变量证 我们仅就xx0的情形证明，其他情形类似可证若f（x）=A，由极限定义，对=1，0，当x（x0，）时，f（x）-A1，则f（x）1+A，取M=1+A，由定义5可知，当xx0时，f（x）有界注意，该定理的逆命题不成立，如sinx是有界变量，但sinx不存在3局部保号性定理5若f（x）=A，A0（A0），则（x0），当x（x0）时，f（x）0 （f（x）0）若f（x）=A，A0（A0），则X0，当xX时，有f（x）0（f（x）0）该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用推论 在某极限过程中，若f（x）0（f（x）0），且limf（x）=A，则A0（A0）4. 函数极限与数列极限的关系定理6f(x)=A的充要条件是对任意的数列xn，xnDf（xnx0）,当xnx0（n）时，都有f（xn）=A，这里A可为有限数或为定理6 常被用于证明某些极限不存在例1 证明极限不存在证 取xn=，则xn=0，而cos=cos2n=1又取xn=，则xn=0,而cos=cos(2n+1)=-1，由于 coscos，故cos不存在课堂总结1.两种变化趋势下函数极限的定义；2.左右极限（单侧极限）；3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系6 / 6
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