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1、1第一讲走进追问求根公式形如 ax2bxc=O ( a=0 )的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式xi2bb一麻内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元12a二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项
2、式等技巧与方法。【例题求解】【例 1】满足(n2-n -1)n 2=1的整数 n 有_个。思路点拨：从指数运算律、土 1 的特征人手，将问题转化为解方程。【例 2】设 Xi、X2是二次方程 X2，x_3=0的两个根，那么Xi3-4X2219的值等于()A、一一 4 B、8C、6 D、0思路点拨：求出捲、X2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3-，x22=3x2。【例 3】 解关于x的方程(a - 1)x2-2ax a =0。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分 a -1 =0 及 a -1 =0 两种情况讨论。【例 4】设方程x2-2x -1
3、 -4 =0，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。1111【例 5】 已知实数 a、b、c、d 互不相等，且a=b-=c=d =x， 试求 x 的值。b c d a思路点拨：运用连等式，通过迭代把 b、c、d 用a的代数式表示，由解方程求得x的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：2(1)把方程 ax bx c =0( a =0 )直接作零值多项式代换；把方程 ax2bx c =0 ( a =0 )变形为 ax2二-bxc，代换后降次；(3)把方程 ax2bx c = 0 ( a 山 0)变形为 ax2，bx 二-c 或 ax
4、2c- -bx，代换后使之转化关系或整体 地消去x。解合字母系数方程 ax2亠 bx 亠 c =0 时，在未指明方程类型时，应分a =0 及 a=0 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如x2=x2=x2。2走进追问求根公式学历训练1、已知a、b 是实数，且 J2a+6+b_72 =0,那么关于x的方程(a+2)x2+b2x =a_1的根32(X-1)x 1的值是X13、若x2xy 14，y2xy 28，贝 U x y 的值为_4、 若两个方程 x2ax b =0 和 x2bx=0 只有一个公共根，则()A、a=bB、a b=0C、a b=1D、a b=_15、
5、当分式 一 J有意义时，x的取值范围是()x3x 4A、 x：1B、 x 4 C、 一 1：: x：4 D、 x - -1 且 x = 46、 方程(x 1)x 1 -xx V =0的实根的个数是()A、0 B、1 C、2D、37、 解下列关于x的方程：(1)(m_1)x2+(2m_1)x+m_3=0；(2)x2x _1 =0；(3) x2+4x=62x。8、已知 x2-2x-2=0，求代数式(x-1)2(x 3)(x3) (x3)(x1)的值。9、是否存在某个实数 m,使得方程 x mx 2 0 和 x 2x m 0 有且只有一个公共的实根？如果存在, 求出这个实数 m 及两方程的公共实根；
6、如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。22510、_若 x -5x1=0，贝y2x -9x 3 r =。x2+12、已知 x2_3x_2 =0 ,那么代数式311、 已知m、n是有理数，方程 x2mx n = 0 有一个根是5 -2，贝U m n的值为_413、对于方程x2_2x2=：m，如果方程实根的个数恰为A、1 B、2 C、.3D、2. 5214、自然数n满足（n2_2n_2）nW=（n2一2n_2）16n6，这样的n的个数是（）A、 2B、 1
7、C、 3D、 415、已知a、b 都是负实数，且- ，那么-的值是（）a b a -b =0a12、已知a是方程 x2_x_2000=0 的一个正根。则代数式20002000_20001 -的值为3 个，则 m 值等于（C、1.525_ 43216、已知 x - . 19 -8 “ 3，求x-6xJ*18x 23的值。x -8x十1517、已知 m、n 是一元二次方程 x22001x=0 的两个根，求（m2 2000m - 6）（m22002n - 8）的值。18、在一个面积为 I 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，
8、若小正方形面积为，求n的值。328119、已知方程 x2-3x 0 的两根:- 也是方程x4-px2q=：0的根，求 p、q 的值。20、如图，锐角 ABC 中，PQRS 是厶 ABC 的内接矩形，且 然数求证：BS需为无理数。ABDCiQSABC=nS矩形5U追问求报公式【例题求解】例 1 4 提力 h由JI+2用 THO 得n=一 2由 H3用一 1= 1 得 n= 1 2 ；由畀一可一 1 = 一 i 且用+ 2 为偶数得 =0*例2选A由题意有 汩+心一 3 = 0 豉十卫一 3 冃 0 甲即工 f =$Hi+_r? =3 卫原式* (3JTI) *4(3 J2) + 19 = 3JT
9、Ijrf + 4 巧 + 7 =Sxi(3JT ) + IJ2 + 7 = 4(J-I+卫)+4 = 4 X ( 1 )+4 = 0例 3(!)=J 时，方程的报为 Jr = y;当口0 且口工】时方程有两个不相等的实数根工产茫孑严=訐%当“冃 0时*方祥有两个相等实根巧=孔=0；当uVO时，方程没有实数帳.例4当 2-10 即寺时.原方程化为+2 工一 3 = 0,解得舍幻；当 2T1=0 即 z = y 时*代人原方 程不合*舍去；当 2J-1y = 2-#.例5由已知有：由= *(=- *代入r+Z=jr 得-一-+-y = 0,即cAr 泌+ 1 )J2(2/a) j+0 时池=-1(舍却*当一 1 整*0 时.原方稈没有实根*当 x = -(7-2001+l)1993.匾 儿=专.匚 G =+，凡P1JAASKABC-(f) 一千+ 1 = *代 千=寺士占_亦中显然朋一2(n1 )E又n3dy-4-a A njyrtjr 整理得 2n-rz-歸話十卅=0
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式
