广东省中山市高三第一学期期末统一考试理科数学试题及答案

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1、中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数，则在复平面内对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（第2题图）2设全集是实

2、数集则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） AB CD3已知平面向量，若，则等于( )ABC（第4题图）D4定义某种运算，运算原理如上图所示，则式子的值为（ ）A4B8C11D135把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）A B C D 6下列四个命题中，正确的有两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；命题：“，”的否定：“，”；用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好；若，则ABCD7对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ） A、B、C、D、 8. 已知函数满足，且

3、时，则当时，与的图象的交点个数为( )A13B12C11D10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9已知函数，则 . 10如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）11在二项式的展开式中，含的项的系数是 12已知,则 .13已知数列为等差数列，若，则 .14如图, ，且，若，（其中），则终点落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是 . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）

4、设平面向量，函数.（）求函数的值域和函数的单调递增区间;（）当,且时,求的值.16（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望 PBEDCA17（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面， ，.是的中点，（）求证：

5、平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值18（本小题满分14分） 数列的前n项和为，（）设，证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）若，数列的前项和，证明：19（本小题满分14分）已知函数，.（）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：20（本题满分14分）已知函数，（其中为常数）；（）如果函数和有相同的极值点，求的值；（）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由（）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，

6、每小题5分，共40分 DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9. ; 10. 11. ; 12. ； 13. 45； 14. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）设平面向量，函数。（）求函数的值域和函数的单调递增区间;（）当,且时,求的值.15解： 依题意（2分） （4分）（） 函数的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函数的单调增区间为.（8分）（）由得,因为所以得,（10分） （12分）16(本题满分12分)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图

7、如图所示（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望 16. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05 =72. （3分）众数的估计值为75分 （5分）所以，估计这次考试的平均分是72分 （6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II

8、）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在90，100段的人数是0.0051080=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 （8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有变量的分布列为：0123P （10分） （12分） 解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即（10分） （12分）PBEDCA17（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，.是的中点，（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值17解法一：（），.

9、-（2分）, . 而, 平面. （4分）. （5分）（）连结、，取中点， 连结 ， 则, 平面， 平面.过作交于，连结，则 就是二面角所成平面角. （7分）由，则.在中， 解得.因为是的中点，所以. （8分）而，由勾股定理可得. （9分）. （10分）（）延长，过作垂直于，连结，又，平面， 过作垂直于， 则, 所以平面, 即平面，所以在平面内的射影是，是直线与平面所成的角.（12分）PBEDCAOFGH. .（14分）解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) ,

10、(0，0，2) . （2分）(2，0，0) , (0，4，0) , (0，0，2) , (2，0，0) ,PBEDCAxyz(0，2，1) , (2，4，0) . （3分）（）, .又, . （5分）, , 而,平面平面.（7分）（）设平面的法向量=,令，则.由即=. （9分）平面的法向量(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. （11分）（）因为平面的法向量是=，而(2，0，0) . 所以 . （13分） 直线与平面所成角的正弦值 . （14分）18（本小题满分14分） 数列的前n项和为，（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（）若，数列的前项和，证明：18【

11、解析】（I）因为，所以 当时，则， （1分） 当时，（2分）所以，即，所以，而， （3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（4分）（II）由(1)得所以 ， （5分）-得：， （7分） .（9分）（III）由(I)知 （10分）（1）当时，成立； （11分）（2）当时，（13分）所以. （14分）（本题放缩方法不唯一,请酌情给分）19. 已知函数，.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：19. 解:（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立（1分）由得当时，此时在上单调递增 故，符合题意（3分）当时，当变化时的变化情况如下表： （4分）单调递减极

12、小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20（本题满分14分）已知函数，（其中为常数）；（I）如果函数和有相同的极值点，求的值；（II）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由（III）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围20解：（I），则，令，得或，而在处有极大值，或；综上：或 （3分）（II）假设存在，即存在，使得，当时，又，故，则存在，使得， （4分） 当即时，得，； （5分） 当即时，得，（6分）无解；综上： （7分）（III）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等（）有2个不同的实根，只需满足；（8分）（）有3个不同的实根，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；（9分）当即时，不符合题意，舍；当即时，在处取得极大值，；所以； （10分）因为（）（）要同时满足，故；（注：也对）（11分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，不符合，舍去；当时，既有 ；又由，即 ； 联立式，可得；而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当时，函数有5个不同的零点 （14分）13