版高考数学一轮复习第7章立体几何第3节直线平面平行的判定及其性质教学案含解析理

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1、第三节直线、平面平行的判定及其性质考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题1线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

2、行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行(7)垂直于同一条直线的两个平面平行(8)垂直于同一平面的两条直线平行基础

3、自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行( )(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列命题中，正确的是( )A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C若直线a，b和平面满足a，b，那么abD若直线a，b和平面满足ab，a，b，则bD根据线面

4、平行的判定与性质定理知，选D.3设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，

5、则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若，则.其中是真命题的是_(填上序号)对于，mn或m，n异面，故错误；易知正确；对于，m或m，故错误；对于，或与相交，故错误直线与平面平行的判定与性质考法1直线与平面平行的判定【例1】如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，因为ADBC，BCAD，所以BCAE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点又因为F是PC的中点，所以FOAP，因为FO平面BEF，AP平面BEF，所

6、以AP平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FHPD，因为FH平面PAD，PD平面PAD，所以FH平面PAD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OHAD，因为OH平面PAD，AD平面PAD.所以OH平面PAD.又FHOHH，所以平面OHF平面PAD.又因为GH平面OHF，所以GH平面PAD.考法2直线与平面平行的性质【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1平面BB1DFG.证明：FG平面AA1B1B.证明在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面

7、BB1D，所以CC1平面BB1D.又CC1平面CEC1，平面CEC1平面BB1DFG，所以CC1FG.因为BB1CC1，所以BB1FG.而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.规律方法判定线面平行的4种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa).,注意：构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB2，AF1，M是线段EF的中点(1)求

8、证：MA平面BDE.(2)若平面ADM平面BDEl，平面ABM平面BDEm，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论解(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AMOE.又因为OE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)lm，证明如下：由(1)知AM平面BDE，连接DM，MB.又AM平面ADM，平面ADM平面BDEl，所以lAM，同理，AM平面BDE，又AM平面ABM，平面ABM平面BDEm，所以mAM，所以lm.平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中

9、，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.拓展探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中

10、点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1BDM.因为A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1.BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DMD，DC1，DM平面AC1D.所以平面A1BD1平面AC1D.规律方法判定平面与平面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判

11、定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)；注意：谨记空间平行关系之间的转化 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB，G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.证明取FC的中点I，连接GI，HI，则有GIEF，HIBC.又EFDB，所以GIBD，又GIHII，BDBCB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.平行关系中的存在性问题【例4】如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形(1)证明：平面AB1C平面DA

12、1C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1DC1(图略)，AB1平面DA1C1，DC1平面DA1C1，AB1平面DA1C1，同理可证B1C平面DA1C1，又AB1B1CB1，平面AB1C平面DA1C1.(2)存在这样的点P，使BP平面DA1C1.A1B1ABDC，四边形A1B1CD为平行四边形A1DB1C.在C1C的延长线上取点P，使C1CCP，连接BP(图略)，B1BC1C，B1BCP，四边形BB1CP为平行四边形，则BPB1C，BPA1D，BP平面DA1C1.规律方

13、法解决存在性问题的一般方法解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1

14、C1平面AB1C1，DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，平面DEF平面AB1C1，EF平面DEF，EF平面AB1C1，又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，EFAB1，点F是BB1的中点，点E是AB的中点即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1.DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，DF平面AB1C1.AB的中点为E，连接EF，ED，则EFAB1.EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1.DFEFF，平面DEF平面AB

15、1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )AA项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又

16、AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.2(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.自我感悟：_