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1、松江二中2020学年度第二学期开学考试试卷高 一 数 学(第1卷)一、填空题（每题分，共分）1、设都是实数，命题：“若，则”是 命题（填“真”或“假”）。2、若，则 。3、已知集合，则 。4、函数的反函数是，则 。5、已知函数，则 。6、已知函数为偶函数，且，则 。7、已知函数的定义域为，那么函数的定义域是 。8、已知函数的图像过的定点在函数的图像上，其中为正数，则的最小值是 。9、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。10、已知函数的图像与轴的负半轴有交点，则的取值范围是 。11、关于的方程，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不
2、同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。其中正确的命题序号是 。12、当时，函数的最大值为，则实数 。二、选择题（每题分，共分）13、“”是“”的 （ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件14、函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ( ) （A） （B） （C） （D） 15、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）16、已知，且，则的值有 （ ）（A）2个 （B）3个 （C）2020个 （D）无数个三、解答题：（本大题共题，满分分）17、（本题10分
3、，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设函数是定义域为且上的奇函数，当时，。（1）写出时，函数的解析式；（2）解不等式：18、（本题 分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 已知函数（1）求函数的反函数；（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。19、（本题 分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知某商品的价格每上涨，销售的数量就减少，其中为正常数。（1）当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额最大？（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围。20、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，等式恒成立。
4、（1）试判断一次函数是否属于集合；（2）证明属于集合，并写出一个满足条件的常数。21、（本题12分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（2）小题6分）已知函数。（1）画出函数的图像；（2）设集合，试判断集合之间的关系，并给出证明。（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。松江二中2020学年度第二学期开学考试答案高 一 数 学(第1卷)一、填空题（每题分，共分）1、设都是实数，命题：“若，则”是 命题（填“真”或“假”）。【真】2、若，则 。【8】3、已知集合，则 。【】4、函数的反函数是，则 。【】5、已知函数，则 。【】6、已知函数为偶函数，且，则 。【】7、已知函数的定义
5、域为，那么函数的定义域是 。【】8、已知函数的图像过的定点在函数的图像上，其中为正数，则的最小值是 。【】9、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。【】10、已知函数的图像与轴的负半轴有交点，则的取值范围是 。【】11、关于的方程，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。其中正确的命题序号是 。【（2）、（3）、（4）】12、当时，函数的最大值为，则实数 。【或】二、选择题（每题分，共分）13、“”是“”的 （ ）A（A）充分非必要条件 （B
6、）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件14、函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ( ) A（A） （B） （C） （D） 15、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )C（A） （B） （C） （D）16、已知，且，则的值有 （ ）D（A）2个 （B）3个 （C）2020个 （D）无数个三、解答题：（本大题共题，满分分）17、（本题 分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设函数是定义域为且上的奇函数，当时，。（1）写出时，函数的解析式；（2）解不等式： 解：（1）时，（4分）（2）当时，解得（2分）当时，解得（2分）综上得（2分）18、（本题10分，第（1）小
7、题4分，第（2）小题6分）已知函数（1）求函数的反函数；（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。解：（1），解得，（2分）所以反函数（2分）（2）不等式化为（1分） 若，则不等式不成立；（2分）若，则恒成立，得；（2分）综上得（1分）19、（本题 分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知某商品的价格每上涨，销售的数量就减少，其中为正常数，设销售总金额为。（1）当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额最大？（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围。解：（1）设商品的现价为，销售数量为。 则，（2分），当时， ，所以，（2分） 所以该商品的价格上涨就能使销售的总金额最大
8、。（1分）（2）函数在上递增， 在上递减，（2分），所以适当地涨价，即，即（2分）， 所以，能使销售总金额增加。（1分）20、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，等式恒成立。（1）试判断一次函数是否属于集合；（2）证明属于集合，并写出一个常数。解：（1）若等式恒成立，则恒成立，（1分）因为所以，（2分）故不存在非零常数，函数不属于集合。（1分）（2）证明：对任意，（2分） 因为函数与图像有交点，所以存在非零常数，使得 即等式恒成立（2分）。非零常数或（2分）21、（本题 分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题 分）已知函数。（1）画出函数的图像；（2）设集合，试判断集合之间的关系，并给出证明。（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。解：（1）图略（3分）（2）所以或（1分）解得（1分）所以（1分）（3）时，（1分）设（2分）当即时，（1分）当即时，（1分）综上当时，在上恒成立，所以时，在区间上，的图像位于函数图像的上方。（1分）
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