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1、北师大版数学精品教学资料第6课时解三角形的综合应用1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理.2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相结合的综合性问题.我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合应用吧!问题1:ABC中,正弦定理用数学公式可表示为:;余弦定理用公式可表示为a2=,b2=,c2=.问题2:根据正弦定理知,abc=;余弦定理的推论可表示为cos A=,cos B=,cos
2、 C=.问题3:两角和与差的余弦公式:cos()=;两角和与差的正弦公式:sin()=;二倍角公式:sin 2=,cos 2=.问题4:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则ab=.此外,计算向量的数量积时,还可以先根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理、平面向量基本定理以及解三角形等知识.1.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a=,b=3,c=2,则等于().A.10B.12C.10D.122.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos
3、B=asin A,则ABC的形状为().A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定3.在ABC中,若b=2,c=1,tan B=2,则a=.4.如图,在ABC中,已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.三角函数性质与正、余弦定理的交汇考查已知函数f(x)=cos-sin.(1)若x-2,2,求函数f(x)的单调减区间; (2)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若f(2A-)=,sin B=cos C,a=,求ABC的面积.平面向量与正、余弦定理的交汇考查在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足a-2bsin
4、A=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且ac,b=,求的值.三角恒等变换与正、余弦定理的交汇考查设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=,求C.已知f(x)=-cos2x+sin x的图像上两相邻对称轴间的距离为(0).(1)求f(x)的单调减区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=,c=3,ABC的面积是3,求a的值.已知函数f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1(xR).(1)解不等式f(x)0;(2)在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
5、函数f(x)的图像经过点(A,)且b+c=2a,=9,求a的值.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cos C=-.(1)求c;(2)求cos(A-C).1.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为().A.B.C.D.2.在ABC中,sin A+cos A=,AC=2,AB=3,则ABC的面积为().A.(+)B.+C.D.23.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=,=2,且SABC=,则b=.4.已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.(1)求函数f(x)的最小值,及取最小值时x的值;(2)设ABC的内角A,B
6、,C的对边分别为a,b,c且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.(2013年辽宁卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,则B等于().A.B.C.D.考题变式(我来改编):第6课时解三角形的综合应用知识体系梳理问题1:=b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C问题2:sin Asin Bsin C问题3:cos cos sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos2-sin22cos2-11-2sin2问题4:x1x2+y
7、1y2|a|b|cos 基础学习交流1.B由余弦定理得:cos A=,所以=|cos A=12.2.Abcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1或0(舍去),A=,选A.3.3由tan B=20,知0Bc,故a=3,c=2,所以cos A=,所以=|cos A=cbcos A=2=1.【小结】与解三角形的知识交汇考查时,向量数量积的计算多使用公式ab=|a|b|cos,应围绕公式中的量,由已知向未知转换,完成对数量积的求解.探究三:【解析】(1)因为(a+b
8、+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-,因此B=120.(2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=+2=,故A-C=30,因此C=15.问题根据cos(A-C)=,一定能得出A-C=30,从而角C一定为15吗?结论根据cos(A-C)=,得出A-C=30不一定成立,A-C还可能为-30.(1)同错解部分. (2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin
9、Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C =+2=, 故A-C=30或A-C=-30, 因此C=15或C=45.【小结】三角恒等变换公式与正、余弦定理交汇考查时,多体现在利用恒等变换公式计算相应角的三角函数值,然后再利用正、余弦定理解三角形或求解三角形的角、边等.思维拓展应用应用一:由已知得,函数f(x)的周期为.f(x)=-cos2+sin x=-+sin x=sin x-cos x-=sin(x-)-,=2,f(x)=sin(2x-)-.(1)由2k+2x-2k+,得2k+2x2k+,k+xk+(kZ),
10、f(x)的单调减区间是k+,k+(kZ).(2)由f(A)=,得sin(2A-)-=,sin(2A-)=1,0A,-2A-,2A-=,故A=.由SABC=bcsin A=3,c=3,得b=4,a2=b2+c2-2bccos A=16+9-243=13,故a=.应用二:f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1=-cos 2x+sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=sin(2x+).(1)f(x)0,即sin(2x+)0,2k2x+2k+(kZ),得:k-xk+(kZ),f(x)0的解集为k-,k+(kZ).(2)由f(A)=sin(2A+)=可得:2A+=+2k或+2k,A
11、=,=bccos A=bc=9,bc=18.又b+c=2a,cos A=-1,a=3.应用三:(1)a=2,b=3,cos C=-,c2=a2+b2-2abcos C=22+32-223(-)=16.c=4.(2)在ABC中,cos C=-,sin C=,且C为钝角.又=,sin A=,cos A=,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=(-)+=.基础智能检测1.D设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值cos =.2.Asin A+cos A=cos(A-45)=,cos(A-45)=.又0A180,A=105,sin A=sin(45+60)=sin 45cos 60+cos 45sin 60=.又AC=2,AB=3,SABC=ACABsin A=23=(+).3.2依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B=a2+(2a)2-2a2a=4a2,所以b=c=2a,sin B=,又SABC=acsin B=b=,所以b=2.4.解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x-=sin 2x-=sin(2x-)-1,当且仅当x=k-(kZ)时,f(x)取得最小值-2.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,0C,-2C-b,所以B为锐角,故B=.
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