精品北师大版数学必修五：解三角形的综合应用导学案含答案

北师大版数学精品教学资料第6课时解三角形的综合应用1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理.2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相结合的综合性问题.我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合应用吧!问题1:ABC中,正弦定理用数学公式可表示为:;余弦定理用公式可表示为a2=,b2=,c2=. 问题2:根据正弦定理知,abc=;余弦定理的推论可表示为cos A=,cos B=,cos C=. 问题3:两角和与差的余弦公式:cos(±)=;两角和与差的正弦公式:sin(±)=;二倍角公式:sin 2=,cos 2=. 问题4:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则a·b=. 此外,计算向量的数量积时,还可以先根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理、平面向量基本定理以及解三角形等知识.1.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a=,b=3,c=2,则·等于().A.10B.12C.10D.122.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为().A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定3.在ABC中,若b=2,c=1,tan B=2,则a=. 4.如图,在ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.三角函数性质与正、余弦定理的交汇考查已知函数f(x)=cos-sin.(1)若x-2,2,求函数f(x)的单调减区间; (2)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若f(2A-)=,sin B=cos C,a=,求ABC的面积.平面向量与正、余弦定理的交汇考查在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足a-2bsin A=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.三角恒等变换与正、余弦定理的交汇考查设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a+b+c)·(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=,求C.已知f(x)=-cos2x+sin x的图像上两相邻对称轴间的距离为(>0).(1)求f(x)的单调减区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=,c=3,ABC的面积是3,求a的值.已知函数f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1(xR).(1)解不等式f(x)0;(2)在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图像经过点(A,)且b+c=2a,·=9,求a的值.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cos C=-.(1)求c;(2)求cos(A-C).1.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为().A.B.C.D.2.在ABC中,sin A+cos A=,AC=2,AB=3,则ABC的面积为().A.(+)B.+C.D.23.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=,=2,且SABC=,则b=. 4.已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.(1)求函数f(x)的最小值,及取最小值时x的值;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.(2013年·辽宁卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B等于().A.B.C.D.考题变式(我来改编):第6课时解三角形的综合应用知识体系梳理问题1:=b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C问题2:sin Asin Bsin C问题3:cos cos sin sin sin cos ±cos sin 2sin cos cos2-sin22cos2-11-2sin2问题4:x1x2+y1y2|a|b|cos 基础学习交流1.B由余弦定理得:cos A=,所以·=|cos A=12.2.Abcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1或0(舍去),A=,选A.3.3由tan B=2>0,知0<B<,得sin B=,cos B=,由余弦定理可得cos B=,即=,整理得3a2-2a-21=0,解得a=3或a=-(舍去).4.解:在ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ADC=-,ADC=120°,ADB=60°.在ABD中,AD=10,B=45°,ADB=60°,由正弦定理得=,AB=5.重点难点探究探究一:【解析】 (1)f(x)=cos-sin=2(cos-sin)=2cos(+),由2k+2k+得4k-x4k+,kZ,x-2,2,令k=0,得-x,f(x)的单调递减区间为-,.(2)f(2A-)=,2cos(A-+)=,cos A=,sin A=.又cos C=sin B=sin(A+C),cos C=cos C+sin C,cos C=sin C,sin C=,cos C=,sin B=cos C=.由a=及正弦定理=,得c=,因此,ABC的面积为S=acsin B=.【小结】利用恒等变换公式化简三角函数,进而求解三角函数的单调区间、周期、最值等,是常见的考查形式.这种类型的问题经常与正、余弦定理解三角形的知识交汇考查,一般的思路是求解出三角形的角或边,再利用两个定理解三角形.探究二:【解析】(1)因为a-2bsin A=0,所以 sin A-2sin Bsin A=0,因为sin A0,所以sin B=.又B为锐角,所以B=.(2)根据余弦定理,得b2=7=a2+c2-2accos,整理,得(a+c)2-3ac=7.由已知a+c=5,得ac=6.又a>c,故a=3,c=2,所以cos A=,所以·=|·|cos A=cbcos A=2××=1.【小结】与解三角形的知识交汇考查时,向量数量积的计算多使用公式a·b=|a|b|cos<a,b>,应围绕公式中的量,由已知向未知转换,完成对数量积的求解.探究三:【解析】(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-,因此B=120°.(2)由(1)知A+C=60°,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=+2×=,故A-C=30°,因此C=15°.问题根据cos(A-C)=,一定能得出A-C=30°,从而角C一定为15°吗?结论根据cos(A-C)=,得出A-C=30°不一定成立,A-C还可能为-30°.(1)同错解部分. (2)由(1)知A+C=60°,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C =+2×=, 故A-C=30°或A-C=-30°, 因此C=15°或C=45°.【小结】三角恒等变换公式与正、余弦定理交汇考查时,多体现在利用恒等变换公式计算相应角的三角函数值,然后再利用正、余弦定理解三角形或求解三角形的角、边等.思维拓展应用应用一:由已知得,函数f(x)的周期为.f(x)=-cos2+sin x=-+sin x=sin x-cos x-=sin(x-)-,=2,f(x)=sin(2x-)-.(1)由2k+2x-2k+,得2k+2x2k+,k+xk+(kZ),f(x)的单调减区间是k+,k+(kZ).(2)由f(A)=,得sin(2A-)-=,sin(2A-)=1,0<A<,-<2A-<,2A-=,故A=.由SABC=bcsin A=3,c=3,得b=4,a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3×=13,故a=.应用二:f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1=-cos 2x+sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=sin(2x+).(1)f(x)0,即sin(2x+)0,2k2x+2k+(kZ),得:k-xk+(kZ),f(x)0的解集为k-,k+(kZ).(2)由f(A)=sin(2A+)=可得:2A+=+2k或+2k,A=,·=bccos A=bc=9,bc=18.又b+c=2a,cos A=-1,a=3.应用三:(1)a=2,b=3,cos C=-,c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×(-)=16.c=4.(2)在ABC中,cos C=-,sin C=,且C为钝角.又=,sin A=,cos A=,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=×(-)+×=.基础智能检测1.D设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值cos =.2.Asin A+cos A=cos(A-45°)=,cos(A-45°)=.又0°<A<180°,A=105°,sin A=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=.又AC=2,AB=3,SABC=AC·AB·sin A=×2×3×=(+).3.2依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B=a2+(2a)2-2×a×2a×=4a2,所以b=c=2a,sin B=,又SABC=acsin B=××b×=,所以b=2.4.解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x-=sin 2x-=sin(2x-)-1,当且仅当x=k-(kZ)时,f(x)取得最小值-2.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,0<C<,-<2C-<,2C-=,即C=,sin B=2sin A,由正弦定理得:=,由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3,联立可得a=1,b=2.全新视角拓展A由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Bsin(A+C)=sin2B=sin B,因为sin B0,所以sin B=,又因为a>b,所以B为锐角,故B=.