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1、第13讲圆锥曲线(含轨迹问题) 本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)要能准确建模(方程或不等式)1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质1. 若椭圆1的离心率e，则m_答案
2、：3或2. 若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_答案：3. 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_答案：1解析：由题设可得双曲线方程满足3x2y2(0)，即1，于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则c236，于是27，所以双曲线的方程1.4. 在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆1(ab0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P、Q两点若PQM是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是_答案：解析：由题
3、意可得点M坐标是，又PQM是钝角三角形，所以圆心M到y轴的距离c小于MF，即c，acb2a2c2，c2aca20，所以e2e10，解得e.又e0，所以0e.题型一 轨迹问题例1 离心率为的椭圆C：1(ab0)上有一点M到椭圆两焦点的距离之和为10，以椭圆C的右焦点F(c，0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT，T为切点，且点P满足|PT|PB|(B为椭圆C的上顶点)(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P的轨迹的方程解：(1) 2a10，a2b2c2， a5，c4，b3， 椭圆方程是1.(2) 设点P(x，y)， F(4，0)，R3，B(0，3)，|PT|PB|， PF29PB2， (x4)2y
4、29x2(y3)2，整理得到4x3y10.如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2) 求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解：(1) 设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)， 点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|， xPx且yPy. P在圆x2y225上， x225，整理得1，即C的方程是1.(2) 过点(3，0)且斜率为的直线方程是y(x3)，设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程1，得1，化简
5、得x23x80， x1，x2， |AB|，即所截线段的长度是.题型二 椭圆的几何性质例2 已知椭圆1(ab0)的右焦点为F1(2，0)，离心率为e.(1) 若e，求椭圆的方程；(2) 设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上 证明：点A在定圆上； 设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围(1)解：由e，c2，得a2，b2，则所求椭圆方程为1.(2) 设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，故M，N. 证明：由题意，得0，化简，得xy4，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上 解：设A(x0，y0)，则(1k2)将e，x得a，b2
6、a2c24，代入上式整理，得k2(2e21)e42e21.因为e42e210，k20，所以2e210，即e.又k23，化简得解得e242，即e1.故离心率的取值范围是. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2y21上(1) 求椭圆的方程；(2) 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin. 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； 求OA2OB2.(1) 解：依题意，得c1，于是a，b1，所以所求椭圆的方程为y21.(2) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.又设M(x，y)，因cossin，故因M在椭圆上，故(
7、y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.将代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以kOAkOB为定值 解：因(y1y2)2(1y)(1y)1(yy)yy，故yy1.又2，故xx2，所以OA2OB2xyxy3.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上(1) 解：由题意知b，因为离心率e，所以，
8、所以a2，所以椭圆C的方程为1.(2) 证明：由题意可设M、N的坐标分别为(x0，y0)、(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.(证法1)联立解得x，y，即T.由1可得x84y.因为1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上(证法2)设T(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上题型四 与椭圆有关的综合问题例4 如图，已知A1、A2、B1、B2是椭圆C：1(ab0)的四个顶点，A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1) 求椭圆C及圆M的
9、方程；(2) 若点D是圆M劣弧上一动点(点D异于端点A1、B2)，直线B1D分别交线段A1B2、椭圆C于点E、G，直线B2G与A1B1交于点F. 求的最大值； 试问：E、F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解：(1) 由题意知，B2(0，1)，A1(，0)，所以b1，a，所以椭圆C的方程为y21.易得圆心M，A1M，所以圆M的方程为y2.(2) 设直线B1D的方程为ykx1，与直线A1B2的方程yx1联立，解得点E，联立消去y并整理，得(13k2)x26kx0，解得点G， 因为G、E、B1共线，所以111，当且仅当k时，取“”，所以的最大值为. 直线B2G的方程为y
10、x1x1，与直线A1B1的方程yx1联立，解得点F，所以E、F两点的横坐标之和为2.故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为2.在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2y24x20的圆心(1) 求椭圆E的方程；(2) 设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1、l2.当直线l1、l2都与圆C相切时，求P的坐标解：(1) 由x2y24x20，得(x2)2y22，故圆C的圆心为点(2，0)，从而可设椭圆E的方程为1(ab0)，其焦距为2c，由题设知c2，e， a2c4，b2a2c212，故椭圆E的方程为1.(2) 设点P的坐标为(x0，y0)，l1、l2
11、的斜率分别为k1、k2.则l1、l2的方程分别为l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2.由l1与圆C：(x2)2y22相切，得，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.从而k1、k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的两个实根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02或x0.由x02，得y03；由x0，得y0，它们满足式，故点P的坐标为(2，3)或(2，3)或，或.1. (2014安徽卷)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点若|AF1
12、|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_答案：x2y21解析：设B在x轴上的射影为B0，由题意得|B0F1|F1F2|，得B0坐标为，即B点横坐标为.设直线AB的斜率为k.又直线过点F1(c，0)， 直线AB的方程为yk(xc)由得(k2b2)x22ck2xk2c2b20，其两根为和c，由韦达定理得解得c2， b21c2. 椭圆方程为x2y21.2. (2014江西卷)过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_答案：解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1， 0，即1. a22b22(a2c2)，即a22c
13、2， e.3. (2014湖北卷)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_答案：解析：由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2. F1PF2， 由余弦定理可得4c2rr2r1r2cos.在椭圆中，化简为即4c24a3r1r2，即1；在双曲线中，化简为即4c24ar1r2，即1.联立，得4，由柯西不等式得，即4，即.4. (2014湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0
14、)经过C、F两点，则_答案：1解析：依题意可得C，F，代入抛物线方程得ap，b22a，化简得b22aba20，即210，解得1.5. (2014重庆卷)如图，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解：(1) 设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2，由2，得DF1c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|.由DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|
15、2|F1F2|2，因此|DF2|.所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21，因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2) 如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由F1P1F2P2，得(x11)2y0，由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x0.解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1
16、时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，由F1P1，F2P2过圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1F1P1.又|CP1|CP2|，故圆C的半径|CP1|P1P2|x1|.6. (2014天津卷)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：(1) 设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2) 由(
17、1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)，由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又点P在椭圆上，所以1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c.代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4，所以直线l的斜率为4或4.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014南师附中)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)
18、的离心率为，两个顶点分别为A1(2，0)、A2(2，0)过点D(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，直线A1M与NA2的交点为G.(1) 求实数a、b的值；(2) 当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1、P2使得P1MN和P2MN的面积为S，求S的取值范围；(3) 求证：点G在一条定直线上(1) 解：由题设可知a2.(1分)因为e，即，所以c.因为b2a2c2431，所以b1.(2分)(2) 解：由题设可知，椭圆的方程为y21，直线MN的方程为yx1.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立方程组消去y可得5x28x0，解得x10，x2.将x10，x2代入直线MN的方程，解得y11，y
19、2.所以MN.(4分)设与直线MN平行的直线m的方程为yx.联立方程组消去y可得5x28x4240，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足64220(424)0，解得.(6分)当直线m为yx时，直线MN与m之间的距离为d1；当直线m为yx时，直线MN与m之间的距离为d2.(8分)设点C到MN的距离为d，要使CMN的面积为S的点C恰有两个，则需满足d1dd2，即d.因为SdMNd，所以S.(10分)(3) 证明：(方法1)设直线A1M的方程为yk1(x2)，直线A2N的方程为yk2(x2)联立方程组消去y得(14k)x216kx16k40，解得点M的坐标为.同理，可解得点N的坐标为.(12分)由M、
20、D、N三点共线，有，化简得(k23k1)(4k1k21)0.由题设可知k1与k2同号，所以k23k1.(14分)联立方程组解得交点G的坐标为.将k23k1代入点G的横坐标，得xG4.所以，点G恒在定直线x4上(16分)(方法2)显然，直线MN的斜率为0时不合题意设直线MN的方程为xmy1.令m0，解得M、N或M、N.当M、N时，直线A1M的方程为yx，直线A2N的方程为yx.联立方程组解得交点G的坐标为(4，)；当M、N时，由对称性可知交点G的坐标为(4，)若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x4.(12分)下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x4上设M(x1，y
21、1)、N(x2，y2)、G(4，y0)由点A1、M、G三点共线，有，即y0.再由点A2、N、G三点共线，有，即y0.所以.将x1my11，x2my21代入式，化简得2my1y23(y1y2)0.(14分)联立方程组消去x得(m24)y22my30，从而有y1y2，y1y2.将其代入式，有2m30成立所以当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x4上(16分)1. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_答案： (，1)(2，)2. 点P为椭圆1(ab0)上一点，F1 、F2为椭圆的焦点，如果PF1F275，PF2F115，则椭
22、圆的离心率为_答案： 3. 已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_答案：x14. 设P点在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y21上移动，则|PQ|的最大值是_答案：1解析：圆心C(0，2)，|PQ|PC|CQ|1|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值设Q(x，y)， |CQ|. 1y1， 当y时，|CQ|max， |PQ|max1.5. 如图，椭圆C：1的右顶点为A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点(1) 求证：直线DE与直线BP的交
23、点在椭圆C上；(2) 若过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标证明：(1) 由题意得A(4，0)，B(0，2)，D(0，2)，E(2，0)，P(4，1)，所以直线DE的方程为yx2，直线BP的方程为yx2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为1，所以点在椭圆1上，即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上(2) 直线BR的方程为yk1x2.解方程组得或所以点R的坐标为.因为k1k2，所以直线BS的斜率k2，直线BS的方程为yx2.解方程组得或所以点S的坐标为.(若写成“同理可得点S的坐标为
24、”也可以)所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O.6. 如图，已知椭圆C：1(ab0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2y2 (c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1) 若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；(2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值(O是坐标原点)；(3) 若存在点P使得PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围(1) 解：令椭圆mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即椭圆C的方程为1.(2) 证明：直线AB：1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为
25、，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为，化简为x2x0xy2y0y0，与圆x2y2作差，即有直线MN：x0xy0y.因为点P(x0，y0)在直线AB上，所以1，将y0bx0代入MN方程，化简得x0(xy)0，所以得x，y，故定点E，则(，).(3) 解：直线AB：1与圆G：x2y2(c是椭圆的半焦距)相离，则，即4a2b2c2(a2b2)，即4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因为0e1，所以0e23.连结ON、OM、OP，若存在点P使PMN为正三角形，则在RtOPN中，OP2ON2rc，所以c，即a2b2c2(a2b2)，即a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因为0e1，所以e21.综上，由得e23，所以e.
【最高考】高考数学二轮专名师讲义：第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)含答案
