三角形（备课）

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1、三角形的特性（第8082页）本节包括三角形的定义、三角形各部分名称、三角形的稳定性（边读边想：这三个知识点是本节课的内容）、三角形任意两边的和大于第三边等内容。1情境图。编写意图这是一幅建筑工地场景图（边读边想：这幅图不像建筑工地），图上楼房建筑框架上（边读边想：估计跟学生说“楼房建筑框架”，学生会看不懂，因为不像楼房，更像集装箱，怎么办？）、脚手架上（边读边想:显然不是脚手架，还有是否要强调面上有三角形？）包含有大量的三角形。教材提供了这样一幅三角形在生活中应用的直观图，目的是让学生联系生活实际思考并说一说“哪些物体上有三角形？” （边读边想：如果用教材的图教学，学生可能会说什么？墙面上有三

2、角形？集装箱上有三角形？吊车上有三角形？当学生说是集装箱上或吊车上，而不是“楼房建筑框架”和“脚手架上”，我该怎么引导，就说书上的图画得不好，这样肯定不行，可能以后学生就不喜欢看课本了。）激发学生学习三角形的兴趣，（边读边想：说一说物体上有三角形，就能激发兴趣吗？是否要强调生活中的运用和作用，让学生产生学习的愿望。如果是，这个情景就不是最理想的，换一个？有老师讲过这个例子，教学角的认识，教师不能就指着黑板的一个角说，同学们，这里有个角，看见了没有？看见了。今天我们就来认识角。学生心想，这个角又不是昨天晚上长出来的，早就有了，干嘛今天要认识角。）而且引起学生对三角形及其在生活的作用的思考。教学建

3、议教学时，可以先出示情境图，也可以先让学生说一说生活中的三角形（边读边想：看图说不如让学生说生活中的），再看情境图，教师可根据个人的需要灵活处理。为让学生进一步研究三角形的特征，了解三角形的作用做好准备。（边读边想:要做准备的话，是不是要呈现几幅生活中的图片？网上应该能检索到。真不想检索，就画个草图算了，不能，等一下要作为教学资源教学稳定性的，数学教学还是应该精益求精。上网找! 百度一下，有了利用三角形的稳定性建成的建筑：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三角形。看看哪几个离学生近一些，学生能够接受。看来，备课离不开网络。）2.例1。编写意图（1）例

4、1是有关三角形定义的教学。教材让学生在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。（边读边想：操作活动要进一步感知三角形的属性，说明不能只是简单地画一个，是否带着问题边思考边画呢？比如，请同学们画一个三角形，画的时候要思考你是怎么画的，怎么把你画的三角形介绍给别人？学生的表达就成了学生抽象的基础）这样有利于学生借助直接经验，把抽象的概念和具体的图形联系（边读边想：指着图说，就是一种联系）起来。 （2）出示三角形的定义后（边读边想：这个定义是出示吗？要看看怎么建议的），教材在已学的垂直概念的基础上，引入了三角形的底和高。三角形的底和高实际上是一组互相垂直的线段，这两个概念在学习三

5、角形面积的计算时要用到。（边读边想：底和高的引入和概念建立，没那么简单！）（3）最后，为了便于表述（边读边想：教学时，要让学生做几个表达练习，体会用字母表示的必要性），教材说明如何用字母表示三角形。教学建议（1）教学时，要充分考虑到学生已有的生活经验（边读边想：生活中学生应该遇到过有三角形的物体）和知识基础，恰当把握教学要求。三角形是生活中常见的图形，在第一学段学生已初步认识过。（边读边想：第一学段的什么时候初步认识过？要查一下。查到了：一年级下册，第三单元“图形的拼组”这里主要是通过一些操作活动，让学生初步体会长方形、正方形、三角形、圆的一些特征，如，知道正方形的四条边都相等，长方形的对边相

6、等，三角形由三条边组成等。并感知平面图形间和立体图形间以及平面图形与立体图形间的一些关系。原来三角形由三条边组成，一年级就知道了）这里重点是引导学生发现三角形的特征，（边读边想：还是觉得可以试试请同学们画一个三角形，画的时候要思考你是怎么画的，怎么把你画的三角形介绍给别人？）概括出三角形的定义。 （2）教学三角形的定义时，可让学生在纸卡上画出三角形（边读边想：如果每个学生都画一个三角形，每位学生画的三角形都是不一样的，应该让学生介绍“这是我画的三角形的边”），思考所画的三角形有几条边？几个角和几个顶点？并尝试标出三角形的边、角、顶点。（边读边想：学生在标出自己画的三角形的边、角、顶点时，是否让

7、一个学生拿着本子到展台上画？还是让学生画好后在展台上介绍？展台是一定要用的）然后在小组内展示（边读边想：原来是要在小组内展示，也可以），观察并找出这些三角形的共同点，（边读边想：这些是哪些？是小组学生们画得这些？如果是这样，能否提问：你们小组的几位同学都画出三角形来了吗？这些三角形有什么共同点呢？猜想一下，别的小组同学画得也是这样吗？那我们可以得出什么样的结论？）使学生明确三角形的特征。接着让学生尝试概括三角形的含义，（边读边想：这里是学生自己概括，还是小组交流，还是直接提问，让好学生回答？如果学生说“由三条线段连成的图形，叫做三角形”，这应该是个不错的回答，当学生都认同“连着”的时候，适度展

8、开就是括号里的那句“每相邻的两条线段的端点相连”，方式可以是，师：连着，怎么连呀？指着图连给我们看看嘛！生指。师对全班：他的意思，其实就是怎么连呀？生：，概括“每相邻的两条线段的端点相连”。如果需要的话，可以追问你怎么理解这句话中的“每”字的？生：每当、每个、每组的意思。那么这句话就可以理解成每组相邻的两条线段的端点相连。在数学上叫做“围成”，如果有一组相邻的两条线段的端点不相连，还是三角形吗？可以用教具演示），再与课本上的定义比较，着重理解“围成”。之后可出示一组含正、反例的图形让学生辨析，建立正确的三角形概念。（3）教学三角形的底和高时，可让学生在例1的基础上，（边读边想：教学用书里，总是

9、建议“让学生”，“让学生”，学生能那么听话地配合吗，就算是配合也是被动的。能否把“让学生”改成“让学”？这节课不能照着教学用书这么上，尽管还是给了一些有用的建议。）选择画好的三角形的一个顶点向它的对边做一条垂线。（边读边想：一个顶点向它的对边，这句话不能一句带过，学生是第一次接触，估计难理解，有难度！必要时，要设计一个学习活动，来理解这句话，这是画高的基础）然后指出顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。再让学生在小组内展示（边读边想：不能很好地理解并画出来，展示活动没有意义）自己所画的底和高。最后请学生思考、操作“你还能在三角形内画出其他的底和高吗？” （边读边想：画出其

10、他的底和高，应该是在较好地建立一组底和高的基础上，才能提出的要求。）但要注意的是在钝角三角形两条短边上做的高在三角形外，学生比较难理解，在小学阶段不作要求。（边读边想：学生有可能画出钝角三角形吗？如果画出来了，怎么交代呢？总不能说，你这个就不用画了，学生要说为什么呢？）这部分内容的教学也可以由实例入手，让学生量出三角形房顶或斜拉索桥的高度，引出底和高的概念进行教学。（边读边想：是否值得一试？底和高的教学，理解和操作都是难点，应该让学生在“做中学”，要好好动动脑筋了！这节课的创新点，也是学生的探究点，就定在这？让学生留些一辈子的记忆？或许，30年后师生见面，学生说，小学阶段，我就只记得老师您拿跟

11、我们讲底和高的，我一直都记得。后来做这样的数学题就没有错过！小学阶段的其他事情，我都没什么印象了。我还用这个方法教我的儿子呢！） （4）最后说明为了表达方便，可以用字母来表示三角形，并说明如何表示。3.例2。编写意图稳定性是三角形的重要特性，（边读边想：前面是“特征”，这里是“特性”）在生活中有着广泛的应用。对它进行教学可以让学生对三角形有更为全面和深入的认识，同时有利于培养学生的实践精神和实践能力。教材对这一内容的设计思路是“情境、问题实验、解释特性应用”。教学建议（1）教学时，可先出示教材中的插图，引导学生讨论、交流：图上哪儿有三角形？它们有什么作用？然后组织学生用课前制作的三角形进行实验

12、，了解三角形的稳定性。最后请学生列举三角形稳定性在生活中应用的例子。 （2）稳定性的实验也可以这样设计：先出示一个长方形画框，拉动使其变形，请学生思考“为什么会这样？”“怎样才能把画框固定？”然后请学生用课前制作的三角形进行实验，发现特性。最后列举生活实例，并进行应用把画框固定。（边读边想：教学三角形的稳定性，老师们都会让学生“拉一拉”。拉不动就是稳定性吗？当这个问题蹦出来的时候，想起几年前在人民教育上读过的一篇文章，要查阅并仔细研读了，当时的阅读也是为了今天备课时的深入研读，研读并内化了，教学才有可能更指向数学的本质。远方有歌声在唱：“借我借我一双慧眼吧，让我把这世界看个清清楚楚、明明白白。

13、”）找到了追问学校数学与生活数学的分野人民教育 仲海峰纪 实不久前，学校组织了一次青年教师同上一节课（三角形的认识）的教学观摩活动。连续五节课中，学生们多次类似的质疑，引发了听课老师对三角形稳定性的深入思考。下面是其中的两则案例。案例1：生：老师，我发现有的三角形没有稳定性！师：同学们想体验一下三角形的稳定性吗？生（齐）：想-！师：在每张课桌的抽屉里各藏了一个三角形和四边形木架，请拿出来，同座之间相互拉一拉。大家正玩得高兴，突然一位学生叫起来：老师，我发现有的三角形没有稳定性！兴奋的叫声几乎吸引了所有人的目光。只见学生手中拿着由四根小棒钉成的三角形木架。三角形具有稳定性。学生手上的木架是三角形

14、的。所以它应具有稳定性。这似乎是一个严密的三段论。可事实上，学生手上的三角形木架却不稳定。这该如何解释呢？案例2：生：这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。师：三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用，如自行车中部的车架就是三角形的（出示图片）一个学生嘀咕：那好像不是三角形的。对，不是三角形，是四边形！一些学生响应。这个车架虽然是四边形，但它是铁的，也有稳定性。又一个学生补充道。对于三角形稳定性，教材中是这样描述的：用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变。可见，三角形具有稳定性。同理，用四根钢管焊成一个四边形（车架），用力拉这个四边形，这个四边形的形状不会改变。可见

15、，四边形也就具有稳定性了。但是，四边形怎么会具有稳定性呢?分 析曾尝试着这样解释案例1中的问题-四根小棒围成的这个木架形状虽然是三角形的，但它有一条边是由两根小棒组成的，所以它就容易变形了。然而当我们对这个解释再作分析时，突然发现，其实我们已经从另一角度默认了有的三角形不具有稳定性这种错误论述。要真正向学生解释清楚这些看似简单甚至幼稚的问题，并不像我们想象的那么简单。课堂上执教老师突然遇此质疑，视而不见、避而不答，应该说情有可原！可如果今后我们再遇到此问题，那该如何处理？带着思考和疑问，课后我讨教了几位经验丰富的老师。他们的意见大体可归为两类：一种意见认为，导致上述矛盾的主要原因在于，我们将三

16、角形与三角形物体混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性。如案例1中，对于三根小棒围成的三角形这个图形来说具有稳定性，但对于四根小棒围成的三角形木架这一物体来说，它却容易变形。再如，四根钢管围成四边形车架虽不易变形，但它并不代表四边形就具有稳定性。从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以物代形的嫌疑。另一种意见认为，主要原因在于学生将生活中的稳定与三角形稳定性的稳定混为一谈。生活中，将一根木棒插入地面，使劲儿摇它，它不动，我们说这根木棍很稳定，显然此稳定并非三角形稳

17、定性之稳定。认真推敲上述两类分析，再结合自己的想法，笔者认为，上述矛盾的根本原因在于老师们对数学教学生活化、活动化的误解，导致了对生活经验负面干扰的忽视和对数学自身科学性、严密性的弱视。这在学校的观摩课中明显表现为，几乎所有上课老师的课堂中都出现了相似的环节：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现三角形木架不管怎么使劲儿拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了，于是学生自然地归纳出三角形具有稳定性，四边形容易变形。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴，印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生深刻的印象其实只停留在使劲拉上-四根木棍围成的三角形因为拉得动，所以不具稳定性；自行车车架

18、虽是四边形，但它是铁的，拉不动，所以就具有稳定性。其实，打开百度网站，三角形稳定性，就会发现很多网页中的三角形稳定性明确指向于形状和大小完全确定。其中最具代表性的描述是：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。这就是说，三角形的稳定性不是拉得动、拉不动的问题，其实质应是三角形边长确定，其形状和大小就确定了。比较教材和网上关于三角形稳定性的描述，应该说各有千秋。网上的描述明确地揭示了三角形稳定性的本质特征边长确定，则大小、形状唯一，而教材上的描述则显得亲切、形象，与生活十分贴近。（但是作为教师我们应该不只是停留在教材表面基础上的）尝 试

19、学生思维的具体、形象与数学自身的抽象、形式之间的关系到底该如何处理？能在两者间找到一个恰当的平衡点吗？在与同事们一起思考、推敲后，我试上了一节三角形的认识，截取其中关于三角形稳定性的教学片段如下：师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？生（齐）：能。老师请来几位认为能的学生到投影仪上演示，若干次尝试后，学生们发现不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。于是老师顺势引导学生归纳：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。师：下面我们来做个实验-在每一张课桌的抽屉里各藏

20、有一个三角形和多边形木架，请拿出来，同座之间互相拉一拉.师：通过实验你发现了什么？生：我发现三角形木架怎么拉也不变形，而多边形木架轻而易举就变形了！师：知道这是为什么吗？生：因为三角形只要三条边长固定了，它的形状和大小就完全确定了。生：因为多边形的边长虽然固定，但它的形状和大小并不能确定.将三角形稳定性明确定位于边长确定，大小、形状也就确定，先用牙签围三角形，再借助经典的拉三角形、多边形木架验证之。这样的教学不仅形象、易懂，而且科学、明确地指向三角形稳定性的本质，有效地避免了理解上的歧义。现在回过头再来解释文章开始提及的两个问题，就显得有理有据，更有说服力了。案例1中，四根小棒围成的三角形木架

21、虽然有两条边长度固定，但它的第三条边由两根小棒组成，它两端点间的距离随两根小棒的活动而变化。边的长度不确定，其形状、大小也就不能确定。由此可见，以前我们习惯的说法三角形具有稳定性并不严密，严密的说法应该是：边长确定的三角形具有稳定性。案例2中，因为判断某图形是否具有稳定性，要看该图形如果边的长度确定，所围成的图形形状、大小能否确定。用长度确定的四根钢管焊车架，可以焊成各种形状的图形，显然不具有数学意义上的稳定性。当然，若从另一个角度思考，这个例子正好又说明了三角形具有稳定性-四边形钢管之所以拉不动，是因为它是铁做的，四条边被焊在一起，四个顶点中任意三个相邻的顶点间的距离不能改变，即三角形三条边

22、长确定。根据三角形稳定性的定义，三角形三条边长度确定，其形状、大小也就确定了。思 考长期以来，数学教学一直存在严重脱离实际的弊病。中国乃至世界各国历次数学教育改革一直想解决好此问题，然而结果始终不尽如人意。实施新课程以来，有人再次提出了数学教学生活化、数学教学活动化、学校数学应向生活数学回归等口号，生活、活动成为数学课程改革中的两个关键词。然而，生活与数学的关系怎能用一个简单的回归就可以概括！首先，生活中获得的各种经历、体验，未必就恰好能为抽象的数学概念和知识提供适切的基础，不仅如此，它还可能包括许多干扰因素。其次，生活数学与学校数学之间存在着本质的区别。生活数学是学生在日常生活中自然积淀、自

23、由生成的纯经验型数学信息，它具有个体性、随意性和直接性。而学校数学则是学生在学校中，通过有目的、有计划的学习获得的数学信息，它具有社会性、计划性、抽象性和形式化特征。因此，笔者认为数学应该与生活经验建立起联系，但必须注意，在生活化的过程中，要切实处理好生活的随意性与数学的严谨性、抽象性之间的关系，防止数学内涵的流失。生活化的最终目的还是要实现形式化思维的提升。正如香港有的学者指出的，数学教学的生活化直接导致了学生思维的卡通化、浅表化，我们的学校数学教学当努力促进学生由卡通思维向形式思维的有效过渡。转自人民教育郑毓信很高兴读到仲海峰老师的文章。文中不仅对如何进行三角形相关知识的教学进行了深入探讨

24、，而且还涉及了生活数学与学校数学的关系这一普遍的问题。 生活数学与学校数学的关系并不只是在三角形的稳定性这一具体内容的教学中有着突出的表现。事实上，它是数学教学的一个基本问题。因为，尽管在程度上可能有所差异，但我们也可就其他一些教学内容提出类似的困惑，例如，生活中的前后、正负等概念往往具有明显的方向性，从而与数学中前后、正负关系的相对性构成直接的矛盾。从这样的角度去分析，我们就能更好地理解仲文的基本立场，特别是，我们应对数学对象（及其性质）与生活中的相应事物或现象（及其性质）做出明确的区分。进而，这又不能不说是强调数学教学的生活化（乃至数学向生活的回归）所十分容易导致的一个严重后果，即学生思维

25、的卡通化、浅表化，对数学概念产生误解。当然，从理论的角度看，也有一些问题值得我们更为深入地去思考：在生活数学与学校数学之间究竟存在什么样的本质区别？又存在什么样的联系？什么是造成理解上的歧义的主要原因？我们在教学中又应如何去防止所说的现象乃至学生生活经验对于数学学习所可能产生的负面干扰？造成理解上的歧义的一个重要原因是：由于数学中的不少词语（如稳定性）都是由日常语言中直接借用过来的，因此，如果对这一过程缺乏清楚认识的话，就很容易造成意义的混淆，包括日常意义对于数学学习的干扰。更为一般地说，这就涉及数学抽象的一个基本性质：模式化过程。从而，即使我们是由生活中的相关对象或现象直接去引出相应的数学概

26、念，仍然有一个重新定义（建构）的过程。例如，就当前的论题而言，这首先就是指我们在此所研究的既非学生手中的那个三角形木架，也不是教师在黑板上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念；其次，这里所说的三角形的稳定性也有其特定的含义（边长确定，大小、形状也就确定），从而就不应与通常所谓的牢固性、确定性等相混淆。容易看出，上述的模式化过程也就直接决定了在生活数学与学校（形式）数学之间存在如下重要区别：如果说生活数学明显地表现出了情境相关性进而产生应用的局限性，那么，普遍性就是学校数学的一个主要特征，而这也就直接决定了学校数学有着更为广泛的应用。当然，以上的分析也已表明：学校数学在现实中的应用

27、同样依赖于必要的抽象，特别是其中必定包含一定的简化、理想化和具体化-显然，我们事实上也就可以从这样的角度对文中所提及的有的三角形没有稳定性这样的困惑作出具体解释。综上可见，我们无疑不应片面地去提倡数学教学的生活化，但同时也不应唯一地强调数学教学的形式化，也就是说，正确处理生活数学与学校数学的关系应被看成搞好数学教学的关键所在。我们不仅应当帮助学生很好地去实现由生活数学向学校数学的必要过渡，包括充分利用学生已有的生活经验（和知识）以及切实防止其对于数学学习的负面干扰，而且还应当帮助学生很好地学会如何在实际生活（包括新的学习活动）中有效地应用学校中所学到的各种数学知识。最后，还应强调的是，努力提高教材的编写质量是当前十分紧迫的一项任务。为了很好地实现这一目标，我们不仅要切实立足于实际的教学活动，不断实践、总结、改进，而且也应从理论层面对课程改革的各个基本理念进行更为深入和自觉的认识与反思。（边读边想：读完了人教版教材的教学用书，还想看看苏教版或其他版本的教材和教学建议，一定会有新的启示）以下是苏教版的教材编者是怎样说的呢？登录小学数学教学网。