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1、精选中考压轴题（包含分类讨论）2、（上海卷）已知点在线段上，点在线段延长线上以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点（1）如图，如果，求证：；（2）如果（是常数，且），是，的比例中项当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围解 （1）证明：， ， ， （2）解：设，则，是，的比例中项， 得，即 是，的比例中项，即， 设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时， ；当点与点或点重合时，可得，当点在圆上运动时，； （3）解：由（2）得，且，圆和圆的圆心距，显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含当圆
2、与圆相交时，得，； 当圆与圆内切时，得； 当圆与圆内含时，得 点评今年的上海市数学压轴题难度与去年相差不大，是比较传统的压轴题，应该说比较容易上手，考查的知识点较多，综合性较强，第2小题考到了方程思想，第3小题又运用到了分类讨论思想，在解决这种题时应在比较牢固掌握基础知识的同时培养自己运用各种数学思想方法的能力，本题是一道好题，符合上海市二期课改的理念。7、（广东广州课改卷）已知抛物线（1）求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；（2）过点作轴的垂线交该抛物线于点和点（点在点的左边），是否存在实数，使得？若存在，则求出满足的条件；若不存在，请说明理由解 （1）证法1：，当时，抛物线顶点的纵坐标为，
3、顶点总在轴的下方而该抛物线的开口向上， 该抛物线与轴有两个不同的交点（或者，当时，抛物线与轴的交点在轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与轴有两个不同的交点）证法2 ：，AxyPO当时，该抛物线与轴有两个不同的交点（2）存在实数，使得设点的坐标为，由知，当点在点的右边时，点的坐标为，且是关于的方程的两个实数根，即且（I），（II）由（I）得，即将代入（II）得，当且时，有ABxyPO当点在点的左边时，点的坐标为，且是关于的方程的两个实数根，即且（I），（II）由（I）得，即将代入（II）得，且满足当且时，有点评本题是一道以二次函数为背景的压轴题，是一道区分度较好的试题，其第1小题只需学生熟悉
4、二次函数的基本性质即可得证，不算难，第2小题则有一定的能力要求，较易漏解，这往往是缺乏数形结合思想所致，解这类题时不要急着下笔，要做到能够领会命题者的意图，做到胸有成竹方可下笔。9、（广西贵港课改卷）如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒（1）求出点的坐标；（2）当为何值时，与相似？OPAQByx（3）求出（2）中当与相似时，线段所在直线的函数表达式解 （1）由，令，得；令，得 的坐标分别是 （2）由，得当移动的时间为时， ，当时， （秒），当时，
5、（秒）秒或秒，经检验，它们都符合题意，此时与相似 （3）当秒时， 线段所在直线的函数表达式为 当时，设点的坐标为，则有，当时，的坐标为 设的表达式为，则，的表达式为 点评这是一道以一次函数为背景的动态几何问题，这类压轴题向来是中考的热点问题，第2小题要求学生动中求静，将动态问题转化为静态的几何问题，再运用相似的有关知识解决问题，同时要注意分类讨论。13、（河南卷）二次函数的图象如图所示，过轴上一点的直线与抛物线交于，两点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，（1）当点的横坐标为时，求点的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点，作轴于，轴于，在上是否存在点，使为直角若存在，求点的坐标；若不存在，请
6、说明理由；（3）当点在抛物线上运动时（点与点不重合），求的值解 （1）根据题意，设点的坐标为，其中点的横坐标为， 轴，轴，即解得（舍去）， （2）存在连结，由（1），设，则轴，轴，解得经检验均为原方程的解点的坐标为或 （3）根据题意，设，不妨设，由（1）知，则或化简，得， 点评此题是一道以二次函数为蓝图的综合题，涉及面较广，第1小题较常规，第2小题是结论存在性问题，第3小题有一定的难度，需学生熟练地综合运用代数几何知识进行求解。15、（湖北黄冈卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从点同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，
7、交于点，连结，当两动点运动了秒时（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）（2）记的面积为，求与的函数关系式（3）当 秒时，有最大值，最大值是 （4）若点在轴上，当有最大值且为等腰三角形时，求直线的解析式OMxyCNP解 （1） （2）在中，边上的高为，即 （3） （4）由（3）知，当有最大值时，此时在的中点处，如下图设，则，.为等腰三角形，若，则，此时方程无解若，即，解得若，即，解得，当为时，设直线的解析式为，将代入得直线的解析式为当为时，均在轴上，直线的解析式为（或直线为轴）当为时，在同一直线上，不存在，舍去 故直线的解析式为，或 点评今年的黄冈市数学压轴题非常经典，有一定的难度，试题
8、的图形看似比较平凡，好像没有什么创意，但仔细读题，你会发现本题的4个小问都问得很好，尤其是第4小问，这4个小题环环相扣，一气呵成，此题着重考查了函数最值、等腰三角形等知识，同时又是一个动态问题、又要进行分类讨论，可见命题者之用心良苦。16、（湖北咸宁卷）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由（4）
9、35若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式解 解法一：（1）依题意，在中， 而，点的坐标分别为 解法二：（上同解法一）设点的坐标为，则在中，解得，点的坐标分别为（2）设抛物线的解析式为，抛物线过点，解得抛物线的解析式为 对称轴的方程为（或用配方法：对称轴的方程为（3）存在这样的点，使的内心在坐标轴上解法一：若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，点的坐标为直线的解析式为 解方程组得，点的坐标为 若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，点的坐标为，直线的解析式为 解方程组得，点的坐标为 综合可知点的坐标
10、为或 解法二：当的内心在轴上时，设的坐标为，过作轴于， ，点的坐标为 当的内心在轴上时，设的坐标为，过作轴于， ， 点的坐标为综合可知，点的坐标为或（4）点的坐标为；直线的解析式为提示：根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线时，两点到直线的距离之和最大，此时点为垂足利用三角形相似可求得点的坐标点评此题是一道难得的好题，第1、2小题是常规题，有一定基础的学生均能较轻松的搞定，第3小题是结论存在性问题，又需分类讨论，较容易漏解，第4小题可能比较难，具体解题思路可参考提示。8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA
11、方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标。（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。解：（1）由 可得A（4，4）。（2）点P在y = x上，OP = t，则点P坐标为点Q的纵坐标为，并且点Q在上。，即点Q坐标为。当时，。当，当点P到达A点时，当时
12、，。（3）有最大值，最大值应在中，当时，S的最大值为12。（4）。例3（06仙桃）建设新农村，农村大变样向阳村起了天然气供应站，气站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀，在以后的16小时(4002000)，同时打开进气阀和供气阀，20002400只打开供气阀，已知气站每小时进气量和供气量是一定的，下图反映了某天储气量(米)与(小时)之间的关系，如图所示： (1)求0002000之间气站每小时增加的储气量；(2)求20002400时，与的函数关系式，并画出函数图象；0481216202430230238(3)照此规律运行，从这天零点起三昼夜内，经过多少小时气站储气量达到最大？并求
13、出最大值.分析：本题以村子建起的天然气供应站在不同时段的不同储气量为背景的分段函数应用题试题中有文字信息，也有以图象的形式给出信息，解题时需从图象上获取的信息，理解每段图象对应的实际意义第(2)小题要求出20002400时，与的函数关系式，需根据第（1）小题的结论以及题中：20002400只打开供气阀、气站每小时进气量和供气量一定等信息，先求出2400的储气量，根据（20,238）、（24，？）确定一次函数关系式解： (1)由图象可知：在000400之间气站储气量从30米增加到230米那么000400之间气站每小时增加的储气量为(米)同理可求4002000之间气站每小时增加的储气量为(米) (2) 由(1)可知：气站每小时供气量为(米)24时储气量为(米)048121620243023023840点(20,238)和点(24,40)满足与的函数关系式，设所求函数关系式为：则有： 解得：与的函数关系式为： 图象如图所示 (3) 由(2)可知：24时气站储气量是40米，每天储气量增加(米)由图象可知每天2000时气站储气量达到最大值，所以三昼夜内，第三天的2000时，即经过了小时，气站的储气量达到最大，最大值为(米)
中考数学经典压轴题及分类讨论思想
