高三数学第一轮复习 第6编 4数列求和课件 新人教B版

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1、返回目录返回目录 数列数列求和求和1.1.掌握等差、等比数列的求和公式掌握等差、等比数列的求和公式. .2.2.了解非等差、等比数列求和的几种常用方了解非等差、等比数列求和的几种常用方法法. . 等差数列、等比数列前等差数列、等比数列前n项和公式的考查一直是高考项和公式的考查一直是高考中数列考查的重点内容，同时，数列与其他知识的综合中数列考查的重点内容，同时，数列与其他知识的综合问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现，是复习中问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现，是复习中另一个注意方面另一个注意方面. 预测预测2012年高考年高考,错位相减法求和仍是高考重点错位相减法求和仍是高考重点,同同时

2、注意裂项相消法求和时注意裂项相消法求和.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.等差数列的前等差数列的前n项和公式是采用项和公式是采用 方法推导方法推导的，等比数列的前的，等比数列的前n项和公式是用项和公式是用 方方法推导的法推导的.2.数列数列an的前的前n项和项和Sn与与an的关系为的关系为an= .3.求数列的前求数列的前n项和，一般有下列几种方法：项和，一般有下列几种方法：（1）等差数列的前）等差数列的前n项和公式：项和公式：倒序相加倒序相加 乘公比错位相减乘公比错位相减 S1(n=1)Sn-Sn-1(n2) .（2）等比数列的前）等比数列的前n项和公式：项和公式：当当q=1时，时，S

3、n= ;当当q1时，时，Sn= = .（3）拆项求和：）拆项求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列把一个数列分成几个可以直接求和的数列.（4）裂项相消：）裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和加过程消去中间项，只剩有限项再求和.返回目录返回目录 q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1d d2 21)1)- -n(nn(n+ +nana1 1= =2 2) )a a+ +n(an(a= =S Sn n1 1n n1 1nana q q- -1 1q qa a- -a an n

4、1 1（5）错位相减：）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和数列求和.（6）倒序相加：）倒序相加：例如，等差数列前例如，等差数列前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法.（7）自然数求和公式有：）自然数求和公式有：1+2+n= ;12+22+n2= .返回目录返回目录 6 61 1) )+ +1 1) )( (2 2n n+ +n n( (n n2 21)1)+ +n(nn(n根据数列根据数列an的通项公式，求其前的通项公式，求其前n项和项和Sn.（1）an=10n-1;（2）an=n(n+1). 若数列为等差数列、

5、等比数列，或能转若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和公式法求和.返回目录返回目录 （1）Sn=a1+a2+an=（101+102+10n）-n=（2）Sn=a1+a2+an=（12+1）+（22+2）+（n2+n）=(12+22+n2)+(1+2+n)= n(n+1)(n+2).n n. .- -1 1) )- -( (1 10 09 91 10 0n n- -1 10 0- -1 1) )1 10 0- -1 10 0( (1 1n nn n=3 31 1返回目录返回目录 在数列求和中，常用的

6、公式有：在数列求和中，常用的公式有：（1）等差数列：）等差数列： na1 q=1 q1.（3） 1+2+n= （4） 12+22+n2= n(n+1)(2n+1).d d. .2 21 1) )- -n n( (n nn na a2 2) )a an n( (a aS S1 1n n1 1n n+=+=q q- -1 1q qa a- -a aq q- -1 1) )q q- -( (1 1a a n n1 1n n1 1=（2）等比数列）等比数列: Sn=. .2 21 1) )n n( (n n+6 61 1返回目录返回目录 已知数列已知数列log2(an-1),nN*为等差数列为等差数列

7、,且且a1=3,a3=9.（1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2）证明）证明:n nn n1 1n n2 23 31 12 22 21 1- -1 1a a- -a a1 1a a- -a a1 1a a- -a a1 1=+返回目录返回目录 (1) 设等差数列设等差数列log2(an-1)的公差为的公差为d. 由由a1=3，a3=9得得2（log22+d）=log22+log28, 即即d=1.所以所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即即an=2n+1.(2) 证明证明:因为因为 ，n nn n1 1n nn n1 1n n2 21 12 2- -2 21 1a a

8、- -a a1 1=+n nn n3 32 21 1n n1 1n n2 23 31 12 22 21 1- -1 12 21 1- -1 12 21 12 21 1- -2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1a a- -a a1 1a a- -a a1 1a a- -a a1 1=+=+n n所以所以返回目录返回目录 2010年高考课标全国卷年高考课标全国卷设数列设数列an满足满足a1=2,a n+1-an=32 2n-1.（1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2）令）令bn=nan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.由由an与与an+1的关系可用累

9、加法求数列通项的关系可用累加法求数列通项公式，由公式，由an特点选择恰当方法求特点选择恰当方法求Sn.返回目录返回目录 【解析【解析】 (1)由已知由已知,当当n1时时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=2 2(n+1)-1.而而a1=2,符合上式符合上式,所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an=22n-1. (2)由由bn=nan=n22n-1知知Sn=12+223+325+n22n-1, 从而从而22Sn=123+225+327+n22n+1. -得得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n

10、+1,即即Sn= (3n-1)22n+1+2.91返回目录返回目录 （1）一般地，如果数列）一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数是等比数列，求数列列，求数列anbn的前的前n项和时，可采用错位相减法项和时，可采用错位相减法. （2）用乘公比错位相减法求和时，应注意：）用乘公比错位相减法求和时，应注意： 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；的情形； 在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两的表达式时应特别注意将两式式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式的表

11、达式. 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于分等于1和不等于和不等于1两种情况分别求和两种情况分别求和.返回目录返回目录 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn=2n2,bn为等比数列为等比数列,且且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.（1）求数列）求数列an和和bn的通项公式；的通项公式；（2）设）设cn= ，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Tn.nnba返回目录返回目录 （1）当当n=1时，时，a1=S1=2；当当n2

12、时，时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2.故故an的通项公式为的通项公式为an=4n-2，即即an是首项是首项a1=2，公差，公差d=4的等差数列的等差数列.设设bn的公比为的公比为q，则，则b1qd=b1，d=4，q= .故故bn=b1qn-1=2 ，即即bn的通项公式为的通项公式为bn= .4 41 1-1-1n n4 41 1-1-1n n4 42 2返回目录返回目录 （2）cn= =（2n-1）4n-1， Tn=c1+c2+cn=1+341+542+（2n-1）4n-1， 4Tn=14+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n. 两式相减得两式相减得

13、 3Tn=-1-2（41+42+43+4n-1）+（2n-1）4n= （6n-5）4n+5. Tn= （6n-5）4n+5.-1-1n nn nn n4 42 22 2- -4n4nb ba a=3 31 191返回目录返回目录 由条件，设首项为由条件，设首项为a1,公差为公差为d,建立方程建立方程组求解组求解a1,d,则则an可求，可求，Sn可求，由可求，由bn中中bn与与an关系关系选择恰当求法选择恰当求法.2010年高考山东卷年高考山东卷已知等差数列已知等差数列an满足：满足：a3=7,a5+a7=26,an的前的前n项和为项和为Sn.(1)求求an及及Sn;(2)令令bn= (nN*)

14、，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn.1a12n返回目录返回目录 【解析【解析】 (1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,因为因为a3=7,a5+a7=26,所以所以 a1+2d=7 a1=3 2a1+10d=26, d=2.所以所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+ 2=n2+2n.21)-n(n解得解得 返回目录返回目录 (2)由由(1)知知an=2n+1,所以所以bn=所以所以Tn=即数列即数列bn的前的前n项和项和Tn=1n1n141) 1n(n1411) 1n2(11a122n) 1n( 4n1n11411n1n1312121141) 1n( 4n返回目录

15、返回目录 (1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等，实际上，裂项法求和时消项的规律后面也剩两项等，实际上，裂项法求和时消项的规律具有对称性，即前剩多少项后就剩多少项；前剩第几具有对称性，即前剩多少项后就剩多少项；前剩第几项，后就剩倒数第几项项，后就剩倒数第几项.再就是将通项公式裂项后，有再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等之积与原通项公式相等.

16、 (2)一般情况如下一般情况如下,若若an是等差数列，则是等差数列，则此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和. (3)要注意掌握常用的裂项方法和技巧要注意掌握常用的裂项方法和技巧.2nn2nn1nn1nna1a1d21 aa1,a1a1d1 aa1返回目录返回目录 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，点，点(n， )(nN*)均在函均在函数数y=3x-2的图象上的图象上.（1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2） ，Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn 对所有对所有nN*都成立的最小正整数都成立的最

17、小正整数m.n nS Sn n1 1n nn nn na aa a3 3b b+=2 20 0m m返回目录返回目录 （1）依题意得依题意得 =3n-2， 即即Sn=3n2-2n. 当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5； 当当n=1时，时，a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).n nS Sn n返回目录返回目录 （2）由）由(1)得得bn= 故故Tn=b1+b2+bn 因此，使得因此，使得 (nN*)成立的成立的m必必须满足须满足 ,即即m10. 故满足要求的最小正整数故满足要求的最小正整数m为为10.1

18、1n nn na aa a3 3+) ). .1 16 6n n1 1- -5 5- -6 6n n1 1( (2 21 1 5 5- -1 1) )6 6( (n n5 5) )- -( (6 6n n3 3+=+=2 21 1=) )1 16 6n n1 1- -5 5- -6 6n n1 1( () )1 13 31 1- -7 71 1( () )7 71 1- -1 1( (+ ) )1 16 6n n1 1- -1 1( (2 21 1+=2 20 0m m ) )1 1+ +6 6n n1 1- -( (1 12 21 12 20 0m m2 21 1返回目录返回目录 返回目录返回目录