二次根式知识点及习题

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1、二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，+ ,， 等是二次根式，而,一7等都不是二次根式。知识点二：取值范围1 .二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a叁0时，有意义，是二次根式，所以要使二次 根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2 .二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 之0 （）。注：因为二次根式（

2、）表示 a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 之0 （）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 忑+4=0 ,则a=0,b=0;若石+，则a=0,b=0;若& + , = ,贝U a=0,b=0。知识点四：二次根式（）2的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 函y二口（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应知识点五：二次根式的性质= kl=文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1

3、、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于 a本身，即4a - al =H 口 “J e如 口丘二卜| 二一忒口0)、，x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有7&A/a V(x+y)人2、，xA2+2xy+yA2等(3)最终结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法1 .积的算数平方根的性质Vab=Va - (a0, b0)2 .乘法法则o/a - bb=Vab0, b0)二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积 的算术平方根。3 .除法法则Va-Vbafa0, b0)二次根式的除法运算法则，用语言叙述为

4、：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算 数平方根。4 .有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式，也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次 根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可

5、以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如：VaZVb=A/aXA/b/A/bxVb=A/ab/b二 /eTX_ GX VT_ J ab bii.分母是多项式要利用平方差公式如 1/ v/a+ v/b=v/a- v/b/( aA v/b)( aA v/b)= v- Vb/ai b 如图I=/a + V-F)盘二 yn ,(7 rvt)( K - jt)a-b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。“二次根式”经典练习题【典型例题】(1) Xx 2;(2)(3) .x 12 x5 x(4) J 、x 4(5),利用二次根式的双重非负性来解题(

6、ja0 (a0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。)i.下列各式中一定是二次根式的是()。A、3 ;B、4;C、Jx2 1 ;D、Jx 1取何值时，下列各式在实数范围内有意义。12x 1x 3. x 3(6)若vx(x 1)jx jx1，则x的取值范围是(7)若J 岑 J ,则x的取值范围,x 1 x 1(7)注：(书写格式(4)由5+x 0且x+4w0得x 5且xw 4,当x 5且xw 4时代数式在实数范围内有意义)3 .若d3m 1有意义，则 m能取的最小整数值是 4 .若技而是一个正整数，则正整数 m的最小值是 5.当x为何整数时，V10x 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 6

7、 .若 2004 a Ja 2005 a,则 a 20042 =7 .若 y Vx 3 V3 x 4 ,则 x y m2 99 m2 2 .8 .设 m、n 满足 n ,则 w mn =m 39 .若 m 适合关系式 33x5y2m V2x3ym 6199y ,199xy ,求 m 的值.10 .若三角形的三边a、b、c满足a2 4a 4 vb 3=0,则第三边c的取值范围是11 .方程|4x 81 vx y m 0,当y 0时，m的取值范围是()A、0 m 1 B、m 2C、m 2D、m 2a(a b)二.利用二次根式的性质 va2 =|a|= 0(a 0)(即一个数的平方的算术平方根等于这

8、个数的绝对值)来a(a 0)解题1.已知 Vx3 3x2 = - x x3，则()0- 3D.-3x02.1. 知ab,化简二次根式a3b 的正确结果是()A. av abB.aJabC. aVab D. av ab3 .若化简|1-x|- Jx2 8x 16的结果为2x-5则x的取值范围是()A、x 为任意实数B、1 x1 D、xW44 .已知 a, b, c为三角形的三边，则 J(a b c)2 、(b c a)2 J(b c a)2 =5 .当-3x5 时，化简 Mx2 6x 9 Vx2 10x 25=。6、化简|x y | Vx2(x y 0)的结果是()A. y 2xB. yC. 2

9、x y D. y7、已知：a V1 2a a2 =1,则a的取值范围是()。A、a 0； B、a 1；C、a 0或 1 ；D、a 18、把(x 2) J根号外的因式移入根号内，化简结果是()。x 2A、v2 x ; B、Jx 2 ; C、vx 2 D、2 x三.二次根式的化简与计算( 二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的 积商算术 平方根的性质及二次根式的性质：(J&) 2=a (aR0),即Ja2 |a|。)1 .把下列各式化成最简二次根式：(1)$|(2) V412 402(3) J25m-(4) 而xV2 .下列各式中哪些是同类二次根式:(1) J75,栏，屈

10、，0，弓，卡，收；(2) 5 . a3b3c,3 2 3 ab、a b c , J 4 , a - cbc3.计算：(1) 6 727 ( 3J3)4a 6b化藤c5a(4)2.18(6)2a2 b2ab(C3)4.计算(1)2 33工 3,8 112 . 50(1 J9x3x13y2 y)(4x., 1 4y,4x5.已知x 2 ,x2Jx.18 x10，则x等于（A. 4 B. 土C.D. 4, x y的值。四.二次根式的分母有理化-2_21已知：x ,求x3 1x 1的值。2.已知：xJ3 Ly32,求代数式3x25xy+3y2的值。11004.已知 J15 x J19 x2，试求J19

11、 xJ15 x的值。五.关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算技2的值（）A.在1和2之间 B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间2.若3的整数部分是a,小数部分是b,3.已知9+ J13与9 J13的小数部分分别是a 和 b,求 ab 3a+4b+8 的值4.若a, b为有理数，且而+ 68 +=a+b v2 ,则 b a，8六.二次根式的比较大小1（1） 一420杯口2、35(2) 5遍和6J5(3) 17 Ji5和相 J13 (倒数法)二次根式提高测试题一、选择题1,使3 x , 1有意义的x的取值范围是(). x 12. 一个自然数的算术平方根为a a 0 ,则与这

12、个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为(A) a 1,a 1 (B) Ja 17a 1 (C)3 .若x 0,则1后x等于()(A) 0(B) 2x(C) 2x4 .若a 0,b 0 ,则J a3b化简得(A) aj ab(B) a Tab(C)-11 y25.若、一=m.则一匕的结果为(4a 1,Va21 (D) a2 1,a2 1(D) 0 或 2x)a，ab (D) a ab4yy)(A) m2 2(B) m2 2(C) Vm 2(D) ,m 26 .已知a,b是实数，且 旧 2ab b2 b a,则a与b的大小关系是()(A) a b(B) a b(C) a b (D) a b7 .已

13、知下列命题：，2T52 2 石；2 |3|6；22-2 TT . a3 a 3a3; vab a b.其中正确的有()(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个 (D) 3 个8,若4月m与J2m化成最简二次根式后的被开方数相同则 m的值为(20351(B) 一2613(C)一815(D)一89.当 a 1 时，化简 Ji4a4a2 2a2(A) 2(B) 2 4a(C) a1等于(D) 0(A) 2(B) 4x 4(C) 2(D) 4x 4二、填空题11 .若2x 1的平方根是 5,则J4x 1 12 .当x 时，式子 ,3x有意义. x 413,已知：最简二次根式 J4a b与a病 的被开

14、方数相同,则a b 14 .若x是囱 的整数部分，y是曲 的小数部分，则x , y 15 .已知J2009 & 且0 x y,则满足上式的整数对x,y有16 .若 1 x 1 ,则 J x 1 2 x 1 .17 .若xy 0 ,且Jx3y2xyA成立的条件是 .18 .若 0x1,则 Jx14x1 4 等于.三、解答题1 9.计算下列各题：（1）3 .,15、2053百玷3a科20.已知a222，求 a2 4a 的值“ 口x2 99 x22 -21 .已知 x, y是头数，且 y ,求 5x 6 y的值.x 3.I _. 2 *3213.22 .若2x y 4与x 2y 1互为相反数，求代数式 xx y -y的值.23 .若a、b、S满足37a 57b 7,S 2品 3而，求S的最大值和最小值